光柵衍射中明暗條紋的分析探討

孫紅輝+++王紅霞+++許佳婷

【摘要】光柵衍射是波動(dòng)光學(xué)中重要的教學(xué)內(nèi)容，本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，從加強(qiáng)教學(xué)效果和便于學(xué)生接受與理解的角度出發(fā)，用振幅矢量合成法來分析衍射明、暗條紋的產(chǎn)生及條紋特征，以期對(duì)光柵衍射教學(xué)提供一些有益的借鑒。

【關(guān)鍵詞】光柵衍射 ?明暗條紋 ?矢量合成法

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）35-0149-01

引言

在波動(dòng)光學(xué)中，光柵衍射是非常重要的教學(xué)內(nèi)容，它是光的干涉和衍射現(xiàn)象的綜合反映，也是波動(dòng)光學(xué)理論、技術(shù)、應(yīng)用的典范，使學(xué)生加深理解和區(qū)分干涉和衍射的物理含義。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就光柵衍射教學(xué)中明、暗條紋的分布及條紋特征進(jìn)行探討。

1.光柵衍射定性分析

根據(jù)惠更斯—菲涅爾原理，光柵上每條縫產(chǎn)生強(qiáng)度相同彼此相干的子波光束。設(shè)想光柵上只留下一條縫，其余的全遮住，此時(shí)屏上會(huì)呈現(xiàn)單縫衍射條紋及光強(qiáng)分布，實(shí)際上，無論留下哪一條縫，屏上的單縫衍射條紋和光強(qiáng)分布都是一樣的。當(dāng)開兩縫時(shí)，衍射光在屏上彼此完全重疊，注意：這種疊加是相干疊加。隨著縫數(shù)增加，干涉條紋變得越來越細(xì)銳，由于參與多縫干涉的每一束光線都是單縫所產(chǎn)生的衍射光，因此，多縫干涉光強(qiáng)分布，必然受單縫衍射光強(qiáng)分布的調(diào)制。所以光柵衍射實(shí)際上是光柵每條單縫的衍射光再進(jìn)行相干疊加而產(chǎn)生的，以上是光柵衍射的定性分析。

2.光柵衍射明、暗紋定量分析

對(duì)光柵衍射明、暗紋公式的推導(dǎo)，運(yùn)用振幅矢量合成法是比較合適的，學(xué)生對(duì)矢量多邊形加法比較熟悉，且矢量畫圖形象直觀。平行光垂直照射N條縫的光柵，每條縫沿各方向衍射光強(qiáng)度是一樣的，設(shè)衍射角為？茲的一組平行光在Q點(diǎn)相干疊加，其合振幅等于N條子波在該點(diǎn)光振幅矢量之和。因此，可利用矢量多邊形法分析N條子波的相干疊加，不涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，不需計(jì)算合矢量大小，只需判斷什么情況下合矢量的模最大或最小，直觀簡單，學(xué)生容易理解。

相干疊加結(jié)果取決于光程差，光柵上相鄰兩縫光束光程差為d sin？茲，d為光柵常數(shù)，相應(yīng)的相位差為？啄=2？仔d sin ？茲/？姿，任意相鄰兩縫光束光程差和相位差都相等。多縫干涉結(jié)果可用N個(gè)相位差相同、振幅大小相等的光振幅矢量疊加表示，也就是說：Q點(diǎn)光波合振幅A可表示為N個(gè)光振幅為A0的矢量之和。由矢量多邊形加法，將N個(gè)矢量依次首尾相連做出矢量圖，如圖1所示，相鄰兩矢量夾角等于相位差？啄，從第一個(gè)矢量始端指向最后一個(gè)矢量末端的有向線段就是合矢量，顯然當(dāng)？啄=2k？仔時(shí)，A=NA0，此時(shí)合振幅最大，多縫干涉加強(qiáng)產(chǎn)生主極大明紋。由？啄=2k？仔可得到下式：

d sin ？茲=k？姿 ? ? k=0，±1，±2… （1）

圖1 主極大明紋形成 ? ? ? ? ? ? ? 圖2光柵暗紋的形成

這就是光柵方程，表明光柵上任意相鄰兩縫光束的光程差都滿足了相干加強(qiáng)的條件，此時(shí)合振幅最大，產(chǎn)生主極大明紋。

再分析多縫干涉暗紋情況，暗紋即光振幅合矢量為零。衍射角為？茲時(shí)，相位差為？啄=2？仔d sin？茲/？姿由矢量合成圖2可知，當(dāng)N個(gè)矢量依次首尾相連形成一個(gè)閉合多邊形時(shí)，合矢量大小為零， 也就是N個(gè)光振幅合成為形成暗紋。形成閉合多邊形時(shí)，夾角N？啄必然等于2？仔整數(shù)倍。因此，產(chǎn)生暗紋條件是：

N（a+b）sin ？茲=m？姿 ? ? m=±1，±2…，m≠kN ? （2）

公式中m取值要注意：原則上m取任意整數(shù)，但當(dāng)m等于N 的整數(shù)倍時(shí)，暗紋公式將變成明紋的光柵方程，因此，m應(yīng)取不等于kN 的整數(shù)。由m取值可知，在0 、N 兩個(gè)主極大明紋之間，m取N -1個(gè)值，說明在兩相鄰主極大明紋之間存在N -1個(gè)暗紋。條紋是明暗相間的，N-1條暗紋之間必有N-2條次極大明紋，次極大明紋的光強(qiáng)遠(yuǎn)小于主極大明紋。

3.衍射條紋特征解釋

根據(jù)光柵衍射明、暗條紋公式，可以解釋條紋 “細(xì)、亮、疏”的特點(diǎn)。“細(xì)”體現(xiàn)在主極大明紋半角寬度上，設(shè)k級(jí)主極大明紋衍射角為？茲k，k級(jí)明紋外側(cè)相鄰暗紋對(duì)應(yīng)的衍射角為？茲k+△？茲k，k級(jí)明紋和相鄰暗紋對(duì)應(yīng)的衍射角之差稱為k級(jí)明紋的半角寬度，用△？茲k表示，△？茲k大小就決定明紋的“細(xì)”度。主極大明紋衍射角滿足光柵方程，而暗紋衍射角？茲k+△？茲k滿足暗紋公式，則有：

d sin ？茲k=k？姿 （3）

Nd sin（？茲k+△？茲k）=m？姿=（kN+1）？姿 （4）

（4）式中m取多少呢？，？茲k+△？茲k略大于？茲k，式中右邊應(yīng)略大于Nk？姿，m 取整數(shù)，顯然，m=kN+1，兩式聯(lián)立求解，可得半角寬度：

△？茲k=■ （5）

顯然，縫數(shù)N越大，△？茲k越小，譜線也越“細(xì)”。再看“亮”，“亮”體現(xiàn)在明紋強(qiáng)度上，主極大明紋合振幅為A=NA0，光強(qiáng)與振幅平方成正比，即I=N2I0，其光強(qiáng)是單縫在該方向衍射光強(qiáng)的N2倍，因此，主極大明紋顯得很“亮”。 “疏”體現(xiàn)在主極大明紋的間距上，考查相鄰k和k+1級(jí)主極大明紋，設(shè)k級(jí)明紋對(duì)應(yīng)衍射角為？茲k，k+1級(jí)明紋對(duì)應(yīng)的為？茲k+1，則有：d sin ？茲k=k？姿和d sin ？茲k+1=（k+1）？姿成立，兩式聯(lián)立得：

sin ？茲k+1-sin ？茲k=■ （6）

由（6）式可知，光柵常數(shù)d越小，衍射角分得越開，條紋間距越大，分布就越稀“疏”。以上分析圓滿解釋了光柵衍射條紋“細(xì)、亮、疏”的特點(diǎn)，這種特征有利于光波波長的精確測量，光譜分析中的光譜儀就是基于光柵衍射的原理制成的。

結(jié)束語

運(yùn)用振幅矢量合成法求光柵衍射的明、暗紋公式不涉及過多的數(shù)學(xué)運(yùn)算，借助矢量畫圖分析明、暗紋的形成條件，只需判斷什么情況下合矢量的模為最大或最小即可，非常直觀和簡單，使學(xué)生更加易于理解和掌握明、暗紋公式及條紋的特征，從而取得良好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬文蔚等， 物理學(xué)[M]，北京：高等教育出版社，2015.

[2]吳百詩， 大學(xué)物理[M]，西安交通大學(xué)出版社，2009.