分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的正解

趙 聰，魏帥帥

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590;2.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 聊城 252059)

分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的正解

趙 聰1，魏帥帥2

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590;2.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 聊城 252059)

正解；第一特征值；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)

近年來(lái)，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的解已經(jīng)被眾多學(xué)者研究[1-8]), 大多數(shù)研究證明了分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性、 唯一性以及它們至少存在一個(gè)或多個(gè)正解. 例如，文獻(xiàn)[4]的作者討論了邊值問(wèn)題

許多作者也通過(guò)運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)、 相應(yīng)線(xiàn)性算子的第一特征值等理論對(duì)非線(xiàn)性微分方程的解進(jìn)行了研究[9-17], 但將以上兩理論結(jié)合對(duì)解進(jìn)行研究的方法并未應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階微分方程. 受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文將討論分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

(1)

至少存在一個(gè)正解, 其中2

本文假設(shè)以下條件成立：

1 預(yù)備知識(shí)

為了得到本文的主要結(jié)果, 給出以下相關(guān)定義和引理.

式中n-1≤p

引理1[7]令a∈R,σ∈C(0,1)∩L(0,1)且2

G(t,s)=

(2)

(i)tp-1(1-t)s(1-s)p-1≤Γ(p)G(t,s)≤

(p-1)s(1-s)p-1,?t,s∈(0,1)

(ii)tp-1(1-t)s(1-s)p-1≤Γ(p)G(t,s)≤

(p-1)tp-1(1-t) , ?t,s∈(0,1)

定義算子A,T:P→P如下:

t,s∈(0,1),x∈E

(3)

t,s∈(0,1),x∈E

(4)

類(lèi)似于參考文獻(xiàn)[9]的引理3可得如下引理.

類(lèi)似于參考文獻(xiàn)[13]可得以下引理.

2 主要結(jié)果

(5)

(6)

證明 由(5)式可知: 存在r1>0使得

f(u)≥λ1u, ?0≤u≤r1

(7)

令x*為T(mén)對(duì)應(yīng)于λ1的正特征函數(shù), 則x*=λ1Tx*.

對(duì)于任意的x∈?Br1∩P，根據(jù)(7)式有

(8)

不妨假設(shè)A在?Br1∩P上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)(否則結(jié)論已成立).

需要證明

x-Ax≠μx*, ?x∈?Br1∩P,μ≥0

第二，假新聞泛濫。隨著人工智能不斷成熟，在制造假新聞這一領(lǐng)域里，AI極有可能成為利益方最好的工具，而媒體正是利益方輸送信息最好的渠道。利用人工智能技術(shù)進(jìn)行音視頻造假、機(jī)器人水軍生產(chǎn)大量虛假新聞和評(píng)論等等，已形成一個(gè)“灰色產(chǎn)業(yè)鏈”，其推動(dòng)力便是對(duì)利益和權(quán)力的追求。這一現(xiàn)象在 2016 年美國(guó)大選中就有所顯現(xiàn)，各種假新聞對(duì)總統(tǒng)選舉產(chǎn)生了巨大影響，時(shí)至今日“通俄門(mén)”事件仍在美國(guó)發(fā)酵。由此發(fā)展，AI在未來(lái)新聞業(yè)的融合極有可能造成假新聞泛濫的局面，這說(shuō)明未來(lái)新聞業(yè)的發(fā)展或許很大一部分是數(shù)據(jù)權(quán)利的博弈。在這場(chǎng)博弈中，人們看到的世界是真實(shí)的世界嗎？無(wú)疑，新聞的真實(shí)性會(huì)受到嚴(yán)重的沖擊與挑戰(zhàn)。

(9)

(反證法): 假設(shè)存在x1∈?Br1∩P以及τ0≥0使得x1-Ax1=τ0x*,那么τ0>0且x1=Ax1+τ0x*≥τ0x*.設(shè)

(10)

容易看出τ*≥τ0>0且x1≥τ*x*. 根據(jù)T(P)?P有

λ1Tx1≥τ*λ1Tx*=τ*x*

因此，由(8)式可得

x1=Ax1+τ0x*≥λ1Tx1+τ0x*≥

τ*x*+τ0x*

這與τ*的定義相矛盾, 故(9)式成立, 由引理5可得

(11)

根據(jù)(6)式可知, 存在0<η<1以及r2>r1, 使得

f(u)≤ηλ1u, ?u≥r2

(12)

(13)

易知M<+. 令

(14)

下面證明W有界.

∫F(x)G(t,s)p(s)f(x(s))ds+

∫[0,1]F(x)G(t,s)p(s)f(x(s))ds≤

(T1x)(t)+M,t,s∈(0,1)

(15)

(I-T1)-1=I+T1+T12+…+T1n+…

(16)

根據(jù)T1(P)?P,有(I-T1)-1(P)?P. 因此我們得到x(t)≤(I-T1)-1M,t∈[0,1]. 且W有界.

(17)

根據(jù)(11)式和(17)式可得

(18)

(19)

式中λ1為(3)式中定義的T算子的第一特征值, 那么邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明 設(shè)

那么由引理2的(i)可證得A,T:P→K. 令x*為T(mén)對(duì)應(yīng)于λ1的正特征函數(shù), 則x*=λ1Tx*. 從而x*∈K.

根據(jù)(18)式可知，當(dāng)u充分大時(shí), 存在ε>0以及R1>0使得

f(u)≥(λ1+ε)u, ?u∈[R1,+)

(20)

那么存在m>0, 使得f(u)≥(λ1+ε)u-m, ?u∈[0,+).取

不妨假設(shè)A在?BR1上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)(否則結(jié)論已成立). 需要證明

x-Ax≠ωx*, ?x∈?BR1∩P,ω≥0

(21)

(反證法): 假設(shè)存在x2∈?BR1∩P以及ω1>0使得

x2-Ax2=ω1x*

故知x2∈K.

因?yàn)門(mén)(P)?K,x*∈K. 由引理2及(20)式得

x2(t)=Ax2(t)+ω1x*(t)=

λ1Tx2(t)+ω1x*(t),t,s∈(0,1)

(22)

因此由(22)式, 有

x2≥λ1Tx2+ω1x*≥ω1x*

(23)

λ1Tx2≥ω*λ1Tx*=ω*x*

那么根據(jù)(23)式可以得出

x2≥λ1Tx2+ω1x*≥(ω*+ω1)x*

這與ω*的定義相矛盾, 故(21)式成立, 根據(jù)引理5可得

(24)

由(19)式可知，存在0

f(u)≤λ1u, ?u≤r

(25)

需要證明

Ax≠μx, ?x∈?Br∩P,μ≥1

(26)

(反證法): 假設(shè)存在x3∈?Br∩P以及ω2≥1使得Ax3=ω2x3. 假設(shè)ω2>1, 則x3∈?Br∩P. 由(25)式可得：ω2x3=Ax3≤T2x3.

另外, 有ω2nx3≤T2nx3(n=1,2，…) 即

通過(guò)Gelfand公式可以推出

這與r(T2)=1相矛盾, 故(26)式成立, 根據(jù)引理6可得

(27)

因此, 由(24)式和(27)式可得

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(編輯：郝秀清)

Positive solution for boundary value problems for fractional differential equations

ZHAO Cong1,WEI Shuai-shuai2

(1.College of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China;2.School of Mathematics, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

positive solution; first eigenvalue; fixed point index

2016-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11571207)

趙聰, 男,sdustcyj@163.com

1672-6197(2017)03-0011-04

O

A