APOS理論下的高中“說(shuō)數(shù)學(xué)”

廣東省廣州市天河中學(xué) 林海濱

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力的培養(yǎng)。“說(shuō)數(shù)學(xué)”，顧名思義，就是讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，通過(guò)語(yǔ)言與教師、與同學(xué)交流對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，讓學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”在數(shù)學(xué)課堂上已經(jīng)不新鮮。但是，很多所謂的“說(shuō)數(shù)學(xué)”其實(shí)就是“說(shuō)解題”，在對(duì)數(shù)學(xué)理解起著至關(guān)重要作用的概念的教學(xué)中，很多教師都不知道該引導(dǎo)學(xué)生去說(shuō)什么，沉悶的概念課讓學(xué)生對(duì)本就抽象的數(shù)學(xué)概念的理解大打折扣，不少學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)概念學(xué)不好，慢慢失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)概念也大有可“說(shuō)”，想要讓學(xué)生有說(shuō)的內(nèi)容，有說(shuō)的契機(jī)，有說(shuō)的興趣，關(guān)鍵是教師要改變重解題、輕概念，重結(jié)論、輕過(guò)程，重講授、輕探索的落后觀念。本文將在APOS理論的框架下，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，探討高中數(shù)學(xué)概念課中如何讓學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”。

一、APOS理論概述

APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出一種建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)。它將數(shù)學(xué)概念的獲得分為“活動(dòng)—過(guò)程一對(duì)象一圖式”四個(gè)階段。它強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生開(kāi)展各種各樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)思維運(yùn)算和反省抽象，對(duì)概念具有的直觀背景和形式定義進(jìn)行必要的綜合，從而達(dá)到建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的。在這四個(gè)階段中，學(xué)生有很多口頭表達(dá)的機(jī)會(huì)，通過(guò)“說(shuō)概念”，也能大大促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解。

二、概念課如何“說(shuō)數(shù)學(xué)”

1.說(shuō)概念的形成

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、抽象概括等過(guò)程。 APOS理論也強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)概念。在開(kāi)始學(xué)習(xí)概念時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)所學(xué)概念的特點(diǎn)，提供多樣化的感性材料，讓學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)積極的思維活動(dòng)和學(xué)生之間的交流，最終上升為理性認(rèn)識(shí)，并用嚴(yán)密規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出概念。有時(shí)可以提供幾組特例，如學(xué)習(xí)等差（等比）數(shù)列時(shí)，可提供多組不同類型的等差（等比）數(shù)列，讓學(xué)生觀察規(guī)律，并提煉概括出概念。有時(shí)可以讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，如橢圓（雙曲線、拋物線）概念的教學(xué)中，教師可組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并讓學(xué)生討論，從而自行得出橢圓（雙曲線、拋物線）的定義。學(xué)習(xí)幾何概念時(shí)可以多提供實(shí)際模型和圖形，如在“異面直線”概念的教學(xué)中，教師可讓學(xué)生在教室里找出一些既不平行又不相交的直線，然后告訴學(xué)生這樣的直線叫異面直線，接下來(lái)提出“什么是異面直線”的問(wèn)題，讓學(xué)生相互討論，嘗試敘述，經(jīng)過(guò)反復(fù)修改補(bǔ)充后，得出準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x：“我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的直線叫異面直線”。

總之，教師在新概念的教學(xué)中千萬(wàn)不能用自己的活動(dòng)代替學(xué)生的活動(dòng)，更不能貪圖方便，直接就給出定義，然后解釋說(shuō)明了事，而應(yīng)該切實(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，并通過(guò)口頭的表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。

2.說(shuō)概念的本質(zhì)

掌握概念貴在掌握概念的本質(zhì)，運(yùn)用概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵就在于是否掌握了概念的本質(zhì)屬性，如果對(duì)概念的本質(zhì)理解得不準(zhǔn)確或不全面，就會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)這樣或者那樣的問(wèn)題，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)不理想，影響了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。因此APOS理論強(qiáng)調(diào)對(duì)“對(duì)象”精致化，使其成為一個(gè)具體的對(duì)象。但剛剛形成的概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)只是一種初步的形式，其實(shí)質(zhì)的含義并不清晰，所以教學(xué)中需要教師提供豐富的變式，在師生積極的語(yǔ)言交流中讓學(xué)生把概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性分開(kāi)。例如學(xué)生通過(guò)一些實(shí)例知道函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，還需要通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的一些圖表和圖象認(rèn)識(shí)到表達(dá)函數(shù)的多種方法，需要通過(guò)由實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的分段函數(shù)認(rèn)識(shí)到不同的變量范圍可以有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要通過(guò)y=2x 和s=2t 是否同一函數(shù)的辨析才能認(rèn)識(shí)到函數(shù)的三要素，需要通過(guò)函數(shù)值 （m是某個(gè)常數(shù)）、 等的計(jì)算才能理解符號(hào)“ ”的含義，這些都構(gòu)成了對(duì)函數(shù)概念理解的一部分，教師必須在這過(guò)程中注意有針對(duì)性的引導(dǎo)學(xué)生，與學(xué)生進(jìn)行良好的互動(dòng)，才能讓學(xué)生不斷升華對(duì)函數(shù)概念的理解。同時(shí)，教師也可以提出一些開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生思考和討論。比如在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，教師可以問(wèn)：“你能不能舉一些不能畫圖象的函數(shù)”等問(wèn)題。越多樣的角度和渠道，越能加深學(xué)生對(duì)概念的理解程度，最后學(xué)生形成的概念圖式越準(zhǔn)確、越全面。

3.說(shuō)概念的聯(lián)系和區(qū)別

數(shù)學(xué)概念不是一個(gè)個(gè)孤立的個(gè)體，它們之間有著緊密的聯(lián)系，因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)該提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生把新的概念納入到原有的概念體系中，從而形成綜合的心理圖式。如認(rèn)識(shí)了遞增數(shù)列、遞減數(shù)列后，可讓學(xué)生談?wù)勊鼈兒秃瘮?shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，學(xué)完了雙曲線的概念，可讓學(xué)生談?wù)勊c橢圓的異同。

數(shù)學(xué)中許多概念具有一定的抽象性和相似性，使得學(xué)生對(duì)這些概念的理解容易產(chǎn)生混淆。例如頻率與概率、映射與函數(shù)、對(duì)數(shù)與指數(shù)、子集與真子集、相互獨(dú)立事件與互斥事件等。教師要引導(dǎo)學(xué)生討論辨析這些概念的異同，說(shuō)說(shuō)它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，深刻理解這些概念。

4.說(shuō)概念的應(yīng)用

引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問(wèn)題中的作用，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生的對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固，以及解題能力的形成。這一環(huán)節(jié)如果能精選例題，讓他們從不同的角度應(yīng)用概念解決問(wèn)題，并提供給他們發(fā)表個(gè)人解法的機(jī)會(huì)，對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣的提高大有益處。學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考，盡快地投入到新概念的探索中去，從而激發(fā)了學(xué)生的好奇以及探索和創(chuàng)造的欲望，使學(xué)生在說(shuō)概念應(yīng)用的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。

三、小結(jié)

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，我們理應(yīng)讓數(shù)學(xué)概念課煥發(fā)活力和生機(jī)。只要改變教學(xué)觀念，真正重視概念學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，我們就能讓學(xué)生在概念課上活活潑潑地說(shuō)起數(shù)學(xué)來(lái)，讓學(xué)生在語(yǔ)言的交流中學(xué)得知識(shí)，提升思維，更收獲學(xué)習(xí)的快樂(lè)。