《最短路徑問題》微課程設(shè)計

李翠芝

分析

《最短路徑問題》是人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第十三章《軸對稱》的第四課。本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)完軸對稱后，為讓他們能靈活運用軸對稱解決最短路徑問題而設(shè)計的。教學(xué)內(nèi)容是利用學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過的軸對稱，把在直線同側(cè)的兩個點轉(zhuǎn)化為在直線異側(cè)的兩個點，化折線段為直線段，從而找到最短路徑。因此化折為直是本節(jié)課的重點。

本節(jié)課是學(xué)生首次遇到“線段和最小”問題，學(xué)生的儲備知識是已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于兩點之間最短距離的確定和軸對稱的性質(zhì)，但是學(xué)生的知識遷移能力不強，自主探究能力差，需要教師設(shè)計合理的探究問題，引導(dǎo)他們學(xué)會探究的方法。對于問題的證明，本節(jié)課涉及的輔助線比較多，而目前學(xué)生的證明多為比較簡單的說理，涉及的輔助線一般為一條。這就需要教師把問題分解成一個個的小問題，從簡單到復(fù)雜，使學(xué)生水到渠成地完成知識的學(xué)習(xí)。因此，學(xué)會知識遷移和化繁為簡是本節(jié)課的難點。

綜上所述，筆者確定本課學(xué)習(xí)目標(biāo)為：①能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題；②能體會圖形的變化在解決最值問題中的作用；③能感悟化折為直的轉(zhuǎn)化思想。本課重點為：利用軸對稱，確定最短路徑的作圖，將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題；難點為：探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案及說理。

基于對教材的分析和對學(xué)生學(xué)情的了解，筆者將本節(jié)課的“將軍飲馬部分”制作成微課程，設(shè)計了“課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單”，并制作了配套的微視頻供學(xué)生在課前自主學(xué)習(xí)使用。

設(shè)計

1.課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單

課前學(xué)習(xí)任務(wù)單主要為了指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，這需要教師把教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為達成目標(biāo)，而達成目標(biāo)必須通俗易懂、指向性強，才能讓學(xué)生根據(jù)達成目標(biāo)完成課前學(xué)習(xí)任務(wù)。在學(xué)習(xí)內(nèi)容上學(xué)生以了解基礎(chǔ)知識為主，所以筆者設(shè)計的任務(wù)也相對簡單直接。例如，會找點僅是文字與圖形之間的簡單轉(zhuǎn)化；看過視頻后，學(xué)生基本能直觀地看到點在移動過程中的最佳位置；為了適應(yīng)不同能力的學(xué)生學(xué)習(xí)，筆者還設(shè)計了一個相對復(fù)雜的圖形，增加了干擾線并改變了點的位置，只要學(xué)生能找到與原問題對應(yīng)的點就算過關(guān)。為了讓學(xué)生熟悉上課流程，筆者還在課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單中給出了課堂學(xué)習(xí)形式預(yù)告。

2.教學(xué)視頻規(guī)劃

教學(xué)視頻是為突破本課難點而設(shè)計的。對學(xué)生來說，難點在于探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，理解最短路徑的推理。雖然教材引用了將軍的問題、數(shù)學(xué)家的答案，但面對大量艱澀、難懂的文字，學(xué)生依然難以引發(fā)共鳴。為此，筆者設(shè)置了一個故事情境，將軍的問題、士兵的主意等故事更能引起學(xué)生的共鳴。同時，筆者還適時運用了幾何畫板進行動態(tài)演示，對學(xué)生的視覺產(chǎn)生沖擊，增強其理解的深度。

第一部分，先聲奪人。筆者用一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”導(dǎo)入本課，讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)不僅有理性，還有詩意。將軍要想找到最短路徑，解決棘手問題，就必須從軍營中選拔人才，這個問題會激發(fā)學(xué)生的熱情，使其自然而然地參與其中。武將張三要走上百十遍，文官李四固守成規(guī)要把營地搬家，雖然方法都不可行，但學(xué)生會從不可能中受到啟發(fā)，找到最佳方案，于是量變引起了質(zhì)變，新的知識點誕生了。這樣的設(shè)計容易引起學(xué)生的共鳴和思考，使問題變得生動、現(xiàn)實，更能激發(fā)他們的探索興趣。

第二部分，筆者用幾何畫板進行演示，通過“移動點帶來的線段和的變化”使問題變得更直觀、易懂，從而突破了本節(jié)課的難點。

第三部分，筆者通過兩個變式訓(xùn)練讓學(xué)生了解在解決最短路徑的問題時，經(jīng)常用到做軸對稱的作圖方法。

第四部分，學(xué)生總結(jié)蘊含在推導(dǎo)過程中的數(shù)學(xué)思想和方法，并建構(gòu)自身的知識體系。

3.課堂學(xué)習(xí)任務(wù)單

相比課前的自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，課堂學(xué)習(xí)任務(wù)單的達成目標(biāo)要更深入一些，要求學(xué)生能演繹推理，解決常規(guī)課堂中理解不透的難點，解決生活中的實際問題，從而使達成目標(biāo)更加深入。如學(xué)生能理解證明最短距離的推理過程，就能解決生活中簡單的最短路徑問題。

本課筆者共設(shè)置了4個達成目標(biāo)，達成目標(biāo)1、2主要用于課始檢測。課始檢測主要解決P的位置，確認對哪些線段和進行比較（如圖1），AP+BP和AP+BP分別轉(zhuǎn)化成了哪些線段（如圖2），最后嘗試寫出作圖方法，說出簡單理由。這些問題層層遞進，利用圖形可以把一個個難點拆解，既可以為完成證明做好鋪墊，又可以讓學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)的成就感。

達成目標(biāo)3主要用于進階作業(yè)，進階作業(yè)主要設(shè)計了兩個：一個是課前學(xué)習(xí)任務(wù)的延伸，由會找對應(yīng)原問題中的點、線，到會做軸對稱，最后到會找最短路徑；另一個是對推理過程的進一步補充完善，這也是本節(jié)課的難點。

達成目標(biāo)4主要用于協(xié)作探究。協(xié)作探究屬于教材知識的變式訓(xùn)練，由“兩條線段和最短”變?yōu)椤叭龡l線段和最短”，應(yīng)用的知識點依然是利用軸對稱作圖，讓學(xué)生感受到殊途同歸的解題思路。

如果沒有學(xué)生的展示，教師就看不到學(xué)生真正的問題，也看不到學(xué)生學(xué)習(xí)中迸發(fā)的智慧。所以，本課的最后一個環(huán)節(jié)就是小組展示，筆者根據(jù)課堂的進度，展示各小組的學(xué)成度。

制作過程

為了幫助學(xué)生順利完成“課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單”中設(shè)置的學(xué)習(xí)任務(wù)，筆者制作了相關(guān)微視頻。筆者首先將微視頻中所需要的靜態(tài)知識呈現(xiàn)在Office 2016的PPT上，動態(tài)知識呈現(xiàn)在幾何畫板上；接著利用Camtasia Studio8.4錄屏軟件進行錄制并同步配音，剪去錯誤的部分，并對兩個視頻進行合并編輯；然后進行渲染，生成視頻；最后以MP4的格式發(fā)布，時長5分50秒。筆者在錄制中使用了軟件的高級功能，如放縮功能，去除了干擾項，突出了主講的圖形。

筆者以將軍的問題創(chuàng)設(shè)情境，以士兵的回答引導(dǎo)學(xué)生思考的方向，從而達到知識的遷移“做軸對稱”。在幾何畫板里的動態(tài)演示中，如果學(xué)生感覺內(nèi)容多，播放速度快，可以在視頻中暫停播放或者回放視頻，重復(fù)觀看，直到完成課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單。

教學(xué)應(yīng)用過程

1.課前學(xué)習(xí)

在教學(xué)前一天，學(xué)生根據(jù)教師下發(fā)的課前學(xué)習(xí)任務(wù)單和微視頻，在家完成對教學(xué)內(nèi)容的預(yù)習(xí)，對照課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單觀看視頻，最終完成課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單。

①觀看視頻。在觀看過程中，學(xué)生可以對視頻進行暫停、回看或重復(fù)觀看，并結(jié)合自己的情況進行個性化學(xué)習(xí)，充分記憶、理解教材的內(nèi)容。②寫摘要。觀看微視頻時，學(xué)生要隨時在筆記本上寫下自己不懂的部分、學(xué)習(xí)的心得，甚至想表達的想法，并整理到課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單的“困惑與建議”欄里。③提問題。學(xué)生在查閱資料時，延伸思考的問題，并記錄在“困惑與建議”欄里，可以在課上討論備用。

為了更好地完成課前預(yù)習(xí)任務(wù)，教師需要結(jié)合班級分組進行激勵，鼓勵同伴競爭。完成所有任務(wù)的小組可獲得積分獎勵，完不成任務(wù)則會影響小組的成績。

2.課堂探究

在課堂學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生先在組內(nèi)互查課前學(xué)習(xí)任務(wù)完成情況，在互相糾錯后，隨即進行課堂學(xué)習(xí)任務(wù)單的課始檢測，完成后再由一組學(xué)生代表陳述答案并講解作圖方法，最后對進階作業(yè)進行處理。進階作業(yè)是課始檢測的延伸，前面有了課前學(xué)習(xí)任務(wù)中最后一題的鋪墊，此處的難度已經(jīng)降低了很多，主要以學(xué)生處理為主，培養(yǎng)他們運用數(shù)學(xué)思維的意識。問題的演繹推理部分需要師生共同完成，學(xué)生更多的是找出理論依據(jù)，接著就是學(xué)生大顯身手的協(xié)作探究部分，兩個變式訓(xùn)練讓課堂走向了高潮，有的小組不僅演示了正確的畫法，還能說出作圖的理由，甚至還把查到的資料引用到變式練習(xí)中。在展示中，學(xué)生感受到成功的喜悅和同學(xué)間思路的差異，從而激發(fā)了他們的競爭意識。

評價與反思

微視頻的動態(tài)呈現(xiàn)容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于他們進行自主學(xué)習(xí)；尤其對“點動引起的線段和變化”的內(nèi)容來講，教師通過對微視頻進行后期剪輯和技術(shù)處理，可以大大縮短學(xué)生探究所需的時間，使每位學(xué)生都能通過微視頻更清晰地觀察到“最短路徑”存在的位置，能達到先認可后證明的心理接受效果，有效克服教師課堂上用“假設(shè)另一個點存在”的反證法導(dǎo)致的學(xué)生不適應(yīng)現(xiàn)象。

在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，“微課程教學(xué)法”把課堂教學(xué)活動規(guī)劃為課堂檢測、進階作業(yè)、協(xié)作探究、展示質(zhì)疑四個環(huán)環(huán)相扣的環(huán)節(jié)，教學(xué)結(jié)構(gòu)安排合理，資源得到優(yōu)化整合，學(xué)生的潛力被激發(fā)出來。

筆者在反復(fù)的設(shè)計與試講中，得到了很多教師的點評與建議，受益匪淺，總的來說感悟如下：①問題設(shè)計要有啟發(fā)性，要讓學(xué)生真正有所思考，并且經(jīng)過思考后得到結(jié)論，要把難的問題拆分成簡單的小問題，化繁為簡，一步步解決。②課堂引入要生動，要吸引學(xué)生的眼球。③調(diào)動舊知識環(huán)境，衍生新知識，這樣有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維體系，所學(xué)的內(nèi)容也不會讓學(xué)生感覺跨度過大，而是自然而然得到。④教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該環(huán)環(huán)相扣。⑤教學(xué)中應(yīng)注重建模思想。

評委印象

《最短路徑問題》微課程展評引起關(guān)注的原因主要有以下幾點：①有趣。李老師上課伊始即引入古詩，引起學(xué)生關(guān)注，接著用生動的故事引出問題，激發(fā)了學(xué)生對古詩中問題的探索，可謂先聲奪人。②直觀。微視頻是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的資源，圖文并茂、形象直觀的視頻讓學(xué)生更易于觀察、理解，從而降低自學(xué)思考的難度。③簡潔。微視頻畫面簡潔，色彩搭配自然、和諧，內(nèi)容重點清晰、突出，幾何畫板的運用，動靜結(jié)合，使變化過程和問題結(jié)論一目了然。④有層次。知識的學(xué)習(xí)、應(yīng)用和拓展探究，體現(xiàn)在課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單導(dǎo)學(xué)和課堂學(xué)習(xí)任務(wù)單的設(shè)計上，問題環(huán)環(huán)相扣，邏輯層層遞進，引導(dǎo)學(xué)生步步為營，在一個個任務(wù)的完成中達成目標(biāo)，在一個個問題的解決中體驗探究的歷程、合作共享的快樂與成功解決問題的自豪。

《最短路徑問題》微課程帶給我們以下幾點啟示：①微課程的選題。寬泛地說，適合自學(xué)的內(nèi)容均可以做成微課程，然而作為參賽的優(yōu)秀微課程不能忽視微視頻的趣味性和直觀性。趣味性和直觀性既是學(xué)生自主學(xué)習(xí)最基本的要求，也是在無人監(jiān)管學(xué)習(xí)環(huán)境下引導(dǎo)、調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的最佳資源。發(fā)揮視頻直觀性優(yōu)勢和畫面動態(tài)變化特點，解決難點、突出重點有助于降低學(xué)生自學(xué)思考的難度，而這一點也是一些教師微課程選題過程中所容易忽視的。②微課程的制作。微課程的制作畫面要美觀大方才能引人入勝。簡潔大方、和諧自然的微課程畫面，有利于學(xué)生自學(xué)，這也是優(yōu)秀微課程必不可少的。部分教師用視頻代替板書，個別教師為吸引眼球而插入與主題無關(guān)、沒有意義的畫面甚至動畫，這非但沒有起到幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的效用，甚至干擾和分散了學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力。③微課程的應(yīng)用。從學(xué)生應(yīng)用的視角看，微課程方便學(xué)生自學(xué)，促進學(xué)生易學(xué)和樂學(xué)，這也是參賽微課程不能忽視的一部分。

（馬建輝 NOC活動評委/山東省東營勝利教育管理中心）