基于課程資源視角的“說數(shù)學(xué)”活動案例探究*

基于課程資源視角的“說數(shù)學(xué)”活動案例探究*

☉廣東省廣州市鐵一中學(xué) 鐘進均 于曉聞

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）（簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）在“課程目標(biāo)”中明確指出，提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力［1］，數(shù)學(xué)表達和交流能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力.1981年英國《Cockcroft報告》指出，教數(shù)學(xué)的主要理由在于“數(shù)學(xué)提供了有力的、簡潔的和準(zhǔn)確無誤的交流信息的手段”［2］.可見培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力十分必要.數(shù)學(xué)交流可分為口頭交流和書面交流.“說數(shù)學(xué)”［3］屬于前者，是指個體用口頭表達自己對數(shù)學(xué)問題的具體認(rèn)識、理解，解決數(shù)學(xué)問題的思路、思想和方法以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、體會等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.它包括“說知識”、“說過程”、“說異見”和“說體會”.它們分別指口頭表達具體的數(shù)學(xué)知識，個體解決某數(shù)學(xué)問題的過程，口頭表達個體對數(shù)學(xué)問題的結(jié)果的不同看法，個體探究某數(shù)學(xué)問題后的情感體會.

課程資源也稱教學(xué)資源［4］，就是課程與教學(xué)信息的來源，或者指一切對課程和教學(xué)有用的物質(zhì)和人力.長期以來，我國的課程資源的來源單一，開發(fā)主體、實施空間、資源內(nèi)容等方面的發(fā)展也較為落后.廣大一線教師極少參加課程資源開發(fā)，較多依賴教材和教學(xué)輔助資料；實施空間僅僅將教學(xué)局限于課堂；內(nèi)容往往偏重于知識特別是學(xué)科知識的開發(fā)，忽視對學(xué)生能力、素質(zhì)的培養(yǎng)，內(nèi)容結(jié)構(gòu)單一，不利于學(xué)生的發(fā)展.

“說數(shù)學(xué)”是一種開發(fā)與拓展課程教學(xué)資源的教學(xué)方式.筆者立足教學(xué)實踐，運用案例研究法對“說數(shù)學(xué)”活動案例從課程資源開發(fā)與拓展的角度展開了探究.

二、基于課程資源視角的高中說數(shù)學(xué)活動案例探究

案例是指包含有某些決策或疑難問題的教學(xué)情境故事，這些故事反映了典型的教學(xué)思考力水平及其保持、下降或達成等現(xiàn)象；是對個體對象、決策行為、或?qū)δ硞€實踐中發(fā)生的情景的真實描述.案例研究需遵循的原則有：①典型性原則：以小見大，反映出某一類事物或教育活動的基本共性.②真實性原則：所描述的是已發(fā)生的事實，不虛構(gòu).③個性化原則：案例所描述的事件要有一定的特性.④啟發(fā)性原則：所描述的事件有一定的沖突，使人產(chǎn)生認(rèn)知上的不平衡，引發(fā)人們深思.⑤創(chuàng)造性原則：符合新課程提倡的教學(xué)理念，用新的思考方法、新的觀點去分析研究，得出新的結(jié)論或發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.⑥理論聯(lián)系實際的原則：描述的是一個實踐的過程，但反映的卻是理性的問題.

（一）案例描述

筆者任教于廣東省國家級示范性高中，生源水平較好，學(xué)生的學(xué)習(xí)動力足，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好.在平時教學(xué)中，筆者經(jīng)常采用“說數(shù)學(xué)”教學(xué)方式進行教學(xué)，鼓勵學(xué)生大膽“說數(shù)學(xué)”，課堂氣氛活躍、民主.以下案例來自高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，具有典型性、真實性、啟發(fā)性和創(chuàng)造性.為了確保案例的真實性，以下師生的對話盡量保持原形.

一次數(shù)學(xué)連堂課給筆者留下了十分深刻的印象.在數(shù)學(xué)測試卷上有一道題（該卷共有12個小題，此題為第11題）：已知矩形ABCD的邊AB=4，AD=1，點P為邊AB上一動點，則當(dāng)∠DPC最大時，線段AP的長為（）.

A.1或3B.1.5或2.5

C.2D.3

圖1

筆者在講評該測試題時先在黑板上作出圖1，然后在黑板上邊分析題目，邊板書解題過程，具體如下（記為“方法1”）：如圖1，設(shè)AP=x，則PB=4-x.因為ABCD是矩形，所以∠PAD=∠CBP=90°.在Rt△DPA中，tan∠APD==

所以tan∠DPC=tan［π-（∠CPB+∠APD）］=-tan（∠CPB+∠APD）=

所以當(dāng)x=2時，∠DPC最大.因此，答案為C.

在講解完上述方法1之后，筆者問全班學(xué)生：“此題還有其他解法嗎？”.沒有學(xué)生提出意見.筆者問：“大家看看這條件‘矩形ABCD’，你會想到什么方法？”.筆者見到仍無學(xué)生想到其他方法，就提示說：“坐標(biāo)法.”此時，有多個學(xué)生說：“對哦！”筆者問：“那該如何做?。俊逼綍r成績處于中上水平的學(xué)生Z說：“老師，我知道怎么做了，讓我來給大家講講吧，可以嗎？”筆者說：“好的，你在黑板板書出來，講解一下.”學(xué)生Z在黑板上很快寫下了解題過程，具體如下（記為“方法2”）：以A為原點，分別以AB，AD所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)AP=λ，則有P（0，λ），D（1，4），C（1，0），所以=（1，4-λ）=（1， -λ）.故cos∠然，學(xué)生Z停下來，思考片刻后轉(zhuǎn)身看著全班同學(xué)說：“我往下不知道如何做了，不會化簡.”顯然，①式的化簡比較麻煩，運算量偏大.筆者對全班學(xué)生說：“Z同學(xué)的解答思路完全正確！坐標(biāo)法應(yīng)用于解答平面幾何問題比較常見.ABCD是矩形為建立平面直角坐標(biāo)系帶來了方便.至此，本方法能否繼續(xù)往下做并得出最終解答，我不敢肯定.若繼續(xù)往下做，則需較強的代數(shù)式變形技能.至此，問題已轉(zhuǎn)化為求以λ為自變量的函數(shù)最值問題.盼望各位要重視運算變形的訓(xùn)練.請大家課后繼續(xù)完成后續(xù)解題過程，看看能否求出最終解答.”當(dāng)時比較多學(xué)生對方法2都做了筆記.之后筆者繼續(xù)講評其他試題.出乎筆者意料的是，大約過了20分鐘，在即將下課的時候，平時數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的男生W對筆者說：“老師，我將剛才的方法2的解答求出來了，這方法確實可得出解答的.”筆者說：“太好了！你拿來給我看看，并講解給我聽.”此時，下課了.筆者安排學(xué)生下課休息.在課間，筆者看著男生W做在草稿紙上的解答，聽著他在旁邊認(rèn)真講解具體如下令x=（λ-2）2，則cos∠DPC=因為函數(shù)y=cosx在［0，π］上為減函數(shù)，所以要∠DPC最大，則需要最小，即要（x-3）2+16最小.因為λ∈［0，4］，所以x∈［0，4］，所以當(dāng)x=3時，cos∠DPC的最小值為0，也就是當(dāng)λ=2，即AP的長為2時，∠DPC最大.看到這里，筆者認(rèn)為該解答基本上沒什么問題.此時，上課鈴響了，筆者請學(xué)生W到黑板詳細(xì)寫下上述解答，再面向全班同學(xué)講解了一遍.突然，平時愛發(fā)問的女生H問：“我看不懂你怎么將cos∠DPC進行轉(zhuǎn)化的，你是如何想到要如此做的呢，這么煩瑣？”筆者說：“對！請W具體介紹你是如何想到這樣做的.”學(xué)生W接著繼續(xù)在黑板上邊板書邊講解：“分母（λ2-8λ+17）（1+λ2）=λ4-8λ3-18λ+17=［（λ-2）2］2-6（λ-2）2+25.（*）”筆者追問：“你怎么想到將λ4-8λ3-18λ+17轉(zhuǎn)化成［（λ-2）2］2-6（λ-2）2+25的呢？這么復(fù)雜的式子！”W邊寫邊說：“［（λ-2）2］2=λ4-8λ3+24λ2-32λ+16，（**）又（λ-2）2=λ2-4λ+4.我對比λ4-8λ3+18λ2-8λ+17和（**），就容易想到-6（λ-2）2=-6λ2+24λ-24，（***）到此，（*）就可配湊得到了”.此時，教室里響起了熱烈的掌聲.個別學(xué)生自發(fā)地說：“太厲害了！”筆者說：“很有道理.我自己也很難做得有你如此優(yōu)秀啊，佩服佩服！這么煩瑣、復(fù)雜的問題都被你解決了，有何感受體會??？”學(xué)生W說：“我自己之前沒有想過用老師介紹的這坐標(biāo)法去解.在上一節(jié)課老師提到了這個方法，確實入手很容易的.可是老師說到了，往下很難轉(zhuǎn)化來求出最值.我就嘗試去做一做，難度真的很大，有挑戰(zhàn)性.不過我堅信這方法一定能求解到解答的.還有，如果真的做不出來，我就考慮求導(dǎo)的方法了，只是對cos∠DPC求導(dǎo)更加煩瑣了.在做的過程中，我也想過放棄，覺得很煩瑣的，但內(nèi)心又有點不甘.我按照老師以前教的方法和思路去做，不斷想辦法將分子化成常數(shù)；只要做到如此，那就一定能求出結(jié)果的.通過這一解題過程，我內(nèi)心很高興的，感到很自豪，挑戰(zhàn)了一下自己，挺爽的，執(zhí)著很重要！”筆者接著說：“學(xué)生W一直都是我們班的數(shù)學(xué)成績很優(yōu)秀的同學(xué).大家很容易看到他對數(shù)學(xué)很執(zhí)著，不畏難，不輕易放棄，很值得大家學(xué)習(xí)！我們再用掌聲感謝他.”至此，這習(xí)題的講解結(jié)束了，共耗掉了至少25多分鐘.

（二）案例分析

1.說數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造交流性課程資源的教學(xué)方式

“交流”就是“互相溝通”［6］.說數(shù)學(xué)是學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間進行知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀等交流的重要渠道.從知識的表征角度看，“數(shù)學(xué)知識可分為陳述性知識、程序性知識和過程性知識等三類.陳述性知識是關(guān)于事實的知識，是人所知道的有關(guān)事物狀況的知識.程序性知識是關(guān)于人怎樣做事的知識，即由完成一件事所規(guī)定的程序、步驟及策略等組成的知識”，“過程性知識是伴隨數(shù)學(xué)活動過程的體驗性知識.它是一種內(nèi)隱的、動態(tài)的知識；沒有明確地呈現(xiàn)在教學(xué)材料中，而是隱性地依附于學(xué)習(xí)材料，在學(xué)習(xí)的過程中潛在性地融會貫通；始終伴隨著知識的發(fā)生和發(fā)展過程，學(xué)習(xí)者只能在學(xué)習(xí)的過程中去體驗，體現(xiàn)出過程性知識的動態(tài)性”［7］.

通常，數(shù)學(xué)教師非常重視課本、練習(xí)冊、習(xí)題卷和作業(yè)本等教學(xué)資源的選取和使用.課本是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源和工具.批改作業(yè)（含練習(xí)冊、習(xí)題卷和作業(yè)本）是師生之間進行知識性交流的重要方式.傳統(tǒng)的作業(yè)較多呈現(xiàn)的是學(xué)生的陳述性知識和程序性知識情況，較少反映學(xué)生的過程性知識情況，也就是讓老師知道學(xué)生的解答是否正確，但無法得知“對”與“錯”的背后的“艱苦付出”和體會.許多老師在課堂上通過提問與學(xué)生交流，較多關(guān)注學(xué)生所回答的具體知識（結(jié)果）或者解題過程是否準(zhǔn)確，而較少關(guān)注這些“結(jié)果”是如何得來的，也就是，教師開發(fā)交流性資源的意識不足.

上述案例，筆者介紹完方法1之后，故意設(shè)計了一個環(huán)節(jié)：提出另外的解題方法（努力方向），但是沒有給出具體解答過程；考慮到這個班的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，讓學(xué)生課后去嘗試求解出答案.想不到學(xué)生W“抓住不放”，在課堂上認(rèn)真地完成了后續(xù)解答，筆者積極鼓勵他在講臺上呈現(xiàn)自己的解題過程，鼓勵其他學(xué)生發(fā)問，使得數(shù)學(xué)課堂充滿了數(shù)學(xué)交流：既有師生之間的交流，也有學(xué)生與學(xué)生之間的交流.在回答其他學(xué)生的發(fā)問過程中，W非常具體地說出了自己的思維歷程（“說過程”）.在同學(xué)和老師的追問下，W說出了自己的解答過程中的每一步是如何得來的（“說過程”）.因此，學(xué)生們從W的板書學(xué)習(xí)到了“陳述性知識”，從他的“說”學(xué)習(xí)到了“程序性知識”.在筆者的啟發(fā)引導(dǎo)下，W說出了自己克服困難，不懈努力去轉(zhuǎn)化cos∠DPC的表達式，最終成功求解的感想和體會（“說體會”），亦即W“說”出了“過程性知識”.從而，W的“寫”與“說”相結(jié)合，邊“寫”邊“說”，在“寫”的基礎(chǔ)上再用“說”來補充與提升，促進了他與老師、其他學(xué)生之間的交流.客觀地說，如果上述方法2的解答，如果沒有W的“說”，確實不易理解，也正是W的“說”表明他對這問題及其解答的認(rèn)識十分深刻.可見，“說數(shù)學(xué)”創(chuàng)造了數(shù)學(xué)課堂的交流性課程資源，不僅交流了知識（陳述性知識和程序性知識），還交流了感想和體會（過程性知識）.

2.說數(shù)學(xué)有助于拓展反思性課程資源

“拓展”是指“開拓擴展”［6］.反思是指思考過去的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn).反思性課程資源是指能促進師生進行反思的課程資源，對學(xué)生而言，主要是對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的反思；對教師而言，主要是對數(shù)學(xué)教學(xué)情況的反思.反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程，以及活動過程中所涉及的有關(guān)材料、信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征的反向思考.教學(xué)需培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，讓學(xué)生形成反思習(xí)慣.傳統(tǒng)的反思性學(xué)習(xí)資源較多是課本、測試卷、作業(yè)等.這些資源較多反映“結(jié)果”，難以反映“過程”和“體驗”.因此拓展反思性資源很有必要.

在上述案例中，學(xué)生Z寫下了方法2的前面部分解題過程，無法將①進行化簡求出最值，引發(fā)了他和其他學(xué)生的反思：一是這方法及其解答過程和方法1的區(qū)別在哪里；二是①式有錯誤嗎，為什么求不出最值呢？學(xué)生W的解答引起了女生H的發(fā)問，促進了學(xué)生W的深入反思.學(xué)生W的“說過程”和“說體會”必需他本人充分反思解題過程、結(jié)果以及體驗，否則無法說出來.“說數(shù)學(xué)”促進了學(xué)生從解題結(jié)果到過程（含思想方法），再到體驗的反思.因此，“說數(shù)學(xué)”有助于拓展反思性課程資源.

3.說數(shù)學(xué)能開發(fā)拓展性課程資源

“說數(shù)學(xué)”是一種開發(fā)拓展性課程資源的教學(xué)方式，主要是指以下兩個方面：

第一，“說知識”可以是對課本知識（或課堂內(nèi)容）的延伸、拓展.上述案例中的方法2就是對課堂內(nèi)容的延伸和拓展，與筆者詳細(xì)講解的方法1完全不同.方法1從正切函數(shù)及其變換角度切入，構(gòu)造函數(shù)，接著轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再討論其最值；方法2先建立平面直角坐標(biāo)系，得到點的坐標(biāo)，然后將線段的夾角轉(zhuǎn)化為向量的夾角來求解，計算量增大，恒等變形的技巧性增強，而“坐標(biāo)法”是一種十分重要的幾何問題求解方法.因此，通過“說”方法2，就學(xué)生而言，無論是“說者”還是“聽者”都加深了對案例中的問題本身及其解法的認(rèn)識.

第二，“說數(shù)學(xué)”開發(fā)了課程評價資源.課程評價是教學(xué)的重要組成部分.教師要高度關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度與價值觀，而學(xué)生的情感、態(tài)度與價值觀往往是隱性的，伴隨在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中.長期以來，教師如何更好地培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、態(tài)度與價值觀，是一個很值得深入研究的課題.“說數(shù)學(xué)”是實施數(shù)學(xué)教學(xué)評價的重要方式之一［9］，能拓展評價內(nèi)容和方式.正如前面所述，學(xué)生W僅提供詳細(xì)的書面解題過程，其他學(xué)生甚至老師都未必能理解.如果沒有W的“說”，僅看其書面解答結(jié)果，那么我們就無法知道其解題思維歷程和心理體驗.正是“說知識”、“說過程”和“說體會”，讓W(xué)的情感、態(tài)度與價值觀盡量顯性化，讓教師有機會對其給予激勵性評價.所以，“說數(shù)學(xué)”開發(fā)了拓展性課程評價資源.

三、結(jié)束語

“說數(shù)學(xué)”［10］是一種老師引導(dǎo)、參與開發(fā)校本數(shù)學(xué)課程資源的教學(xué)方式.筆者在長期的“說數(shù)學(xué)”實踐中收集了不少案例，也就積累了許多寶貴的教學(xué)資源.創(chuàng)設(shè)機會讓學(xué)生“說數(shù)學(xué)”其最大意義和價值在于引導(dǎo)和促進教師和學(xué)生真正從基于教科書的教與學(xué)轉(zhuǎn)向基于數(shù)學(xué)課程資源的教與學(xué).課程資源的開發(fā)對教師提出了新的專業(yè)能力要求［11］，譬如，我們應(yīng)該如何開發(fā)優(yōu)質(zhì)課程資源更好服務(wù)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就很值得深入探究.

1.葉堯城.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教師讀本［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2003，9.

2.范良火譯.數(shù)學(xué)算數(shù)—英國學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會報告［R］.北京：人民教育出版社.1994.

3.鐘進均.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展說數(shù)學(xué)活動的實驗研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008，17（5）.

4.張廷凱，豐力.校本課程資源開發(fā)指南［M］.北京：人民教育出版社，2004，1.

5.鄭金洲.教育研究專題［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2002，3.

5.鐘進均.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)交流活動的實驗研究［D］.云南師范大學(xué)，2008.

6.商務(wù)印書館次數(shù)研究中心.新華詞典［M］.北京：商務(wù)印書館，2001，4.

7.喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.南寧：廣西教育出版社.2004.8：.

8.涂榮豹.試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2000，9（4）：.

9.鐘進均.高中“說數(shù)學(xué)”的過程性評價探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（6）：6-9.

10.鐘進均，劉仁森.基于需求層次理論的“說數(shù)學(xué)”案例探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（6）.

11.鐘進均.基于課程資源視角的數(shù)學(xué)日記探究［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（6）.

*本文為廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題《基于認(rèn)知心理學(xué)視角的高中說數(shù)學(xué)活動案例探究》（課題批準(zhǔn)號1201542650）和廣州市教學(xué)成果培育項目《基于課程資源視角的數(shù)學(xué)日記探究》（M2015A077）的階段性研究成果.