高考數(shù)學(xué)命題新特點(diǎn)審視

曹衛(wèi)民

[摘 要] 高考試題一直在不斷變革，在尋求創(chuàng)新. 從高考試題中，教師要進(jìn)行研究、思考、挖掘，讀懂試題背后隱藏的故事，才能有助于數(shù)學(xué)教學(xué)的開展.

[關(guān)鍵詞] 高考；試題；本質(zhì)；思想；變革；命題；編制

眾所周知，高考變革牽動著數(shù)以萬計(jì)的家庭，也給教師帶來了教學(xué)變革的思考.從大量研究數(shù)據(jù)表明，近年來高考愈來愈走向?qū)χR本質(zhì)、能力、思想等角度的考查，這是一個新的發(fā)展方向.

從全國統(tǒng)考到分省命題，到2016年高考剩下僅僅七省市命題，可見高考命題也在不斷發(fā)生變革. 南師大單教授，浙江大學(xué)金教授等高考命題專家都準(zhǔn)確給出了近年來新高考發(fā)展的方向：數(shù)學(xué)知識考查必須脫離題型教學(xué)，必須脫離題海訓(xùn)練模式，讓強(qiáng)化訓(xùn)練模式?jīng)]有用武之地，讓靈活教學(xué)、思維培養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主流.從教育部基礎(chǔ)教育司聯(lián)合清華、北大等名校對于各地高考數(shù)學(xué)試卷命題質(zhì)量的調(diào)查研究報(bào)告指出，江蘇、浙江等分省命題質(zhì)量很好，也引導(dǎo)著新一輪教學(xué)改革的方向. 那么從這些優(yōu)秀的高考試題中我們教師讀懂了什么？給我們的教學(xué)點(diǎn)出了什么樣的實(shí)施方向？讓教師思考如何去改變自己的教學(xué)傳統(tǒng)適應(yīng)新高考？這些都是試題背后值得教師思考的方向.

讀懂本質(zhì)的重要性

高考中的雙基問題是數(shù)學(xué)基本知識考查的第一層次，這一類問題對于學(xué)生而言相對容易，不在計(jì)算、記憶等環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯誤則沒有特別的失分現(xiàn)象. 但是，僅僅憑借基本知識和基本技能是無法對于學(xué)生認(rèn)識能力進(jìn)行區(qū)分的，這里以浙江等地的高考試題為例給出了數(shù)學(xué)基本知識考查的第二層次，即本質(zhì)的深層次認(rèn)知.

知識1：橢圓、雙曲線、拋物線為何稱之為圓錐曲線？

眾所周知，圓錐曲線主要是研究橢圓、雙曲線、拋物線，這三種曲線的概念在教材中也給出了介紹，動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和為定值的點(diǎn)的軌跡稱之為橢圓（a>c），雙曲線是到兩定點(diǎn)距離差的絕對值為定值的點(diǎn)的軌跡（a

問題1：（2015年浙江文）如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是__________. （填寫線段、圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的一種或多種）

分析：這是典型的圓錐曲線概念問題，但是其不同于教材中的第一定義，往往讓學(xué)生極為費(fèi)解.在教材章頭圖中有這樣三幅圖（圖2），用與圓錐母線呈不同角度的平面去截圓錐，可以得到不同的截口曲線，這是橢圓、雙曲線、拋物線，這是三者為何稱之為圓錐曲線的主要原因. 顯然，高考命題已經(jīng)超越了教材基本的第一定義的考查，而延伸到了師生都不太關(guān)注的章頭圖大做文章. 上述問題也不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡是圓錐與平面α的截口曲線，考慮到一定的角度，最終是橢圓.

可以這么說，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)成為高考數(shù)學(xué)命題的重要特色，這在近些年很多經(jīng)典問題中出現(xiàn)，給出下列問題供讀者后續(xù)研究.

問題2：（2016年江蘇）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)，·=4，·=-1，則·的值是_________.（答案：，向量極化恒等式）

問題3：（2015年浙江）對任意的x∈R，存在函數(shù)f（x）滿足__________. （答案（3），函數(shù)概念）

說明：對于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深層次的思考，是新高考試題命制的一個重要方向，這種試題體現(xiàn)了新高考的重要導(dǎo)向作用，完全拋棄以訓(xùn)練為主導(dǎo)的題海模式，將訓(xùn)練效用降低到最低，從數(shù)學(xué)理解、知識掌握、本質(zhì)感悟的角度來區(qū)分學(xué)生，這樣的試題將會愈來愈多地體現(xiàn)在應(yīng)試中，成為教師教學(xué)的優(yōu)秀素材，也給師生的教與學(xué)提供了數(shù)學(xué)知識“靈魂”的認(rèn)知.

理解知識的邊緣性

作為教師，我們常常有這樣的感受：今年的某些高考試題感覺超綱了，怎么可以這樣解決？有些問題用一些邊緣性的知識解決非?？焖?，但是好像平時用到比較少，是不是不應(yīng)該考這樣的問題？面對這樣的問題，我們該如何選擇教學(xué)？這里筆者借用單教授的一句話：只要是能用高中常規(guī)方法解決的問題，都不算是超綱的問題，至于是不是還有其他更為巧妙的方法，能不能用邊緣性的知識解決？這都不是問題.

問題4：（2008年江蘇）若AB=2，AC=BC，則S△ABC的最大值________.

問題5：（2013年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4. 設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上. （1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

分析：上述兩個問題的背景是一致的，利用了阿波羅尼斯圓，利用這一幾何背景可以較為快速地建立模型、解決問題. 何為阿波羅尼斯圓？在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足=λ，當(dāng)λ>0，且λ≠1時，P點(diǎn)的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓. M，N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑. 這一知識屬于高考邊緣性知識，掌握的話可以簡捷運(yùn)算過程，這對于優(yōu)秀學(xué)生而言是一種不錯的教學(xué)指導(dǎo)，是新高考命題呈現(xiàn)的特征——問題具備數(shù)學(xué)背景，多探究這樣的數(shù)學(xué)背景有助于研究新一輪命題導(dǎo)向.

說明：經(jīng)過大量研究發(fā)現(xiàn)，高考試題的編制往往蘊(yùn)含深奧的知識背景，這些知識并不出現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，但是在教學(xué)中加以一定的滲透，將有助于教師理解問題，引導(dǎo)我們進(jìn)行合理的教學(xué).如江蘇卷極為喜歡的阿波羅尼斯圓，向量中的極化恒等式，不等式中的三角不等式等等，這些在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中都是邊緣性知識，但是卻在應(yīng)試中深受專家偏愛，僅僅從高考考查的角度來說，這是教師需要研究的方向，是從試題背后挖掘的重要信息.

關(guān)注思想的深刻性

數(shù)學(xué)思想是高考試題必然倚重的背景，特別對于一些具備區(qū)分學(xué)生層次的試題來說，其背后隱藏的數(shù)學(xué)思想具備著深刻性，從學(xué)生整體素養(yǎng)角度來說，具備數(shù)學(xué)思想并能靈活運(yùn)用的學(xué)生，往往更受到頂尖大學(xué)的青睞，這也是數(shù)學(xué)思想為什么一直在高考問題命題中占據(jù)重要地位的原因.單教授在每年江蘇卷評析中都會提到數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的缺失，正是因?yàn)檫@種缺失，導(dǎo)致學(xué)生問題的解決不能夠轉(zhuǎn)換角度，找到恰當(dāng)?shù)摹⑶擅畹姆绞?

分析：本題的標(biāo)準(zhǔn)解答是利用參變分離結(jié)合分類討論，筆者認(rèn)為這并不是編題者真正的意圖！顯然，在這樣的問題背后，我們更多的看到的是如何利用數(shù)形結(jié)合思想來處理零點(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)是代數(shù)中的概念，轉(zhuǎn)換成幾何的語言即是兩個函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此這才是思想方法在這樣的問題解決中具備的足夠魅力！不妨記g（x）=ax+b，h（x）= -x2，結(jié)合圖4不難發(fā)現(xiàn)兩個極端位置，因此可以輕松解決-3≤b≤9-4.

說明：思想方法一直是高考命題體現(xiàn)能力立意之處，也是體現(xiàn)學(xué)生間思維層次的重要標(biāo)桿，以不同的思想方法衡量學(xué)生，這是新高考命題的重要特點(diǎn)，也成為教師教學(xué)需要滲透和改變的，將思想方法通過典型問題進(jìn)行滲透，才能引導(dǎo)學(xué)生脫離訓(xùn)練模式，引導(dǎo)其通過認(rèn)真的思考、潛心的感悟，去領(lǐng)略思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中的巧妙性.

總之，新高考走在能力立意和思維考查的道路上，教師要領(lǐng)悟命題者在上述方面的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而提高自身對于教學(xué)的轉(zhuǎn)變和感悟，從較早的時間段入手引導(dǎo)學(xué)生做好數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的思考、思維的啟迪、邊緣性知識的開拓和思想方法的滲透，只有多方面的入手才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.