三大中值定理和泰勒公式在一道題中的幾種證明方法

劉立漢

摘 要：本文通過微分等式中一道經(jīng)典題來舉例說明羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道題中的四種證明方法。

關(guān)鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式

羅爾定理（見[1] [2] [3] [4] [5]）、拉格朗日中值定理（見[1] [2] [3] [4] [5]）、柯西中值定理（見[1] [2] [3] [4] [5]）和泰勒公式（見[1] [2] [3] [4] [5]）是溝通函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的橋梁，在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)課程中有著廣泛的應(yīng)用。為此，本文通過微分等式中一道經(jīng)典題來舉例說明羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道題中的四種證明方法。

例（見[6]）設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：至少存在一點 ，使得 .

證法一 由于對于固定的 和 ， 為常數(shù)，于是

而又由達(dá)布定理可知：至少存在一點 ，使得 ，從而結(jié)論得證。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李成章， 黃玉民， 數(shù)學(xué)分析（第二版， 上冊）， 北京：科學(xué)出版社， 2007.

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