探數(shù)理之源 尋算法之根

齊勝利

【摘 要】平均數(shù)是“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)重要內(nèi)容之一，如何幫助學(xué)生既能掌握計(jì)算平均數(shù)的方法，又能真正理解平均數(shù)的概念，一直是教師追求的方向。俞正強(qiáng)老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課，從探平均數(shù)數(shù)理之源入手，挖掘出平均數(shù)“代表了”數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上尋找平均數(shù)算法之根，巧妙解決了算理與算法的融合，為后繼拓展平均數(shù)運(yùn)用之路奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù) 數(shù)理 算法 運(yùn)用

平均數(shù)是分析數(shù)據(jù)的重要工具之一，小學(xué)所學(xué)的平均數(shù)一般指的是算術(shù)平均數(shù)，它常用于表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的一般水平，是描述數(shù)據(jù)集中位置的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。既可以用它來反映一組數(shù)據(jù)的一般情況和平均水平，也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)的比較，以看出組與組之間的差別。

在平均數(shù)教學(xué)中，對(duì)于計(jì)算平均數(shù)的方法學(xué)生很容易掌握，但對(duì)平均數(shù)的概念卻很難真正理解，如何理解平均數(shù)概念就成了平均數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)所在。怎樣幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)平均數(shù)概念的真正理解，培養(yǎng)其數(shù)據(jù)分析能力呢？俞正強(qiáng)老師執(zhí)教的“平均數(shù)”教學(xué)給我們提供了很好的范例。

一、探源——探平均數(shù)“數(shù)理”之源

【教學(xué)片段】

師：小明爸爸幫他測(cè)得60米跑的時(shí)間：15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。小明到學(xué)校要填寫個(gè)人60米跑的成績(jī)。我發(fā)現(xiàn)他填了一個(gè)數(shù)字：15秒。但之后又把15秒涂掉了，我想問問大家，他為什么把15秒涂掉？如果是你會(huì)涂掉嗎？

生：不會(huì)。

生：會(huì)涂掉，15秒是他跑得最慢的一次，并不是他每一次都是這個(gè)速度。

師：他愿意報(bào)告給老師嗎？你認(rèn)為他的說法有道理嗎？

生：有道理。（生陸續(xù)說）

師：剛才小朋友說了，如果換成我也涂掉，因?yàn)?5秒是他所有成績(jī)當(dāng)中？

生：最慢的。

師：他把跑得最慢的填在上面，他甘心嗎？你甘心嗎？（邊說邊畫去15，連續(xù)追問）

生：不甘心。

生：14出現(xiàn)了2次，所以應(yīng)該填14。

師：填最慢的不甘心，你們猜他涂了之后填了哪個(gè)數(shù)字？（生大部分說14，少數(shù)說10）

師：他真的填了個(gè)10，沒填14。但后來又把它涂掉。你們知道他為什么又涂掉呢？如果是你，你會(huì)涂掉嗎？

生：我會(huì)。

師：為什么會(huì)涂掉呢？10秒是他跑出的什么成績(jī)呀？

生：最好的。

師：這是他昨天跑出來最快的一次成績(jī)。他能不能保證每次都跑10秒呀？

生：不能。

師：他如果填了10秒，老師叫他跑，他跑不出來，會(huì)是什么感覺？

生：很尷尬。（連續(xù)追問）

生：會(huì)感覺欺騙了老師。

師：不好意思，是吧？第一我們不想貶低自己，第二我們又不想讓別人感覺欺騙他。保證不了每次都能跑出10秒，填這個(gè)是有點(diǎn)不好意思。我看到他涂掉10后發(fā)呆。我想問一個(gè)問題，他最后填了一個(gè)數(shù)，你們估計(jì)他填的是幾？

生：他可能填14。（連續(xù)追問）

師：同學(xué)們，他一定會(huì)填14。理由是什么？

生：理由是他跑了兩次都是14秒。

師：在所有成績(jī)當(dāng)中，14秒跑的次數(shù)？

生：最多。

師：這是最多的呀，所以要填14。你們還有什么意見？

生：我支持填13秒。

生：我也支持13，因?yàn)樗鼈兊钠骄鶖?shù)是13。

師：13是平均數(shù)？有沒有第三個(gè)答案？

生：12。

師：為什么？

生：因?yàn)檫@樣可能保守一點(diǎn)。

師：12，比較保守一點(diǎn)，怎么理解，什么叫保守一點(diǎn)？

生：因?yàn)檫@里面13并沒有出現(xiàn)過，12是最近的了。

師：13根本就沒出現(xiàn)，對(duì)不對(duì)？12出現(xiàn)沒有？（12出現(xiàn)過）

生：它們相差也不大。

師：你覺得12跟14比，你們更愿意填幾？

生：12。

師：為什么更愿意填12。14是比較多，但它還比較？

生：慢。

師：填14秒就有點(diǎn)偏慢，與其偏慢不如來一個(gè)？

生：偏快。

師：誰是偏快的呀？

生：12。

師：三個(gè)答案出來了，你們覺得哪個(gè)答案的可能性比較大？

生：我覺得12、13秒可能性都比較大。

師：同學(xué)們，14最多但是怎么樣？

生：偏慢。

師：12呢？

生：偏快。

師：那有沒有不偏快又不偏慢的？

生：13。

師：13既不偏快，也不偏慢。13這個(gè)數(shù)字怎么樣？

生：中等。

師：正好中等，不快不慢。能不能填13呢？

生：可以。（連續(xù)追問）

生：13是它們的平均數(shù)。

師：什么叫平均數(shù)？誰告訴你的？13是平均數(shù)？（連續(xù)追問）

生：算出來的。

師：怎么算出來的？

生：把5個(gè)數(shù)相加再除以5。

師：把5個(gè)數(shù)相加再除以5就是平均數(shù)，誰教你的？

生：這個(gè)是我從書上看到的。

師：算出來干嘛用呢？（連續(xù)追問）

生：解決問題，解決這類問題。

師：同學(xué)們，前兩種擦掉后，他有三種選擇。一種選擇是填幾？

生：14。

師：理由？

生：跑的次數(shù)多。

師：但是？

生：偏慢。

師：第二種選擇是？

生：12。

師：但是？

生：偏快。

師：第三種選擇是？

生：13。

師：理由？

生：不偏快也不偏慢。

師：13的缺點(diǎn)呢？他有沒有跑出13秒過？

生：沒有。

師：沒有跑出來過，他把13填上去，有什么感覺？你敢填嗎？

生：不敢。（連續(xù)追問）

生：敢。（弱弱的說）

師：5位小朋友有4位不敢。13沒出現(xiàn)過，你怎么敢填上去呢？你有什么理由？明明13是最好的，13不快不慢，正正好的數(shù)，你敢填嗎？（連續(xù)追問）

生：填13就可以，它保險(xiǎn)一點(diǎn)，填12可能不行。

師：可是你跑出來過嗎？你不誠(chéng)實(shí)呀。

生：越快越好。

師：那填10好了。誰來說理由？13正正好，但是沒有跑出來過。

生：雖然沒有跑出來過，但是第二天跑的時(shí)候真的跑出來呢？

師：什么意思呀？

生：如果下一次跑的時(shí)候真的跑出來了呢？

師：聽懂了嗎？他說現(xiàn)在是沒跑出來，但是“下一次”有可能跑出。有可能跑出13秒嗎？（連續(xù)追問）

生：有可能。（學(xué)生回答）

師：可能性大不大？

生：大。

師：為什么大呢？同學(xué)們，他的說法有沒有道理？

生：有。

師：雖然這5次沒跑出，但是第6次有可能嗎？

生：有可能。

師：因?yàn)?3秒正好是不快不慢。第6次跑出的可能性大不大？第7次呢？第8次呢？這兒沒出現(xiàn)過，但是它可能出現(xiàn)在？

生：下一次。（板書）

師：因?yàn)檫@個(gè)成績(jī)表示他的速度，正好怎樣？

生：不偏快也不偏慢。

師：不偏快也不偏慢，這是最能代表他什么的？

生：成績(jī)。

師：雖然他沒有跑出來過，但是，可能他會(huì)在“下一次”跑出來。

……

【教學(xué)賞析】

知識(shí)的習(xí)得都要經(jīng)歷“是什么—怎么得到—有什么用”三個(gè)階段，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)就是“概念—方法—應(yīng)用”。[2]平均數(shù)的學(xué)習(xí)也應(yīng)經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程。突出平均數(shù)意義的教學(xué)，把握平均數(shù)的本質(zhì)，就成為學(xué)生理解平均數(shù)概念的關(guān)鍵所在。為此，俞老師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面來學(xué)習(xí)平均數(shù)。

1.從“快慢”對(duì)比中，探求平均數(shù)“不快不慢”的本質(zhì)

教學(xué)中俞老師引導(dǎo)學(xué)生從填寫極端數(shù)入手，填寫“15”，發(fā)現(xiàn)偏慢；填寫“10”，發(fā)現(xiàn)又偏快。在偏慢與偏快的碰撞中，學(xué)生必然會(huì)走向第三條路——向數(shù)據(jù)的中間值逼近，此時(shí)的逼近不僅是數(shù)據(jù)對(duì)比后的結(jié)果，更是學(xué)生思維整合的結(jié)果。當(dāng)“不快不慢”出現(xiàn)時(shí)，不僅符合了數(shù)據(jù)逼近中間值的現(xiàn)實(shí)需要，更揭示了算術(shù)平均數(shù)的本質(zhì)特征，即“不快不慢”的“13”代表了這組數(shù)據(jù)一般水平，最能反映這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”。學(xué)生在與教師共同尋找“不快不慢”“13”過程中，不僅理解了平均數(shù)的意義，更從本質(zhì)上理解了平均數(shù)“代表”一組數(shù)據(jù)的特征。

2.從“需求”沖突中，挖掘平均數(shù)“沒有出現(xiàn)”的特征

“不快不慢”的出現(xiàn)，看似偶然，實(shí)質(zhì)是必然。因?yàn)椤捌迸c“偏快”都不適合，“不快不慢”自然而然就走了出來。此時(shí)出現(xiàn)的“13”不在現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)中，學(xué)生明明知道“13”好，卻又不知如何解釋這個(gè)“好”。針對(duì)“沒有出現(xiàn)”的“13”，俞老師沒有急于求成，反而是從不同層面引導(dǎo)學(xué)生思考“13”出現(xiàn)的可能性。從可能出現(xiàn)到出現(xiàn)的可能性很大。讓學(xué)生的思考在“現(xiàn)實(shí)”與“需求”的沖突中，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)也可以用“沒有出現(xiàn)”的數(shù)表示，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的另一特征——平均數(shù)可以是“虛擬的數(shù)”。

3.從“追問”碰撞中，理解平均數(shù)“代表了”的內(nèi)涵

俞老師帶領(lǐng)學(xué)生理解平均數(shù)意義的過程，就是不斷追問的過程。通過不同角度、不同要求、不同力度的追問，引發(fā)學(xué)生的思維自始至終地貼著平均數(shù)的意義前行。由最初極端數(shù)“偏慢”與“偏快”碰撞，到后來撞擊出的“不快不慢”。學(xué)生每一次思考的結(jié)果，俞老師都不輕易“相信”，反而是窮追猛打“追問”不已，學(xué)生在教師的不斷追問中，平均數(shù)的非本質(zhì)屬性一點(diǎn)一點(diǎn)地被擠掉了，本質(zhì)屬性一點(diǎn)一點(diǎn)地抽象出來?！罢谩薄按砹恕边@種具有鮮明兒童表征屬性的平均數(shù)特征深深印在學(xué)生的腦中。

二、尋根——尋平均數(shù)“算法”之根

【教學(xué)片斷】

師：剛剛有同學(xué)說，平均數(shù)可以算，把5個(gè)數(shù)加起來除以5能不能算出13來？

生：（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后）是13。

師：同學(xué)們，說明這個(gè)13跟這組數(shù)有沒有關(guān)系？

生：有。

師：它是偷偷地躲在這組數(shù)后面的一個(gè)數(shù)。老師這有組材料，你看得懂嗎？你能從這里變出一個(gè)13嗎？誰來變？（黑板出示學(xué)具與圖的結(jié)合）

兩名學(xué)生上黑板移動(dòng)學(xué)具：

師：你看，他變出13來了。他把一個(gè)14，一個(gè)12變成了兩個(gè)13，15移2個(gè)給10，14再移1個(gè)給10，又變出三個(gè)13。原來高高低低的，被這兩個(gè)小朋友變得怎么樣了？

生：平了。

師：平了，是幾呀？

生：13。

師：“平”出了一個(gè)13。這叫均分對(duì)不對(duì)？平均怎么來的？“平”出來的，“均”出來的，合起來是？

生：平均。

師：厲害！同學(xué)們，回到黑板上，看這五個(gè)數(shù)都很特別？15特別在哪兒？

生：最慢。

師：10。

生：最快。

師：一個(gè)最快，一個(gè)最慢。很特別。14呢？

生：最多。

師：12呢？

生：偏快。

師：13呢？

生：不快不慢。

師：對(duì)了，13是正正好。它除了正正好之外，還有個(gè)什么特點(diǎn)？

生：沒出現(xiàn)。

師：所以，這五個(gè)數(shù)都很特別，但誰的特點(diǎn)更多？

生：13。

師：它有幾個(gè)特點(diǎn)？

生：兩個(gè)。三個(gè)。

生：不偏快，不偏慢，沒出現(xiàn)。

師：不偏快、不偏慢就是“正正好”，所以它“代表了”。“代表了”是它的特點(diǎn)呀。一共有幾個(gè)特點(diǎn)？

生：兩個(gè)特點(diǎn)。

師：符合“沒出現(xiàn)”“代表了”兩個(gè)特點(diǎn)的數(shù)叫什么數(shù)？

生：平均數(shù)。

師：因?yàn)樗?，所以，它代表了誰的水平呀？代表作為二年級(jí)小朋友的水平。因?yàn)樗豢煲膊宦Ｒ驗(yàn)樗鼪]跑出來過，怎么得到它？

師、生：移多補(bǔ)少地“平”出來。

師：他的成績(jī)可以填多少？

生：13。

師：說明13是最合理的。

生：平均數(shù)也不一定非要是不出現(xiàn)呀。

師：這位同學(xué)說了，平均數(shù)是不是一定沒出現(xiàn)呀？不是一定沒出現(xiàn)，是可以不出現(xiàn)，補(bǔ)充得非常好。

……

【教學(xué)賞析】

平均數(shù)的計(jì)算方法，一般就是求一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。這對(duì)已學(xué)習(xí)過除法的小學(xué)生來說，會(huì)算也會(huì)用。然而平均數(shù)的學(xué)習(xí)，如果僅僅知道求幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)遠(yuǎn)沒有達(dá)到學(xué)習(xí)的目的，還有必要讓學(xué)生知其算法的所以然。為此，俞老師在平均數(shù)計(jì)算方法的學(xué)習(xí)上設(shè)計(jì)了“算”“平”“比”三個(gè)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生從平均數(shù)的“根”部理解算理，掌握算法。

1.驗(yàn)證——理解“算”出的平均數(shù)

學(xué)生早已掌握了求一組數(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法，因而，在教學(xué)中，俞老師放手讓學(xué)生自己去算，自己去驗(yàn)證。通過計(jì)算不僅驗(yàn)證了平均數(shù)“13”是算出來的，更進(jìn)一步明確了求平均數(shù)的基本方法，這為后續(xù)運(yùn)用平均數(shù)解決問題奠定了算法基礎(chǔ)。

2.操作——展示“平”出的平均數(shù)

算出的平均數(shù)“13”，給學(xué)生的印象是抽象又摸不著的“虛擬數(shù)”，怎么讓學(xué)生真切感知“13”的真實(shí)性？俞老師設(shè)計(jì)了“移多補(bǔ)少”的操作環(huán)節(jié)，借助學(xué)具的演示，讓學(xué)生真實(shí)感受到平均數(shù)“13”是怎樣被“平”出來的過程?！?3”在被“平”出的過程中，不僅讓學(xué)生體會(huì)到求平均數(shù)的實(shí)質(zhì)就是“移多補(bǔ)少”，而且，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)“13”就藏在這組數(shù)據(jù)中。

3.比較——突出“比”出的平均數(shù)

學(xué)生通過“算”與“平”，不僅掌握了求平均數(shù)的不同方式，更從兩個(gè)不同角度認(rèn)識(shí)了平均數(shù)。為進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)“代表了，沒出現(xiàn)”的理解，俞老師還通過數(shù)據(jù)內(nèi)各數(shù)據(jù)之間的比較與分析，讓學(xué)生在“比”中發(fā)現(xiàn)“13”為什么具有“正正好”又“沒出現(xiàn)”的特性。這不僅體現(xiàn)了平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體水平的特點(diǎn)，也讓學(xué)生在“比”中理解平均數(shù)可能是“虛擬數(shù)”這一顯著特征。

三、拓展——拓平均數(shù)“運(yùn)用”之路

【教學(xué)片段】

師：同學(xué)們，6和4這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

生：5。

師：這么快呀，怎么得來的？

生：（6+4）÷2。

師：再來一個(gè)，1、3、5這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

生：3。

師：這么快呀，怎么來的？

生：（1+3+5）÷3。

師：還有不同的方法嗎？

生：1+2=3，5-2=3。

師：一條河平均水深4米，請(qǐng)問這條河最深有幾米，你知道嗎？

生：最深6米。

師：有可能嗎？

生：有可能。

師：你覺得最深有幾米呢？

生：不知道。

師：能估計(jì)嗎？平均水深4米，它一定是4米深嗎？可能是幾米？

生：1米。

師：也可能是幾米？

生：6米。

師：因?yàn)楹铀赡苡泻苌畹牡胤?，也可能有很淺的地方?，F(xiàn)在把這條河重新修整一下，把它變成平均水深1米，那你們走過去安全嗎？

生：不安全。

師：你多高？

生：1米3多。

師：1米3還不走呀？

生：怕嗆到水。

……

【教學(xué)賞析】

運(yùn)用平均數(shù)解決問題是學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，怎樣讓學(xué)生既能運(yùn)用平均數(shù)解決標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題，又能運(yùn)用平均數(shù)解決一些現(xiàn)實(shí)的生活問題呢？對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題，大部分教師在課堂教學(xué)中都完成得比較好，而運(yùn)用平均數(shù)解決生活問題往往不容樂觀。究其原因，與學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的理解水平相關(guān)。為了發(fā)展學(xué)生運(yùn)用平均數(shù)解決實(shí)際問題的能力，俞老師設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的練習(xí)。

第一層：鞏固練習(xí)，鞏固平均數(shù)常態(tài)算法。通過求兩個(gè)數(shù)、三個(gè)數(shù)的平均數(shù)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生熟練地掌握求幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)，就是求這幾個(gè)數(shù)的和除以這幾個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)所得的商的基本算法。數(shù)據(jù)雖然簡(jiǎn)單，目的卻很明確，就是突出平均數(shù)基本算法的重要性。

第二層：引申練習(xí)，強(qiáng)化對(duì)平均數(shù)意義的理解。“平均4米深的河，最深幾米”的練習(xí)，看似在找極端數(shù)，實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)是“代表了”一組數(shù)的整體水平。同時(shí)，也引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間是存在差異的，數(shù)據(jù)可能有“高高低低”的現(xiàn)象，幫助學(xué)生理解平均數(shù)“虛擬”特性。

第三層：拓展練習(xí)，深化平均數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。從“平均水深1米”到“你走過去安全嗎”的現(xiàn)實(shí)問題，必然會(huì)引發(fā)學(xué)生思考，身高“1.3米”是否能安全通過呢？此時(shí)，學(xué)生僅憑直覺無法說服他人，運(yùn)用平均數(shù)的本質(zhì)特征解釋和說明成為首選，這不僅促進(jìn)了學(xué)生理解平均數(shù)概念內(nèi)涵，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光思考問題、分析問題、解決問題。

俞正強(qiáng)老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課，巧妙地整合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)是其已有經(jīng)驗(yàn)的改造，這種通過改造得來的知識(shí)是從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中生長(zhǎng)出來的，有根有源，將來必然會(huì)根深葉茂。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞正強(qiáng).從“正常水平的發(fā)揮”到“平均數(shù)”的理解[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2016，（3）.

（安徽省黃山市黃山區(qū)教研室 245799）