圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

曹勝才

圓錐曲線(xiàn)是高考必考題，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的基本知識(shí)與方法和數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想，涉及距離、斜率的基本概念. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題是解析幾何考查的熱點(diǎn)題型之一，這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本思想是等式的恒成立.

特殊入手，再證明

例1 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的焦距為2，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)[M（0，-13）]的動(dòng)直線(xiàn)[l]交橢圓[C]于[A，B]兩點(diǎn)，試問(wèn)：在y軸是否存在一個(gè)定點(diǎn)[Q]，使得以[AB]為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)[Q]？若存在，求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 （1）待定系數(shù)法；（2）直線(xiàn)[l]有兩個(gè)特殊位置，從而可確定兩個(gè)特殊圓的方程，先找到符合條件的特殊點(diǎn)[Q]，再證明此點(diǎn)滿(mǎn)足一般情況，即[QA?QB]的值恒為0.

解 （1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形， [∴b=c.]

又斜邊長(zhǎng)為2，即[2c=2].

故[a=2c=2].

故橢圓的方程為[x22+y2=1].

（2）當(dāng)[l]與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為[x2+（y+13）2=169].

當(dāng)[l]與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為[x2+y2=1].

聯(lián)立得，[x2+（y+13）2=169，x2+y2=1，]解得，[x=0，y=1.]，

故若存在定點(diǎn)Q，則Q的坐標(biāo)只可能為[Q（0，1）].

下面證明[Q（0，1）]為所求.

①若直線(xiàn)[l]斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

②當(dāng)直線(xiàn)[l]斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)[l：y=kx-13，][A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

由題意得，[y=kx-13，x2+2y2-2=0，]

聯(lián)立得，[（9-18k2）x2-12kx-16=0.]

[∴Δ=144k2+64（9+18k2）>0]，

[x1+x2=12k18k2+9]，[x1x2=-1618k2+9].

又[QA=（x1，y1-1）]，[QB=（x2，y2-1）]，

[∴QA?QB=x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2-4k3（x1+x2）+169=（1+k2）-169+18k2-4k3?12k9+18k2+169=0.]

[∴QA⊥QB]，即以[AB]為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)[Q（0，1）.]

解讀 解析幾何中證明動(dòng)直線(xiàn)（曲線(xiàn)）過(guò)定點(diǎn)，一般是先選擇一個(gè)參數(shù)建立直線(xiàn)（曲線(xiàn)）系方程，然后根據(jù)直線(xiàn)（曲線(xiàn)）系方程過(guò)定點(diǎn)時(shí)方程成立與參數(shù)沒(méi)有關(guān)系，得到一個(gè)關(guān)于[x]，[y]的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線(xiàn)（曲線(xiàn)）所過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)具備一定的限制條件時(shí)，可特殊對(duì)待. 解決定點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵就是建立直線(xiàn)或者曲線(xiàn)系方程，要注意選用合適的參數(shù)表達(dá)直線(xiàn)或者曲線(xiàn)系方程；如果是雙參數(shù)，要注意這兩個(gè)參數(shù)之間的相互關(guān)系.

推理計(jì)算，消去變量

例2 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的離心率為[12]，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)[7x-5y+12=0]相切.

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）設(shè)[A（-4，0）]，過(guò)點(diǎn)[R（3，1）]作與[x]軸不重合的直線(xiàn)交橢圓[C]于[P，Q]兩點(diǎn)，連接[AP]，[AQ]分別交直線(xiàn)[x=163]于[M]，[N]兩點(diǎn)，若直線(xiàn)[MR]，[NR]的斜率分別為[k1]，[k2]，試問(wèn)：[k1k2]是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）由題意得，[ca=12]，[127+5=b]，[a2=b2+c2]，解得，[a=4]，[b=23]，[c=2].

故橢圓[C]的方程為[x216+y212=1].

（2）設(shè)[P（x1，y1）]，[Q（x2，y3）]，直線(xiàn)[PQ]的方程為[x=my+3].

由[x216+y212=1，x=my+3]得，[（3m2+4）y2+18my-21=0].

所以[y1+y2=-18m3m2+4]，[y1y2=-213m2+4].

由[A]，[P]，[M]三點(diǎn)共線(xiàn)可知，[yM163+4=y1x1+4]，所以[yM=28y13（x1+4）].

同理可得，[yN=28y23（x2+4）].

所以[k1k2=yM163-3×yN163-3=9yMyN49=16y1y2（x1+4）（x2+4）.]

因?yàn)閇（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7）]

[=m2y1y2+7m（y1+y2）+49]，

所以[k1k2=16y1y2m2y1y2+7m（y1+y2）+49]

[=16×-213m2+4m2×-213m2+4+7mx×-18m3m2+4+49=127.]

例3 已知拋物線(xiàn)C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若m=1，且直線(xiàn)l的斜率為1，求以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程；

（2）問(wèn)是否存在定點(diǎn)M，不論直線(xiàn)l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，使得[1AM2+1BM2]恒為定值.

分析 （1）設(shè)而不求，弦長(zhǎng)公式求出圓心與半徑即可.（2）引入直線(xiàn)l的斜率的倒數(shù)作為變量，表達(dá)出[1AM2+1BM2]，分析數(shù)式取值與變量無(wú)關(guān)的條件是解決此題關(guān)鍵.

解 （1）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x0，y0）.

由題意得，M（1，0），直線(xiàn)l的方程為y=x-1.

由[y=x-1，y2=4x]得，x2-6x+1=0.

則x1+x2=6，x1x2=1，且x0=[x1+x22]=3，y0=x0-1=2.

故圓心為P（3，2），

直徑[|AB|=2]|x1-x2|[=2?x1+x22-4x1x2=8].

∴以AB為直徑的圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=16.

（2）若存在這樣的點(diǎn)M，使得[1AM2+1BM2]恒為定值，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=ky+m.

由[x=ky+m，y2=4x]得，y2-4ky-4m=0.

于是y1+y2=4k，y1y2=-4m.

又|AM|2=[y12]（1+k2），|BM|2=[y22]（1+k2），

∴[1AM2+1BM2=1y12+1y22?11+k2]

[=11+k2?y1+y22-2y1y2y1y22=11+k2?k2+m2m2.] （*）

（*）式要與k無(wú)關(guān)，只需[m2]=1，即m=2，進(jìn)而[1AM2+1BM2=14].

∴存在定點(diǎn)M（2，0），不論直線(xiàn)l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，[1AM2+1BM2]恒為定值[14].

解讀 解決圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題的基本思路很明確，即定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線(xiàn)方程、數(shù)量積、比值關(guān)系，其不受變化的量影響的一個(gè)值就是要求的定值. 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線(xiàn)方程、數(shù)量積、比值關(guān)系，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量. 注意把問(wèn)題的各種可能情況考慮進(jìn)去，特別是涉及直線(xiàn)的斜率時(shí)，要注意直線(xiàn)的斜率不存在的情況，同時(shí)要注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化及使用平面幾何的知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算.