小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義

葛晶

摘 要：傳統(tǒng)的教學(xué)偏向于平均數(shù)的算術(shù)意義，忽視平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。通過(guò)選取梁紹君教授平均數(shù)理解“四水平”中的前三個(gè)水平，即以平均數(shù)的“本義性理解水平”“特異性理解水平”“加權(quán)性理解水平”為維度，論述了在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；平均數(shù)；統(tǒng)計(jì)意義

平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的總稱，由于小學(xué)生認(rèn)知水平的限制，這里指算術(shù)平均數(shù)。梁紹君教授把對(duì)算術(shù)平均數(shù)概念的理解分為兩個(gè)層次，即數(shù)據(jù)處理的算術(shù)層次和隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)學(xué)層次?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）對(duì)平均數(shù)的要求（第二學(xué)段）：“體會(huì)平均數(shù)的作用，能計(jì)算平均數(shù)，能用自己的語(yǔ)言解釋其實(shí)際意義。”《新課標(biāo)》對(duì)平均數(shù)的算術(shù)意義和統(tǒng)計(jì)意義的理解提出了明確要求。分析平均數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的算術(shù)意義很容易理解，但對(duì)其統(tǒng)計(jì)意義的理解比較困難。

一、平均數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀分析

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要的概念，不僅在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)用。蔡金法比較了中美兩國(guó)六年級(jí)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解，研究結(jié)果表明學(xué)生并非缺乏算法的程序性知識(shí)，而是缺乏對(duì)算法的概念性理解。針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者認(rèn)為原因主要在于：第一，教學(xué)中忽視平均數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)層次意義，偏向于算術(shù)層次意義。對(duì)平均數(shù)的考查主要是與應(yīng)用題型結(jié)合的形式，使教師重視學(xué)生對(duì)平均數(shù)與總量、份數(shù)之間數(shù)量關(guān)系的把握，即平均數(shù)=總量÷份數(shù)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解僅僅停留在除法式子的運(yùn)算層面上，統(tǒng)計(jì)意義的建構(gòu)比較薄弱。第二，平均數(shù)與平均分概念上的混淆，誤把平均數(shù)等同于平均分，不理解兩者之間的本質(zhì)差別。第三，學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的限制，四年級(jí)的學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，尚不能通過(guò)一組離散數(shù)據(jù)感悟其統(tǒng)計(jì)意義層面的隨機(jī)性。

二、如何讓學(xué)生建構(gòu)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義

傳統(tǒng)的平均數(shù)教學(xué)局限于數(shù)的運(yùn)算，統(tǒng)計(jì)學(xué)意義不明顯，通過(guò)各種平均數(shù)的變式練習(xí)，學(xué)生計(jì)算平均數(shù)的操作技能程序化，統(tǒng)計(jì)學(xué)層次意義建構(gòu)空白化。梁紹君依據(jù)數(shù)學(xué)思維的邏輯性特點(diǎn)，由易到難對(duì)平均數(shù)的概念建構(gòu)提出了四個(gè)維度：本義性理解水平、特異性理解水平、加權(quán)性理解水平、隨機(jī)變量分布理解水平。筆者在此借用梁紹君教授的平均數(shù)理解維度四水平，提出教學(xué)中加強(qiáng)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義建構(gòu)的策略。但是考慮到四年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)去掉隨機(jī)變量分布理解水平，重點(diǎn)聚焦在本義性理解水平。

（一）本義性理解水平

本義性理解水平指“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”。Mokros和Russell調(diào)查顯示，學(xué)生對(duì)平均數(shù)有五種不同的思維模式：平均數(shù)看成一個(gè)眾數(shù)，平均數(shù)被看成一個(gè)算術(shù)值；平均數(shù)被看成一個(gè)有意義的數(shù)；平均數(shù)被看成中點(diǎn)值；平均數(shù)被看成一個(gè)平衡值。這表明學(xué)生常常混淆平均數(shù)的意義，學(xué)生最易偏向于仍把平均數(shù)當(dāng)作出現(xiàn)次數(shù)較多的數(shù)或是中間的數(shù)，而對(duì)平均數(shù)具體是什么尚不能建構(gòu)清晰的概念，對(duì)其概念的理解非常困難。筆者針對(duì)平均數(shù)本義性理解水平的教學(xué)，提出了三點(diǎn)有效的建議。

1.通過(guò)樣本感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

算術(shù)意義上的平均數(shù)屬于描述性統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)意義上的平均數(shù)屬于推斷統(tǒng)計(jì)，兩者的差異在于是否考慮了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。蘇教版四年級(jí)上冊(cè)平均數(shù)的教學(xué)例題創(chuàng)設(shè)的情境是男女生套圈比賽，比較男生套圈的水平高還是女生的套圈水平高。教學(xué)中不能僅僅停留在男生和女生每人套中的個(gè)數(shù)層面上，應(yīng)重視學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性的體會(huì)。教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟到雖然每人套15個(gè)圈，但套中的個(gè)數(shù)是不確定的，雖然套中的個(gè)數(shù)是不確定的，但男生和女生套圈的水平相對(duì)來(lái)說(shuō)在各自平均數(shù)附近上下穩(wěn)定波動(dòng)。這就是對(duì)樣本數(shù)據(jù)隨機(jī)性的感悟，使學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義有了初步的感知。如果教學(xué)中僅僅引導(dǎo)學(xué)生對(duì)套中個(gè)數(shù)的關(guān)注，不能使學(xué)生體會(huì)這些數(shù)據(jù)間的隨機(jī)性，就失去了統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

2.通過(guò)樣本數(shù)據(jù)經(jīng)歷平均數(shù)的生成過(guò)程

數(shù)學(xué)模型思想要求學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與客觀世界在數(shù)量關(guān)系及空間形式上的本質(zhì)聯(lián)系。平均數(shù)具有抽象的特征，大多數(shù)學(xué)生只會(huì)算法上的運(yùn)算，對(duì)平均數(shù)是如何生成的，它的實(shí)際價(jià)值是什么比較模糊，這不利于學(xué)生模型思想和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。在男生和女生人數(shù)不等的情況下，教師通過(guò)提問(wèn)“男生套的準(zhǔn)一些還是女生套的準(zhǔn)一些”，使學(xué)生體會(huì)比最大值（男生和女生中各自套的最多的）、比總和（男生和女生各自套圈的總數(shù)）都是不合理的，教師要讓學(xué)生明確說(shuō)出“最大值”和“總和”都不能反映男生和女生套圈成績(jī)的總體水平。這樣學(xué)生會(huì)清晰地感知到選取一個(gè)合適的數(shù)值來(lái)表征一組數(shù)據(jù)總體水平的必要性，同時(shí)學(xué)生也經(jīng)歷了平均數(shù)的生成過(guò)程，這是對(duì)統(tǒng)計(jì)意義層面上平均數(shù)的感悟。

3.明確平均數(shù)與平均分的區(qū)別

學(xué)生普遍存在平均數(shù)與平均分概念上的混淆，誤把平均數(shù)等同于平均分。雖然平均數(shù)與平均分在運(yùn)算結(jié)果上存在重合的情況，實(shí)際兩者存在很大差異。平均分是把總數(shù)分成幾份，每份的數(shù)量一樣多，而平均數(shù)是虛擬值，平均數(shù)是幾不代表每份就是幾，可能少一些也可能多一些。例如，通過(guò)追問(wèn)學(xué)生“平均每組4.5人是什么意思？人是整數(shù)怎么會(huì)出現(xiàn)小數(shù)？”當(dāng)學(xué)生陷入認(rèn)知沖突，使學(xué)生把握平均數(shù)是虛擬值這一特征，這樣學(xué)生對(duì)平均數(shù)與平均分之間的區(qū)別體會(huì)得更深刻，對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解更加深入。

（二）特異性理解水平

特異性理解水平指平均數(shù)在受極端值影響的情況下不能反映一組數(shù)據(jù)的總體水平，這是平均數(shù)七大性質(zhì)之一?，F(xiàn)階段平均數(shù)教學(xué)中教師已經(jīng)關(guān)注到學(xué)生對(duì)平均數(shù)特異性質(zhì)的理解，但是存在步子邁得太小、一筆帶過(guò)的問(wèn)題。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷平均數(shù)會(huì)隨著數(shù)據(jù)的變化而變化這樣一個(gè)認(rèn)知過(guò)程，即使是一組數(shù)據(jù)中的僅僅一個(gè)數(shù)值發(fā)生變化，平均數(shù)就會(huì)有相應(yīng)的變化。平均數(shù)特異性是數(shù)據(jù)變化時(shí)的極端特殊情況，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一系列數(shù)據(jù)的極端變化，使學(xué)生明確當(dāng)離散數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端值時(shí)，用平均數(shù)是不能合理反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，這時(shí)需尋找另一種合適的數(shù)值來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的總體水平。

（三）加權(quán)性理解水平

加權(quán)性理解水平是對(duì)平均數(shù)概念的拓展延伸，在小學(xué)數(shù)學(xué)中通常一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的地位是相等的，然而在實(shí)際生活中，為了使統(tǒng)計(jì)更具準(zhǔn)確性、可信性，樣本數(shù)據(jù)的重要性往往不是等值的，這就需要賦予數(shù)據(jù)相應(yīng)的權(quán)數(shù)。例如，通過(guò)創(chuàng)設(shè)籃球比賽的情境，有3分球，有2分球，計(jì)算每場(chǎng)的平均得分時(shí)，平均得分=（3分球的個(gè)數(shù)×3+2分球的個(gè)數(shù)×2）÷球的總個(gè)數(shù)，這里的“3分”和“2分”在統(tǒng)計(jì)學(xué)上就是權(quán)數(shù)?；@球比賽對(duì)小學(xué)生并不陌生，學(xué)生是能夠感知計(jì)算平均得分時(shí)，3分球和2分球分開(kāi)計(jì)算的必要性，這也是對(duì)平均數(shù)加權(quán)性理解水平的感悟。但是學(xué)生對(duì)平均數(shù)加權(quán)的特征的深刻理解有一定的難度，只是淺層次的感知，對(duì)平均數(shù)加權(quán)特征的理解還需后續(xù)的深入學(xué)習(xí)。

筆者通過(guò)分析平均數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀，針對(duì)現(xiàn)階段小學(xué)中平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的教學(xué)比較薄弱這一現(xiàn)象，以梁紹君教授對(duì)平均數(shù)理解水平的劃分為視角，論述了如何在教學(xué)中使學(xué)生更好地理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，試圖改變長(zhǎng)期以來(lái)平均數(shù)教學(xué)停留在算術(shù)層面，統(tǒng)計(jì)意味不強(qiáng)的現(xiàn)狀，使平均數(shù)教學(xué)真正回歸統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域。

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