數(shù)列的上極限和下極限

尹海燕

摘要：數(shù)列的上極限和下極限是數(shù)學(xué)分析課程中數(shù)列理論的重要概念。事實(shí)上，數(shù)列的上極限和下極限不僅在數(shù)列斂散性判別、求數(shù)列極限、級數(shù)斂散性判別等方面起著重要的作用，而且可以加深學(xué)生對實(shí)數(shù)完備基本定理的掌握和理解，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)、集合的上極限和下極限打下基礎(chǔ)。下面將數(shù)列上極限和下極限做一簡單介紹，以饗讀者。

關(guān)鍵詞：數(shù)列的上極限和下極限；聚點(diǎn)；收斂

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0195-02

在數(shù)學(xué)分析課程中，數(shù)列的斂散性判別非常重要，而證明數(shù)列收斂的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定義、柯西收斂準(zhǔn)則、兩個(gè)重要準(zhǔn)則、歸結(jié)原理和子列原理等。但是有時(shí)也可以用上極限和下極限來判斷。本文主要介紹數(shù)列上極限和下極限的定義，性質(zhì)以及其應(yīng)用。

數(shù)列聚點(diǎn)的定義[2]：如果在a∈R的任何鄰域內(nèi)都有數(shù)列x的無限項(xiàng)，稱a為數(shù)列x的一個(gè)聚點(diǎn)。

例1：數(shù)列{（-1）}的聚點(diǎn)是±1；

例2：數(shù)列{sin}的聚點(diǎn)是±1，±和0；

例3：數(shù)列有聚點(diǎn)0；

例4：數(shù)列，，，，，，，，，，…的聚點(diǎn)是整個(gè)閉區(qū)間[0，1]；

例5：數(shù)列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚點(diǎn)是0。

注：（1）收斂數(shù)列的聚點(diǎn)必唯一，為數(shù)列的極限（證明見定理2），如例3。反之不真，如例5。一般情況下，數(shù)列的聚點(diǎn)是不唯一的，如例1、例2、例4。（2）數(shù)列的聚點(diǎn)和數(shù)集的聚點(diǎn)是有區(qū)別的。數(shù){sin|n∈Ν}的聚點(diǎn)是空集；數(shù)集{（-1）|n∈Ν}的聚點(diǎn)為±1。

容易證明：

聚點(diǎn)的等價(jià)定義[3]： 若數(shù)列x的子列x有極限a，則稱a為數(shù)列x的一個(gè)聚點(diǎn)。

聚點(diǎn)的存在性定理[2]：有界數(shù)列x至少有一個(gè)聚點(diǎn)，且存在最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)。

下面是數(shù)列上、下極限的定義：

上極限和下極限的定義[2]：有界數(shù)列x的最大聚點(diǎn)a與最小聚點(diǎn)a稱為數(shù)列x的上極限和下極限，記作a=xa=x.

上極限和下極限的等價(jià)定義1[2]： 若x為有界數(shù)列，則？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當(dāng)n>N時(shí)，有

xa-ε，k=1，2，3，…則稱a為數(shù)列x的上極限。

若x為有界數(shù)列，則？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當(dāng)n>N時(shí)，有x>a-ε；（2）存在子列x，x

上極限和下極限的等價(jià)定義2[2，4]：若x為有界數(shù)列，則x={x}，x={x}.

定理1[2]：對任何有界數(shù)列x，有x≤x，x=-（-x）.

注：容易證明x≤x≤x≤x，其中x為有界數(shù)列x的一個(gè)子列。

定理2[2]：若x為有界數(shù)列，則數(shù)列x=a的充要條件是x=x=a.

證明：（必要性）？坌ε>0，？堝N∈Ν，當(dāng)n>N時(shí)，

|x-a|<ε.由聚點(diǎn)的定義，a是數(shù)列x的一個(gè)聚點(diǎn)。若b是數(shù)列x另外一個(gè)聚點(diǎn)，不妨a0，存在N∈Ν，當(dāng)n>N時(shí)，x<，從而集合{x|x>}只有數(shù)列的有限項(xiàng)，這與b是數(shù)列x的聚點(diǎn)矛盾。從而數(shù)列x只有唯一的聚點(diǎn)，（充分性）由等價(jià)定義1，由a是數(shù)列x的上極限，？坌ε>0，？堝N∈Ν，當(dāng)n>N時(shí)，

x

？堝N∈Ν，當(dāng)n>N，x>a-ε.取N=max{N，N}，當(dāng)n>N時(shí)，|x-a|<ε.從而a是x的極限。得證。

注：必要性也可以使用子列原理證明， 過程更簡單。另外此定理也可以用來證明數(shù)列極限的存在性。

定理3[2]（上、下極限的保不等式性）：若a，b為有界數(shù)列，滿足：存在N∈Ν，當(dāng)n>N時(shí)，a≤b，則a≤b，a≤b.

證明：假設(shè)a=a，b=b，由等價(jià)定義2，？坌ε>0，存在N∈Ν，當(dāng)n>N時(shí)，a>a-ε；對于上述ε，存在子列b，對于k∈Ν，b

K=max{N，N}∈Ν，當(dāng)k>K時(shí)，a-ε

定理4[2，3]：上、下極限的四則運(yùn)算。

a+b≤（a+b）≤a+b，

a+b≤（a+b）≤a+b.

當(dāng)a≥0，b≥0，則

a·b≤（ab）≤a·b，

a·b≤（ab）≤a·b.

當(dāng)a>0，a>0，則a=.

參考文獻(xiàn)：

[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]費(fèi)定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

[4]杜廣麟.關(guān)于數(shù)列的上下極限的幾個(gè)等價(jià)定義[J].安徽師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1981.