帶橫向支撐壓桿的穩(wěn)定承載能力

李 平 閆鐵成（隴東學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000）

1 引 言

壓桿的極限狀態(tài)是整體失穩(wěn)。理想的軸心壓桿的臨界力可以由歐拉公式推得，歐拉公式給出的臨界力NE是桿件能夠繼續(xù)保持直線平衡狀態(tài)的極限荷載，達(dá)到這一荷載后桿件即發(fā)生彎曲變形。

對(duì)于兩主軸（X、Y）慣性矩相差很大壓桿的截面（如工字型截面），繞強(qiáng)軸的臨界力Nx比繞弱軸的臨界力Ny大很多，因此，壓桿彈性工作范圍內(nèi)的臨界力取決于弱軸的剛度，穩(wěn)定承載能力取決于Ny。

從以上（1）（2）（3）式不難看出，計(jì)算長(zhǎng)度l的減小，可以使得壓桿的穩(wěn)定承載能力Ny有明顯的提高，實(shí)際工程中通常采用設(shè)置橫向支撐的方法來實(shí)現(xiàn)減小壓桿計(jì)算長(zhǎng)度以達(dá)到提高穩(wěn)定承載能力的目的。設(shè)置橫向支撐的實(shí)質(zhì)是在壓桿弱軸方向提供一個(gè)有一定剛度的支座，本文試圖以桿件高度中央設(shè)置支撐的壓桿為例，分析支撐的剛度與壓桿穩(wěn)定之間的關(guān)系。

2 支撐的剛度Kb

本文研究的力學(xué)模型采用圖1(a)所示，在桿件高度中央設(shè)置一橫向水平支撐，可以看作剛度為Kb如圖1(b)所示的彈簧支座，若該支座的剛度很弱，則支撐軸向變形大、桿軸線發(fā)生如圖1(c)所示的波形圖，此時(shí)支撐對(duì)Ny的提高并不顯著。因此，必須分析壓桿支撐的剛度，使之具備剛性支座的最小剛度。

當(dāng)支撐的剛度足夠時(shí)，壓桿屈曲時(shí)，桿軸線呈一個(gè)全波如圖1（d）所示，反彎點(diǎn)處于支撐的位置，相當(dāng)于一個(gè)鉸，支撐的壓縮量d很小，給反彎點(diǎn)處求矩：

則：

圖1 桿件中央帶支撐的壓桿

可以看出，中央橫向支撐剛度至少要達(dá)到4Nl/L，才可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算長(zhǎng)度減少到L/2的目的。

若n個(gè)支撐把壓桿分成n+1個(gè)等段，則彈簧的剛度應(yīng)至少為［2］：

當(dāng)n無線增大時(shí)，kl/ Nl趨近于4，因此，只要支撐剛度不低于

才能實(shí)現(xiàn)通過設(shè)置橫向支撐減小計(jì)算長(zhǎng)度的目的。此分析中并未限制橫向支撐的軸向變形d在彈性范圍內(nèi)，因此以上支撐剛度的分析可以用于非彈性失穩(wěn)分析。

考慮到壓桿中的橫向支撐并非完全剛性，國(guó)外學(xué)者Berlin將總長(zhǎng)為l的桿件分為n段，定義單個(gè)節(jié)間長(zhǎng)分別為ln-1和ln、pn-1、pn+1為桿端壓力，Mn為桿中部支座處力偶，由平衡關(guān)系得［3］：

橫向支撐處的轉(zhuǎn)角βn為：

將式（9）和邊界條件Mn-1=Mn+1=0帶入連續(xù)梁三彎矩方程中得：

其中，

聯(lián)立方程（8）（10），方程對(duì)于Mn和δn有非零解時(shí)，桿的屈曲方程即為可能。因此pn-1與pn的臨界值可由方程組系數(shù)行列式為零得到：

當(dāng)支撐半剛性時(shí)，式（14）有解等于：

其中，彈性支撐參閱文獻(xiàn)［4］。

3 支撐的內(nèi)力設(shè)計(jì)

考察圖1所示體系，壓桿、橫向支撐在彎曲變形下均處于完全彈性狀態(tài)，在軸心壓力作用下，壓桿的彎曲使得支撐產(chǎn)生壓力，荷載增加至發(fā)生圖1（a）所示兩個(gè)半波形屈曲，此時(shí)支撐產(chǎn)生的內(nèi)力為F。帶橫向支撐壓桿屈曲時(shí)，幾何條件是壓桿的撓度與支撐的壓縮變形d相等，結(jié)合屈曲條件和平衡條件，得支撐內(nèi)力F與壓桿臨界荷載 Pcr之比［1］：

式中λb為撐桿的長(zhǎng)細(xì)比，=F/FE。

F是支撐必須能承受的力，代表壓桿對(duì)撐桿強(qiáng)度上的最低要求。若不考慮壓桿的安全儲(chǔ)備（安全度和富裕度），有可能會(huì)出現(xiàn)壓桿未達(dá)到臨界荷載（例如兩個(gè)半波的屈曲臨界荷載），而撐桿的剛度卻已然達(dá)到了0，這與設(shè)置橫向水平支撐提高壓桿的承載能力相悖。國(guó)內(nèi)學(xué)者童根樹在1986年提出，鑒于支撐本身的臨界荷載FE（FE=π2EIb/b2）大于上述F力，采用支撐本身的臨界荷載來設(shè)計(jì)撐桿，這樣既可保證支撐的內(nèi)力達(dá)到F 后，撐桿仍有富余的剛度供壓桿支撐。

4 帶橫向支撐壓桿的穩(wěn)定性

圖1所示高度中央設(shè)置一橫向支撐的完善壓桿，假設(shè)壓桿和支撐桿都是無限彈性的，則壓桿的臨界荷載是：

式中Kc=2pEI/l=44π2EI/L3是被支撐壓桿失穩(wěn)形式發(fā)生改變時(shí)的剛度；支撐桿的軸壓剛度Kb=EAb/b。

將式（16）與兩端鉸接無支撐情況下的完善軸壓桿的臨界力pcr=π2EI/L2相比，式（16）的穩(wěn)定承載能力明顯提高了[π2EI/(0.5L)2-π2EI/L2]Kb/Kc,該增值是由支撐的剛度提供的，表面上看壓桿的臨界荷載pcr與支撐的剛度Kb成正比。但從物理意義上講，橫向支撐的剛度只有大于0，才能保證臨界荷載增加，即帶橫向支撐壓桿的荷載增加達(dá)到屈曲臨界荷載時(shí)，支撐的剛度必須大于0，這樣才能達(dá)到提高壓桿承載力的效果。

G.winter曾報(bào)告過有關(guān)減小壓桿計(jì)算長(zhǎng)度的支撐實(shí)驗(yàn)[5]，實(shí)驗(yàn)用冷彎槽鋼組合的工字截面，撐桿用十層紙，在桿段上設(shè)置一至四道支撐。實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：即使采用紙帶這樣的弱支撐，壓桿的承載力仍然提高很多。楊隆宇、李正良采用角鋼規(guī)格Q420、2L160×14、長(zhǎng)細(xì)比為30～50作為撐桿，實(shí)驗(yàn)表明：橫向支撐可有效提高試件的穩(wěn)定承載能力。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文通過對(duì)壓桿橫向支撐的剛度、內(nèi)力的探討，總結(jié)有以下幾點(diǎn)：

1）設(shè)置橫向支撐是減小壓桿計(jì)算長(zhǎng)度提高穩(wěn)定承載能力的有效方法。

2）橫向水平支撐必須滿足最小剛度的要求，才能對(duì)壓桿提供剛性支座達(dá)到減小計(jì)算長(zhǎng)度的目的。

3）壓桿達(dá)到屈曲臨界荷載時(shí)，橫向支撐的剛度必須大于0，才能保證壓桿的臨界荷載實(shí)現(xiàn)提高的目的。

4）本文的推論未考慮初始缺陷的影響，有待以后進(jìn)一步討論。

[1]陳紹蕃，《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》，北京：科學(xué)出版社，2005年4月。

[2]周承倜，《彈性穩(wěn)定理論》，四川：四川人民出版社，1981,77頁(yè)。

[3]Zimmermann H Die knickfestig keit eines stabes mit elastic-cher querstutzung ［M］Berlin:kessinger public,1906.

[4]Simitses G j An introduction to the elastic stability of structures ［M］Englewood cliffs:Pretice Hall,1976.

[5]Winter.G.,Lateral Bracing of Columns and Beams,Transaction ASCE,125.part 1,1960.