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    對(duì)比分析 把握本質(zhì)

    2017-03-02 00:24施丹桂
    新教育時(shí)代·教師版 2016年37期
    關(guān)鍵詞:雞兔同籠數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略

    施丹桂

    【摘要】雞兔同籠是實(shí)驗(yàn)版教材六年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容,而2013版新教材則把其改編在了四年級(jí)下冊(cè),其與實(shí)驗(yàn)教材相比有較大的差別,教學(xué)目標(biāo)中更注重解題策略多樣性的教學(xué),教學(xué)過(guò)程中更關(guān)注列表法和假設(shè)法的落實(shí),這些改變給我們?cè)诮虒W(xué)中帶來(lái)了新的困惑。本文針對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容,反復(fù)比較兩版教材和教參,從理念引領(lǐng)、內(nèi)容編排、教學(xué)方法等角度進(jìn)行分析,并提出一些相應(yīng)的教學(xué)策略。

    【關(guān)鍵詞】 雞兔同籠 假設(shè)思想 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)策略

    一、背景

    對(duì)于兩版教材,筆者進(jìn)行了以下比較:

    對(duì)比一:

    新版教材教學(xué)目標(biāo)的描述更詳細(xì):在方法上注重列表法和假設(shè)法;在能力上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力的雙管齊下。而實(shí)驗(yàn)教材的教學(xué)目標(biāo)描述較為籠統(tǒng):在方法教學(xué)上更關(guān)注方程法;在能力要求上較重視數(shù)學(xué)思維能力,略忽視實(shí)際應(yīng)用能力。

    對(duì)比二:

    新版教材在內(nèi)容編排上展示了列表法和假設(shè)法這兩種解法;而實(shí)驗(yàn)教材則還要求學(xué)生掌握方程法。

    基于這兩版教材的比較,筆者產(chǎn)生了一些困惑:新版教材面對(duì)的是四年級(jí)的孩子,只需教學(xué)列表法和假設(shè)法,那么在這兩種方法的教學(xué)力度上我們?nèi)绾畏峙??我們?cè)趺磶椭⒆又庇^的理解抽象的假設(shè)法?假設(shè)法的教學(xué)起點(diǎn)在哪?列表法和假設(shè)法之間有聯(lián)系嗎?……帶著這些困惑,筆者開始了這一內(nèi)容的研究。

    二、分析

    基于對(duì)新舊教材的對(duì)比研讀,針對(duì)這個(gè)內(nèi)容的教學(xué),筆者著重分析以下兩個(gè)方面的問(wèn)題:

    1、列表法和假設(shè)法的教學(xué)力度如何分配,是兩種孤立的方法嗎?

    2013版教師用書中指出:有序的列表可使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)逐一調(diào)整變化的過(guò)程,為后面探究假設(shè)法奠定了基礎(chǔ)。其實(shí)列表法是假設(shè)雞(或兔)的只數(shù)一個(gè)一個(gè)或幾個(gè)幾個(gè)的進(jìn)行推理,假設(shè)法是全部假設(shè)為雞(或兔)來(lái)推理,從思維層面上講,兩者都蘊(yùn)含了“假設(shè)”的數(shù)學(xué)思維,并不是兩種孤立的方法,我們可以說(shuō)列表法是假設(shè)法的鋪墊,假設(shè)法是對(duì)列表法的提煉。我們可以這樣分析:如果夯實(shí)了列表法的教學(xué),再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表格進(jìn)行分析,假設(shè)法是否就水到渠成了?再者2013版教師用書中也明確指出:應(yīng)明確列表的方法不只有教材呈現(xiàn)的一種方式。教材中所呈現(xiàn)的是列表法中較簡(jiǎn)單的一種。因此,教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生先經(jīng)歷這樣的“逐一”列表方法,然后再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流探討發(fā)現(xiàn)列表的方法不是唯一的,列表的數(shù)據(jù)既可以逐一列出,也可以跳躍列舉,還可以取中列舉。綜上兩點(diǎn),筆者覺得對(duì)于列表法我們不能輕視,應(yīng)加大教學(xué)力度,讓學(xué)生在體驗(yàn)多樣列表的基礎(chǔ)上感知列表的本質(zhì),為假設(shè)法做鋪墊。

    2、怎么突破假設(shè)法教學(xué)的“抽象”難點(diǎn),它的教學(xué)起點(diǎn)在哪?

    課程標(biāo)準(zhǔn)指出“要在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力”,而用假設(shè)法解題的過(guò)程其實(shí)就是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的過(guò)程?!凹僭O(shè)法”抽象的特點(diǎn)是學(xué)生理解的最大障礙,易造成“生搬硬套”現(xiàn)象:只會(huì)死記硬背的套用,而不能理解為什么假設(shè)是雞(兔),先求出的卻是兔(雞)。因此我們首先要找到假設(shè)法的起點(diǎn)——列表法。所以在教學(xué)中首先要夯實(shí)列表法的教學(xué),為假設(shè)法的理解積累推理經(jīng)驗(yàn);其次采用數(shù)形結(jié)合的方式,為抽象的理解呈現(xiàn)形象的視覺。

    三、對(duì)策

    基于以上的分析,筆者進(jìn)行了課堂教學(xué)實(shí)踐。

    【書本例題:籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù),有8個(gè)頭,從下面數(shù),有26只腳。雞和兔各有幾只?】

    對(duì)策一:因“材”而施教,定合理目標(biāo),行有效教學(xué)。

    美國(guó)心理、教育學(xué)家布盧母說(shuō)“有效教學(xué)始于知道希望達(dá)到的目標(biāo)是什么?!边@句話闡述了教學(xué)目標(biāo)的重要地位。既然新教材在教學(xué)理念、內(nèi)容編排、方法選擇……這些方面都進(jìn)行了改革,那么我們也要因“材”施教,定恰當(dāng)目標(biāo),行有效教學(xué)。據(jù)教材的情況,此內(nèi)容應(yīng)分兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。第一課時(shí)應(yīng)著力于列表法的教學(xué);第二課時(shí)進(jìn)行假設(shè)法的教學(xué)和模型的建立與內(nèi)化。因此制定的教學(xué)目標(biāo)如下:

    第一課時(shí)

    1、了解“雞兔同籠”問(wèn)題,感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。

    2、嘗試用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。理解“逐一列表”、“取中列表”和“跳躍列表”,掌握用“列表法”解決問(wèn)題的策略。

    3、在學(xué)習(xí)“列表法”的過(guò)程中,經(jīng)歷數(shù)據(jù)調(diào)整的過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生有序思考,為“假設(shè)法”的探究奠定基礎(chǔ)。

    4、用“列表法”解決生活中的問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生有序思考和遷移類推能力,為模型的建立奠定基礎(chǔ)。

    第二課時(shí)

    1、嘗試用“假設(shè)法”解決“雞兔同籠”問(wèn)題,了解兩種方法之間的關(guān)聯(lián)性,體驗(yàn)“假設(shè)法”是“列表法”的提煉。

    2、經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的過(guò)程,讓學(xué)生在“形象圖”與“抽象式”的對(duì)應(yīng)過(guò)程中,理解“假設(shè)法”的實(shí)質(zhì),能用此法解決生活中的“雞兔同籠”問(wèn)題。

    3、在解決問(wèn)題的過(guò)程中,滲透“假設(shè)”的思想,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

    4、建立“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,在解決問(wèn)題的過(guò)程中內(nèi)化模型。

    對(duì)策二:多樣列表,積累理解假設(shè)法的邏輯推理經(jīng)驗(yàn)。

    “列表法”是“假設(shè)法”的認(rèn)知起點(diǎn),是學(xué)生進(jìn)行有序思考的開端。因此在教學(xué)的過(guò)程中我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究多種列表法,體驗(yàn)有序思考的過(guò)程,積累邏輯推理經(jīng)驗(yàn),為 “假設(shè)法”的學(xué)習(xí)預(yù)熱。因此筆者對(duì)此進(jìn)行了如下設(shè)計(jì):

    【教學(xué)片斷1】

    一、教學(xué)列表法

    1、逐一列表,有序思考

    籠子里有雞和兔共8只,請(qǐng)你猜猜雞和兔可能各有幾只?

    生:雞1只,兔7只。

    生:雞2只,兔6只。

    師:還有嗎?那誰(shuí)能按順序不遺漏不重復(fù)的說(shuō)一說(shuō)?

    生:雞1只,兔7只;雞2只,兔6只……

    師:如果用列表的形式來(lái)表達(dá)你們的猜測(cè),那就更清晰了。(課件展示表格)

    師:除了這七種,我們還得考慮 “雞0只,兔8只”或 “雞8只,兔0只”這兩種情況。(在表格中添上“雞0只,兔8只”和“雞8只,兔0只”)

    師:你們看,表格有序的、不重復(fù)、不遺漏的羅列了我們的想法??墒堑降资菐字煌脦字浑u能確定嗎?

    生:不確定

    師:如果再增加一個(gè)條件:“從下面數(shù),共有22只腳”,現(xiàn)在你知道有幾只雞幾只兔嗎?請(qǐng)你像剛才那樣列表解決。

    1、學(xué)生獨(dú)立列表解決

    2、展示學(xué)生作品

    師:仔細(xì)觀察,在例舉的過(guò)程中,腳總數(shù)的變化有什么特點(diǎn)?

    生:從左往右看,每次減少2只腳。

    師:腳總數(shù)怎么會(huì)2個(gè)2個(gè)的減少呢?

    生:因?yàn)殡u在增加,兔在減少。

    生:因?yàn)槊看坞u都增加了1只,兔都減少了1只。

    師:是呀,從左往右,每次都把1只兔變成1只雞,就少了2只腳。

    師:如果腳要減少8只,要將幾只兔換成雞?怎樣算的?腳要增加8只呢?

    2、跳躍列表,感知假設(shè)

    師:如果雞和兔的數(shù)量較大,這樣試起來(lái)就麻煩了!能不能跳著列表呢?請(qǐng)你們嘗試一下。

    生1:當(dāng)雞有8只兔有0只時(shí),腳有16只,比26只少好多只腳,我就想:假設(shè)雞5只兔3只,腳就有22只,還比26只少4只。那么還有2只兔被看成了雞,所以我再假設(shè)3只雞5只兔,腳就是26只了。

    生2:我的更簡(jiǎn)單。當(dāng)雞有8只兔有0只時(shí),腳有16只,比26只少10只腳。那1只兔看成雞要少2只腳,要少10只腳,說(shuō)明有5只兔被看成雞,就從8只雞中拿出5只變成兔,這樣就有3只雞,5只兔,腳剛好26只。

    師:誰(shuí)聽明白了?

    師:好方法!逐一列舉再依次計(jì)算確實(shí)麻煩,跳著列舉和計(jì)算,能更快地找到答案。

    3、取中列表,深化理解

    師:剛才還有同學(xué)是這樣列表的,誰(shuí)能看懂?

    生:他把雞和兔各看成4只,腳有24只,比26只少了2只腳,說(shuō)明雞被多看了1只,這樣就要從4只雞中拿出1只變成兔,那兔就是5只,雞就是3只。

    師:誰(shuí)聽懂了?

    師:同學(xué)們真能干。原來(lái)用列舉的方法解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí),我們可以一一列舉,也可以取中列舉,還可以跳躍著列舉。

    在這一教學(xué)過(guò)程中,從三種列舉法入手,讓學(xué)生深刻理解了列舉的實(shí)質(zhì),為假設(shè)法的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

    對(duì)策三:數(shù)與形呼應(yīng),搭建形象與抽像的橋梁。

    新課標(biāo)指出:要在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。而“假設(shè)法”的學(xué)習(xí)過(guò)程,是學(xué)生邏輯思維能力有效提升的過(guò)程?!俺橄蟆笔亲钄_學(xué)生掌握假設(shè)法的最大障礙。因此在教學(xué)中,我們要設(shè)計(jì)相應(yīng)的情景,讓學(xué)生理解“為什么要假設(shè)?”、“假設(shè)法是怎么來(lái)的?”、“怎么假設(shè)?”、“怎么理解推理過(guò)程?”,帶著這些目標(biāo),筆者設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié):

    【教學(xué)片斷2】

    二、學(xué)習(xí)假設(shè)法

    (在下列過(guò)程中“ ”代表“雞”,“ ”代表“兔”。)

    師:在上節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了三種列舉法,其中有同學(xué)是這樣列舉的:

    [當(dāng)雞有8只兔有0只時(shí),腳有16只,比26只少10只腳。因?yàn)?只兔看成雞要少2只腳,如果少10只腳,那就有5只兔看成了雞,就要從8只雞中拿出5只變成兔,這樣就有3只雞,5只兔,腳剛好26只。

    現(xiàn)在你能用算式表示這樣的思路嗎?

    (一)假設(shè)全是雞

    2×8=16(只)

    兔:(26-16)÷(4-2)=5(只)

    雞:8-5=3(只)

    生:我假設(shè)全是雞,有16只腳,比26只少10只腳,然后一只雞比一只兔少2只腳,共少了10只腳,一共少了5只兔子,那么雞的只數(shù)就是8-5=3只。

    師:聽懂他的解釋了嗎?誰(shuí)能再來(lái)說(shuō)一說(shuō)?

    師:也就是說(shuō)假設(shè)全是雞,出現(xiàn)了什么情況?

    生:會(huì)少10只腳。

    師:怎么就會(huì)少10只腳?

    生:因?yàn)橛幸恍┩帽豢闯闪穗u。

    生:因?yàn)橐恢煌每闯呻u要少2只腳。

    師:是呀,每一只兔看成雞,就會(huì)少2只腳,就是少了1個(gè)2,10里面有5個(gè)2,少了5個(gè)2,所以兔子有5只。

    T:我們可以結(jié)合圖來(lái)表達(dá)這個(gè)過(guò)程。

    如果我們假設(shè)全是雞,就只有16只腳。

    和26只腳相比,少了10只腳。因?yàn)槊堪岩恢煌每闯梢恢浑u就要少2只腳

    現(xiàn)在我們就把少的10只腳補(bǔ)上去。一次補(bǔ)幾只腳?這樣我們一共需要補(bǔ)——,所以兔共有——(同一張幻燈片中依次出示5個(gè)2)。

    (二)假設(shè)全是兔

    4×8=32(只)

    雞:(32-26)÷(4-2)=3(只)

    兔:8-3=5(只)

    師:能看懂嗎?

    師:是這個(gè)意思嗎?

    師:這樣就——

    生:多了6只腳。

    師:是因?yàn)椤?/p>

    生:有些雞被看成了兔子。

    師繼續(xù)出示相應(yīng)的幻燈片,讓學(xué)生在腦海中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。

    (三)比較深化,理解本質(zhì)

    師:同樣是假設(shè),為什么一個(gè)先求出的是雞,另一個(gè)先求出的卻是兔呢?

    生:假設(shè)全是兔,雞的腳被多看,所以先求出的是雞;假設(shè)全是雞,兔的腳被少看,那么先求出來(lái)的就是兔。

    在次教學(xué)中,以列表法作為起點(diǎn),再用“數(shù)形”結(jié)合的方式輔助理解,突破了假設(shè)法“抽象”的難點(diǎn),讓學(xué)生深刻理解了假設(shè)法的實(shí)質(zhì)。

    對(duì)策四:學(xué)以致用,在應(yīng)用中建立并深化模型。

    數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:要從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。是指我們要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型,從“一個(gè)”推廣到“一類”,再?gòu)摹耙活悺敝刑崛∧P?,總結(jié)規(guī)律和方法,最后應(yīng)用到實(shí)際。因此在掌握了方法后我們還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用,深化模型。

    【教學(xué)片斷3】

    三、建立模型,運(yùn)用深化

    (一)建立模型

    課件出示題:有若干只龜鶴頭共8個(gè),腿共26只。龜鶴各多少只?

    師:接下來(lái)請(qǐng)你們獨(dú)立解決,并想想和剛才的問(wèn)題有什么共同點(diǎn)。

    生獨(dú)立解決再反饋。

    生:其實(shí)他們是一樣的,龜和兔都有4只腳,鶴和雞都有2只腳,動(dòng)物不同,方法相同。

    師:是啊,這里的雞不僅僅是雞,兔也不只是兔,像這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上叫雞兔同籠問(wèn)題。那么在我們的生活中,也有很多這樣的問(wèn)題。

    (二)鞏固提升

    課件出示:一星題:1.張老師買來(lái)8盒月餅,共有42只,其中甲、乙兩種包裝,如下圖所示。你知道甲、乙兩種包裝各買了幾盒嗎?

    甲 乙

    二星題:學(xué)校舉行腦筋急轉(zhuǎn)彎競(jìng)賽,決賽中每位選手應(yīng)回答25道題,若答對(duì)1題得4分,若答錯(cuò)或不答1題倒扣1分。明明得了70分,他答錯(cuò)或不答共有幾題?

    本環(huán)節(jié)先讓學(xué)生進(jìn)行“龜鶴問(wèn)題”與“雞兔同籠問(wèn)題”一一對(duì)應(yīng),理解兩類問(wèn)題的共同特點(diǎn),建立模型;再拓展到生活中,辨別雞兔同籠問(wèn)題的實(shí)質(zhì),深化模型。

    以上是筆者在一次次磨課實(shí)踐中產(chǎn)生的一些粗淺的體會(huì)與感悟,如何讓學(xué)生能更好地理解雞兔同籠問(wèn)題,建立雞兔同籠問(wèn)題的模型并靈活運(yùn)用,還需要我們不斷的研讀教材與教學(xué)實(shí)踐。

    【參考文獻(xiàn)】:

    [1] 中華人民共和國(guó)教育部制定.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿) [M].北京師范大學(xué)出版社,2011

    [2]義務(wù)教育教科書.教師教學(xué)用書[M].人民教育出版社,2014

    [3]楊忠.關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)思考[J].教育實(shí)踐與研究,2013

    [4]潘粉娥.“雞兔同籠問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程教材教學(xué)研究,2013

    [5]邵麗芳.用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐與反思[J].教學(xué)月刊小學(xué)版,2011.12

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