數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用

江蘇省射陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 夏明亮

數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用

江蘇省射陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 夏明亮

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，是每年中考的必考點(diǎn)。由于二次函數(shù)易與其他知識(shí)點(diǎn)相融合，經(jīng)常會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn)，因此也是學(xué)生比較犯難的一類題目。利用數(shù)形結(jié)合思想，將“數(shù)”與“形”巧妙結(jié)合在一起，可以將繁瑣、抽象的函數(shù)問題變得簡(jiǎn)單化、直觀化，從而幫助學(xué)生更高效、準(zhǔn)確地解決好函數(shù)問題。

數(shù)形結(jié)合；圖像；二次函數(shù)

解決函數(shù)問題如果單從代數(shù)的角度出發(fā)，往往會(huì)引起計(jì)算復(fù)雜、理解難等問題，而采用數(shù)形結(jié)合思想，畫出其函數(shù)圖像可以將抽象的數(shù)學(xué)問題更加直觀地展示出來，這樣不僅可以極大程度地簡(jiǎn)化計(jì)算，也促進(jìn)學(xué)生更好地分析題目。本文將通過一些實(shí)例，探析數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用。

一、二次函數(shù)基礎(chǔ)問題中的數(shù)形結(jié)合

求二次函數(shù)中的參數(shù)是二次函數(shù)基礎(chǔ)問題中常見的一種題型。解答該問題時(shí)，如果采用解出帶參數(shù)的根的方法進(jìn)行解答，往往會(huì)使解題過程比較復(fù)雜。因此，我們可以畫出二次函數(shù)的圖像，然后通過分析圖像并結(jié)合題干所給出的條件列式計(jì)算。

解析：本題看似簡(jiǎn)單，由題干中的條件“有兩個(gè)交點(diǎn)”，可想到運(yùn)用即可解題，但是這樣解答就掉進(jìn)了命題人的陷阱中了，因?yàn)轭}干中還有一個(gè)重要的條件：“在原點(diǎn)兩邊”，因此用該方法解答出的答案是錯(cuò)誤的。通過觀察式子，發(fā)現(xiàn)參數(shù)是位于常數(shù)區(qū)域，即與y軸的交點(diǎn)，可以想到根據(jù)題干條件畫出其圖像。由圖1我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，就滿足了題目的條件了，從而解得故本題選擇A。

圖1

點(diǎn)撥：此題也可以利用求根公式將兩根求出，然后聯(lián)立不等式組解出答案，但是這樣計(jì)算量較大。而通過畫出滿足題目條件的函數(shù)圖像，即可很簡(jiǎn)單地將問題解決，不僅可以保證解題的準(zhǔn)確性，也提高了解題的效率。

二、二次函數(shù)應(yīng)用題中的數(shù)形結(jié)合

二次函數(shù)的應(yīng)用題，其在中考中考查的頻率較高。該類題型常設(shè)置的問題一般包括二次函數(shù)的表達(dá)式、求最值等，解決該類問題的關(guān)鍵是從圖像出發(fā)，根據(jù)函數(shù)圖像求出表達(dá)式，從而求出最值。

例2 如圖2所示，判斷一個(gè)高為2.8m，寬為2.4m的矩形能否穿過拱門？

解析：由題意可知，要想判斷是否能穿過，就是判斷寬為2.4m時(shí)其高是否超過2.8m。此時(shí)不妨建立如圖3所示的坐標(biāo)系，此時(shí)可得，此時(shí)就可以得到函數(shù)表達(dá)式當(dāng)寬為2.4m時(shí)，即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)分別為,將其帶入函數(shù)表達(dá)式，即可得出，，從而得出，因此物體可通過。

圖2

圖3

點(diǎn)撥：解決此類問題就是要利用數(shù)形結(jié)合的思想，建立合適的直角坐標(biāo)系,從函數(shù)圖像入手，求出函數(shù)表達(dá)式即可解決問題。其中,在建立坐標(biāo)系時(shí)需要注意的是盡量建立比較簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系，這樣對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)也比較簡(jiǎn)單，有助于高效解題。

三、二次函數(shù)綜合運(yùn)用中的數(shù)形結(jié)合

二次函數(shù)的綜合運(yùn)用涉及的知識(shí)點(diǎn)較復(fù)雜，其中包括二次函數(shù)、平面幾何等知識(shí),因此，此類問題的綜合性較強(qiáng)，難度系數(shù)也比較高。解答此類問題需要充分利用圖形，靈活運(yùn)用各部分的知識(shí)點(diǎn)。

圖4

點(diǎn)撥：此題是以二次函數(shù)為載體，其解題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)。由于此類問題一般都是壓軸題，在解題初期可能會(huì)感到毫無(wú)思路，因此就要學(xué)會(huì)分析圖形，從圖像中尋找思路。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛的，因此在解題中要充分運(yùn)用其函數(shù)圖像并且聯(lián)系其函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)性質(zhì)，這樣往往會(huì)使難題迎刃而解。所以，在今后的學(xué)習(xí)和做題中要充分了解、學(xué)習(xí)和運(yùn)用函數(shù)圖像，這樣不僅可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)得更加全面，也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。