分式化簡(jiǎn)求值題面面觀

袁勁松

縱觀近年的中考試卷，可以發(fā)現(xiàn)分式化簡(jiǎn)求值題一直是考試的熱點(diǎn)，現(xiàn)將有關(guān)分式化簡(jiǎn)求值的題型歸納如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、直接運(yùn)算型

例1 （2016·荊門）化簡(jiǎn)[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]的結(jié)果是（ ）.

A.[1x+1] B.[x+1x] C.x+1 D.x-1

【分析】先計(jì)算括號(hào)里面的分式加減，再把分式的除法轉(zhuǎn)化為分式的乘法.

解：[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]

= [xx+12]÷[xx+1]

=[xx+12]·[x+1x]

=[1x+1].

故選 A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的運(yùn)算，其中主要涉及分式的加減法和分式的乘除法，分式的加減法關(guān)鍵是化異分母為同分母，而分式的乘除法關(guān)鍵是把分式的除法轉(zhuǎn)換為分式的乘法.

二、整體求值型

例2 （2016·畢節(jié)）若a2+5ab-b2=0，則[ba]-[ab]的值為 .

【分析】先根據(jù)題意得出b2-a2=5ab，再由分式的減法法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

解：∵a2+5ab-b2=0，

∴a2-b2=-5ab，

∴[ba]-[ab]=[b2-a2ab]=[5abab]=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題是分式化簡(jiǎn)、整體代入求值的綜合題，解題的關(guān)鍵是將所求式子進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為b2-a2=5ab的形式.

例3 （2016·齊齊哈爾）先化簡(jiǎn)，再求值：[1-2x]÷[x2-4x+4x2-4]-[x+4x+2]，其中x2+2x-15=0.

【分析】先按照分式計(jì)算的順序（先算乘除，再算加減）化簡(jiǎn)分式.再根據(jù)題目的需要，靈活運(yùn)用條件x2+2x-15=0，代入求值.

解：原式=[x-2x]÷[x-22x+2x-2]-[x+4x+2]

=[x-2x]·[x+2x-2]-[x+4x+2]

=[x+2x]-[x+4x+2]

=[x+22-xx+4xx+2]

=[4x2+2x]，

∵x2+2x-15=0，

∴x2+2x=15.

∴原式=[415].

【點(diǎn)評(píng)】如果著眼點(diǎn)放在x的值上，認(rèn)為求出其值才能代入，那整個(gè)計(jì)算就會(huì)非常繁雜，而用整體思想導(dǎo)航，將x2+2x=15整體代入，便簡(jiǎn)便了不少.

三、運(yùn)算求值型

例4 （2016·咸寧）a，b互為倒數(shù)，代數(shù)式[a2+2ab+b2a+b]÷[1a+1b]的值為 .

【分析】先把第一個(gè)分式的分子因式分解，第二個(gè)分式通分相加，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分后再代入求值.

解：原式=[a+b2a+b]÷[a+bab]

=[a+b2a+b]·[aba+b]

=ab，

由a，b互為倒數(shù)可得ab=1，所以原式=1.故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，結(jié)果中的分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.再將具體數(shù)值代入求值，數(shù)字代入時(shí)不要忘了符號(hào).

四、陷阱求值型

例5 （2016·西寧）化簡(jiǎn)：[2xx+1]-[2x+4x2-1]÷[x+2x2-2x+1]，然后在不等式x≤2的非負(fù)整數(shù)解中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

【分析】根據(jù)運(yùn)算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減.根據(jù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，要用到平方差公式和完全平方公式進(jìn)行分解因式，然后再算減法.對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)果進(jìn)行代值計(jì)算時(shí)要注意x的取值，既要保證最后化簡(jiǎn)的結(jié)果有意義，又要保證原式及運(yùn)算過(guò)程中的各個(gè)分式均有意義.

解：原式=[2xx+1]-[2x+2x+1x-1]·[x-12x+2]

=[2xx+1]-[2x-2x+1]

=[2x-2x+2x+1]

=[2x+1]，

∵不等式x≤2的非負(fù)整數(shù)解是0，1，2，當(dāng)x=1時(shí)分式無(wú)意義，因此x=0或2.把x=0代入，[2x+1]=2；把x=2代入，[2x+1]=[23].

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)遇到分式化簡(jiǎn)求值，尤其是考題要求你選擇一個(gè)喜歡的數(shù)代入求值時(shí)，千萬(wàn)要注意字母取值的限制.重要的是所有使分母等于零的值都不能取，使除號(hào)后緊跟分式的分子等于零的值也不能取，避免進(jìn)入分式無(wú)意義的“雷區(qū)”.

（作者單位：江蘇省海門市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）