基于中心流形的三維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性

許佰雁, 陳景蓮

(1.長(zhǎng)春光華學(xué)院基礎(chǔ)部, 吉林長(zhǎng)春 130033； 2.海爾集團(tuán)電子商務(wù)有限公司, 山東青島 266000)

基于中心流形的三維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性

許佰雁1, 陳景蓮2

(1.長(zhǎng)春光華學(xué)院基礎(chǔ)部, 吉林長(zhǎng)春 130033； 2.海爾集團(tuán)電子商務(wù)有限公司, 山東青島 266000)

1963年，Sherman構(gòu)造了三維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，并給出了周期解的存在性和穩(wěn)定性條件．1989年，李德明等人用Liapunov-Schmidtreduction方法給出了此系統(tǒng)Hopf分支后周期解的存在性條件．本文將利用中心流形研究此系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性．

三維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)；極限環(huán)；存在性；穩(wěn)定性；中心流形

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 (極限點(diǎn))稱點(diǎn)P∈E?n是系統(tǒng)

(1.1)

定義2 (極限環(huán))系統(tǒng)(1.1)的閉軌線稱為平面系統(tǒng)的極限環(huán)[1]， 它是系統(tǒng)(1.1)除了Γ以外的某些軌線的α-極限集或ω-極限集.

定義3 (穩(wěn)定和不穩(wěn)定極限環(huán))如果閉軌線Γ是Γ的某個(gè)鄰域內(nèi)的每一條軌線的ω-極限集， 則Γ稱為一個(gè)ω-極限環(huán)或穩(wěn)定極限環(huán)[1]； 如果閉軌線Γ是Γ的某個(gè)鄰域內(nèi)的每一條軌線的α-極限集， 則Γ稱為一個(gè)α-極限環(huán)或不穩(wěn)定極限環(huán).

定義4 (中心流形)如果Y=h(X)是系統(tǒng)

(1.2)

的不變(局部不變)流形， 且h是光滑的， 使得h(0)=0,Dh(0)=0, 則稱Mc={(X,Y)|Y=h(X)}是系統(tǒng)(1.2)的中心流形(局部中心流形)[2].

定義5 (焦點(diǎn))對(duì)于系統(tǒng)

(1.3)

記p=-trA=-(a+d),q=detA=ad-bc. 當(dāng)q>0且0

定義6 (平衡點(diǎn))對(duì)于二維自治系統(tǒng)

(1.4)

若點(diǎn)(x0,y0)， 使P(x0,y0)=0,Q(x0,y0)=0， 則稱(x0,y0)為自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)[2].

定義7 (穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡點(diǎn))設(shè)(x0,y0)是自治系統(tǒng)(1.4)的平衡點(diǎn)， 如果對(duì)(x0,y0)的任一領(lǐng)域U， 存在(x0,y0)的一個(gè)屬于U的領(lǐng)域U1， 使自治系統(tǒng)的每一條軌線(x(t),y(t))， 若有(x(0),y(0))∈U1， 則對(duì)一切t>0， 有(x(t),y(t))∈U， 就稱平衡點(diǎn)(x0,y0)是穩(wěn)定的， 否則就稱為不穩(wěn)定的[2].

定理1 (三維的Hopf分支定理[4])對(duì)于系統(tǒng)

(1.5)

假設(shè)F(X,λ)在U內(nèi)是解析的， 其中U是3×中的包括原點(diǎn)的一子集.F(0,λ)=0，A(λ)=DF(0,λ)有特征值α(λ)±iβ(λ)和δ(λ)， 且α(0)=0，β(0)>0,δ(0)<0,α′(0)>0, 則有下列結(jié)論成立：

(1)如果系統(tǒng)(1.5)的原點(diǎn)當(dāng)λ=0時(shí)是穩(wěn)定的但非漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)， 則系統(tǒng)(1.5)當(dāng)λ=0時(shí)的解在原點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的某一曲面上全是閉軌；

(2)如果系統(tǒng)(1.5)的原點(diǎn)當(dāng)λ=0時(shí)是漸近穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的平衡點(diǎn)， 則對(duì)充分小的λ>0(λ<0)， 系統(tǒng)(1.5)在原點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的有漸近穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的閉軌.

2 結(jié)論

1963年， Sherman構(gòu)造了三維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

(2.1)

并給出了周期解的存在性和穩(wěn)定性的條件[5]， 即：如果β是充分小的正數(shù)， 且0

我們利用平均法得到了系統(tǒng)(2.1)的周期解的存在性和解的表達(dá)式[7]， 但很難得到極限環(huán)的穩(wěn)定性. 本文接下來運(yùn)用中心流形和Hopf分支方法研究極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性.

證明 做變換u=x, v=y,w=z-1， 則系統(tǒng)(2.1)變?yōu)?/p>

(2.2)

上式可等價(jià)地寫成向量場(chǎng)

X=f(u,v,ω)=(-βu+v,-u+(k-1)βv+kβvω,-αβω-kβv2)

(2.3)

O(0,0,0)是(2.3)的一個(gè)平衡點(diǎn). f在點(diǎn)O的雅可比矩陣為

該矩陣的特征值為

λ1=-αβ<0

則當(dāng)k=2時(shí)， (2.3)式等價(jià)于

(2.4)

(2.5)

?uh(-βu+v)+?vh(-u+βv+2βvh) =-αβh-2βυ2

(2.6)

假設(shè)h具有如下形式：

h(u,v)=h20u2+h11uv+h02v2+h30u3+h21u2v+h12uv2+h03v3+h40u4+h31u3v+h22u2v2+h13uv3+

h04v4+…

將h的表達(dá)式代入(2.6)， 左邊有

?uh(-βu+v)+?vh(-u+βv+2βvh)=(2h20u+

h11v+3h30u2+2h21uv+h12v2+4h40u3+3h31u2v+

2h22uv2+h13v3+…)(-βu+v)+(h11u+2h02v+

h21u2+2h12uv+eh03v2+h31u3+2h22u2v+3h13uv2+

4h04v3+…)[-u+βv-2βv(h20u2+h11uv+h02v2+

h30u3+h21u2v+h12uv2+h03v3+h40u4+h31u3v+

h22u2v2+h13uv3+h04v4+…)]

右邊有

-αβh-2βv2=-αβ(h20u2+h11uv+h02v2+

h30u3+h21u2v+h12uv2+h03v3+h40u4+h31u3v+

h22u2v2+h13uv3+h04v4+…)-2βv2

比較左邊與右邊umvn(m+n≥2)的系數(shù)， 可得

(2.7)

(2.8)

(2.9)

分別解方程組(2.7)、(2.8)、(2.9)可得到

其中

φ(α,β)=α(4-4β2+α2β2)

ψ(α,β)=α3(-128β2-20α2β4+64β4+20α2β2+

α2β4+64)(4-4β2+α2β2)2

P1(α,β)=-64(48α2β2+32β4-48α2β4-16α3β4+13α4β4+40αβ4-64β2+32-40αβ2)

P2(α,β)=-64β(α-4)(48α2β2+32β4-48α2β4-16α3β4+13α4β4+40αβ4-64β2+32-40αβ2)

P3(α,β)=-16(384α2β2-768β4+864α2β4-744α3β4+180α4β4+192αβ4-1248α2β6+324α4β6+360α3β6+25α6β6-186α5β6+512β6+384αβ6-577αβ2+256)

P4(α,β)=-16β(384α2β6+40α4β6-448α3β6-

58α6β6+132α5β6+7α7β6+1024β2+384αβ2-864α2β2-512β4+208α3β2+480α2β4+496α3β4-440α4β4+84α5β4+128α-512αβ4-512)

P5(α,β)=-16(α8β8-8α7β8+16α6β8+17α6β6-98α5β6+16α5β8-80α4β8+132α4β6+64α4β4+64α3β8-232α3β4+104α3β6+128α2β2+96α2β4-224α2β6-160αβ2+160αβ4-256β2+

128β4+128)

將h代入到(2.5)并作線性變換

則(2.6)變?yōu)?/p>

(2.10)

其中

下面用冪級(jí)數(shù)法求(2.10)在原點(diǎn)的焦點(diǎn)量， 設(shè)存在冪級(jí)數(shù)

F=ξ2+η2+F3(ξ,η)+F4(ξ,η)+F5(ξ,η)+F6(ξ,η)+…

其中Fi(ξ,η)是關(guān)于ξ和η的i次齊次多項(xiàng)式， 且存在一組多項(xiàng)式V4(α,β),V6(α,β),…,V2k(α,β),…， 滿足

其中多項(xiàng)式Vi被稱為龐加萊—李雅普諾夫常數(shù)， 且這些多項(xiàng)式的變量是(2.10)的系數(shù).

龐加萊曾指出系統(tǒng)(2.10)在原點(diǎn)有一中心當(dāng)且僅當(dāng)V2k≡0對(duì)所有的k成立. 方程(2.10)在原點(diǎn)有一k階的細(xì)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)V2k+2是第一個(gè)非零的龐加萊—李雅普諾夫系數(shù).

通過直接的計(jì)算可以得到第一個(gè)龐加萊—李雅普諾夫系數(shù)

(2.11)

觀察上式得到

則根據(jù)(2)和定理1， 可知定理得證.

[1] 顧圣士. 微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)[M]. 上海： 上海交通大學(xué)出版社， 2000.

[2] 張錦炎, 馮貝葉. 常微分方程幾何理論與分支問題[M]. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2000.

[3] 丁同仁, 李承志. 常微分方程教程[M]. 北京： 高等教育出版社， 2004 .

[4] 馬知恩, 周義倉(cāng). 常微分方程與穩(wěn)定性方法[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2001.

[5]Sherman.S.Athird-ordernonlinearsystemarisingfromanuclearspingenerator[J].ContrDiffEqns，1963(2):197-227.

[6]LiDe-ming，HuangKe-lei.HopfbifurcationinaThree-dimensionalSystem[J].AppliedMathematicsandMechanics，1989(10):1011-1018.

[7] 許佰雁, 陳景蓮. 基于平均法的三維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)解的分析[J]. 洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015(11).

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

Existence and Stability of Three-Dimensional Polynomial Differential System Limit Cycles Based on Center Manifold

XU Bai-yan1, CHEN Jing-lian2

(1. Basic Research Section, Changchun Guanghua University, Changchun 130033, China; 2. Haier Group Ecommerce Co. Ltd, Qingdao 266000, China)

In 1963, Sherman constructed a three-dimensional polynomial differential system, and gave the existence and stability of periodic solution. In 1989, Li Deming, etc. using Liapunov-Schmidt reduction method gives the system after the Hopf bifurcation of the existence conditions; this article will use the study center manifold existence and stability of this system limit cycle.

three-dimensional polynomial differential system; limit cycle; existence; stability; center manifold.

2016-12-24

許佰雁(1984—)， 男， 山東菏澤人， 碩士， 講師. 研究方向： 微分方程理論.

O175．12

A

1009-4970(2017)02-0006-04