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    組合公式的推廣及應(yīng)用

    2017-03-21 11:43:04內(nèi)蒙古呼和浩特土左旗金山學(xué)校劉海軍
    數(shù)學(xué)大世界 2017年4期
    關(guān)鍵詞:二項(xiàng)式差分定理

    內(nèi)蒙古呼和浩特土左旗金山學(xué)校 劉海軍

    組合公式的推廣及應(yīng)用

    內(nèi)蒙古呼和浩特土左旗金山學(xué)校 劉海軍

    文章對二項(xiàng)式定理,組合數(shù)公式進(jìn)行了深入探討,得出了一些新的性質(zhì)、定理。通過對它們的恒等變形,在某些數(shù)列的求和方面進(jìn)行了有效的應(yīng)用,最后利用組合數(shù)學(xué)中的“查分表”法求部分和,此方法只需知道該數(shù)列的通項(xiàng)式,就可以求得前幾項(xiàng)的和,而且格式固定,便于操作。

    二項(xiàng)式定理;組合公式;查分表

    一、應(yīng)用二項(xiàng)式定理求某些組合數(shù)的數(shù)列求和問題

    所謂二項(xiàng)式定理,是指設(shè)n是正整數(shù),對于一切實(shí)數(shù)x和y,有

    為了討論方便,不妨把數(shù)列中的每項(xiàng)中的組合數(shù)之外的部分稱為該項(xiàng)的系數(shù)。在中,令x=1,y=1得:

    公式(1)(2)(3)是三個(gè)最基本的等式,許多組合數(shù)的數(shù)列求和問題,經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃握砗?,都可以利用公式?)(2)(3)得到有效解決。

    1.系數(shù)成等差數(shù)列的數(shù)列求和問題

    2.系數(shù)成等比數(shù)列的數(shù)列求和問題

    解:由于a1=3a2=32a3=…3nan+1=3n+1,顯然且{ai}(i=1,2,3…n+1)是以3為公比的等比數(shù)列。于是:

    二、利用差分式求部分和

    設(shè)任一數(shù)列h0,h1,h2,h3…h(huán)n… (9)

    △h0,△h1,△h2,△h3…△hn…,

    于是,數(shù)列(9)的差分序列是將每個(gè)k=0,1,2…階差分序列列成一行而得到,如下所示:

    若求形如h0,h1,h2,h3…h(huán)n的和。

    定理3:設(shè)序列h0,h1,h2,h3…h(huán)n有一個(gè)差分表,該表的第0條對

    總之,利用二項(xiàng)式定理、組合公式、差分表求和,其中二項(xiàng)式定理、組合公式及其變形定理在求和中表現(xiàn)得特別靈活巧妙。使原本抽象深?yuàn)W復(fù)雜的運(yùn)算,看似無法求和,但是能夠通過巧妙運(yùn)用這些定理及其變形得到很好的解決。而“差分表”求和的優(yōu)點(diǎn)是格式固定,易于操作,但運(yùn)算量較大,這就要求我們在學(xué)習(xí)中要善于總結(jié),善于思考各種求和問題,要善于運(yùn)用定理及其變形,使復(fù)雜問題簡單化,使求和問題得到有效解決。

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