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    指向深度學(xué)習(xí)的“排列組合”高三復(fù)習(xí)教學(xué)探究

    2023-03-15 19:17:35吳景峰
    關(guān)鍵詞:高三復(fù)習(xí)排列組合深度學(xué)習(xí)

    [摘? 要] 針對(duì)高三復(fù)習(xí)過于功利而存在的淺表、低效學(xué)習(xí)現(xiàn)象,以“排列組合(第1課時(shí))”高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)為例,闡述如何在高三復(fù)習(xí)課中,貫徹單元整合理念,創(chuàng)設(shè)層層遞進(jìn)的問題情境,落實(shí)對(duì)話指導(dǎo)與反思指導(dǎo),促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

    [關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);高三復(fù)習(xí);排列組合

    基金項(xiàng)目:廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2021年度青年專項(xiàng)課題“‘O2O教學(xué)模式在藝術(shù)生數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究”(202113695),廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2022年度名師專項(xiàng)課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)主題教學(xué)研究”(202214227).

    作者簡介:吳景峰(1986—),中學(xué)一級(jí)教師,廣州市高中數(shù)學(xué)十佳青年教師,廣州市特約教研員,廣州市骨干班主任,廣州市施永紅名教師工作室成員,廣東省鐘進(jìn)均名教師工作室成員.

    引言

    新高考背景下,迫切需要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),對(duì)數(shù)學(xué)教師的高三復(fù)習(xí)也提出了更高要求. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出,教學(xué)中要關(guān)注育人目的,注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,幫助學(xué)生把握學(xué)習(xí)的深度[1].

    深度學(xué)習(xí)為此提供了重要途徑,它是“學(xué)習(xí)者能動(dòng)地參與教學(xué)的總稱”[2]. 它從問題的揭示開始,學(xué)生圍繞問題思考,尋求種種解決方法,教師則縱觀全局,判斷學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),指引學(xué)生展開以解決問題為目的的探究活動(dòng)[2]. 它有三個(gè)重要特征:一是強(qiáng)調(diào)學(xué)生立場,關(guān)注教師指導(dǎo)下學(xué)生的有意義學(xué)習(xí);二是強(qiáng)調(diào)單元整體教學(xué),強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)性,強(qiáng)調(diào)學(xué)科基本知識(shí)、基本方法、基本思想的學(xué)習(xí)和理解;三是強(qiáng)調(diào)教學(xué)的育人功能,落實(shí)到學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展上,落實(shí)立德樹人[3].

    “排列組合”高三復(fù)習(xí)課教學(xué)現(xiàn)狀

    當(dāng)前高三復(fù)習(xí)教學(xué)普遍存在淺表、虛假、低效的學(xué)習(xí)現(xiàn)象和行為,根源在于問題設(shè)計(jì)失效、情境創(chuàng)設(shè)失真、師生互動(dòng)失衡,難以激發(fā)并維持學(xué)生有效的思維活動(dòng),影響了學(xué)習(xí)質(zhì)量和效果[4]. 在“排列組合”高三一輪復(fù)習(xí)中主要表現(xiàn)為:①教學(xué)問題的設(shè)計(jì)缺乏系統(tǒng)性、層次性和關(guān)聯(lián)性. 部分教師分類講解排列組合的題型,例如先講排列的題型,再講組合的題型,這樣復(fù)習(xí)既割裂了整個(gè)知識(shí)體系,也容易忽略各類問題的關(guān)系. ②情境創(chuàng)設(shè)缺乏時(shí)代性、真實(shí)性和挑戰(zhàn)性. 復(fù)習(xí)時(shí),很多問題情境是陳年已久的例子,難以激發(fā)學(xué)生的興趣和思維主觀能動(dòng)性,思維層階偏低. ③師生互動(dòng)缺乏針對(duì)性、目的性和實(shí)效性. 授課時(shí),部分教師為趕復(fù)習(xí)進(jìn)度,對(duì)排列組合問題難點(diǎn)的處理,通常以全班口答的形式進(jìn)行,造成“學(xué)生都懂”的假象,沒有充分暴露學(xué)生的思維. ④對(duì)思維激發(fā)的引導(dǎo)不夠,探究淺嘗輒止,概括浮于表面. 解決排列組合問題需要的思維量很大,教師的引導(dǎo)很多時(shí)候代替了學(xué)生的思考,導(dǎo)致學(xué)生的思維結(jié)果“含金量低”[4].

    針對(duì)需求與現(xiàn)狀的差距,很多學(xué)者以深度學(xué)習(xí)為理論依據(jù)開展各種高三復(fù)習(xí)教學(xué)的研討活動(dòng),本文以筆者某次異地實(shí)踐教學(xué)探究為例展開論述.

    “排列組合”復(fù)習(xí)課案例描述

    筆者在某次異地教學(xué)活動(dòng)中,以“排列組合(第1課時(shí))”為課題上了一節(jié)高三復(fù)習(xí)示范課. 課前,筆者通過線上問卷形式布置了課前任務(wù),要求每位學(xué)生從身邊尋找一個(gè)關(guān)于排列組合的數(shù)學(xué)問題,然后自主編題并解答,意在考查學(xué)生是否已了解排列組合的含義. 筆者在課前把學(xué)生編制的題目進(jìn)行了整理,分成了兩類,一類是經(jīng)典錯(cuò)例,另一類是答案正確的題目. 第一類題目用于課前3分鐘展示,師生共同糾正;第二類題目作為題庫隨機(jī)選取,作為課前3分鐘的課堂引入.

    課堂上,筆者隨機(jī)選取了兩道學(xué)生編制的題目(問題1、問題2)作為課堂引入:

    問題1:有3張相同的參觀券,要在5人中確定3人去參觀,不同的方法有多少種?

    問題2:要從5件不同的禮物中選出3件分別送給3位同學(xué),不同的方法有多少種?

    追問1:問題1與問題2的本質(zhì)區(qū)別是什么?

    追問2:問題1與問題2的聯(lián)系是什么?

    變式1:有m張相同的參觀券,要在n人中確定m人去參觀,不同的方法有多少種?

    變式2:要從n件不同的禮物中選出m件分別送給m位同學(xué),不同的方法有多少種?

    師生活動(dòng):隨機(jī)挑選個(gè)別學(xué)生回答,并表揚(yáng)編題者.

    設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生自主編題,明確復(fù)習(xí)內(nèi)容,并通過追問,讓學(xué)生回憶排列組合知識(shí),重視知識(shí)間的聯(lián)系.

    問題3:某中學(xué)的模特隊(duì)中有5名男生,3名女生,按以下要求排成一排拍照,分別有幾種方法?

    (1)女生必須相鄰;

    (2)女生都不相鄰;

    (3)女生甲排在女生乙的左邊;

    (4)女生甲不能排在最左,也不能排在最右.

    追問3:若第(3)問中的甲、乙兩人,由兩個(gè)完全相同的女模特道具代替放進(jìn)隊(duì)伍中,方法數(shù)是否變化?與原問題的區(qū)別是什么?

    師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,限時(shí)訓(xùn)練5分鐘,5分鐘后開展3分鐘的小組討論,學(xué)生上臺(tái)“說數(shù)學(xué)”進(jìn)行交流.

    設(shè)計(jì)意圖 利用異地教學(xué)所在學(xué)校的情境,一以貫之創(chuàng)設(shè)5個(gè)題目,轉(zhuǎn)化為8個(gè)元素限制條件下的排列組合問題,以此整合零散的方法便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題間的聯(lián)系與區(qū)別.

    變式3:如圖1所示,這是某中學(xué)校園內(nèi)的三個(gè)籃球場,甲同學(xué)在A點(diǎn)處,想用最短路徑去B點(diǎn)處拿回自己的水杯,但由于每個(gè)半場內(nèi)均有其他同學(xué)在打籃球,于是甲同學(xué)只能沿著如圖2所示的黑色路徑行走. 問:甲同學(xué)的行走路徑有多少條?

    師生活動(dòng):學(xué)生展開討論,全程參與,共同探究,筆者選擇個(gè)別學(xué)生提問.

    設(shè)計(jì)意圖 利用異地教學(xué)所在學(xué)校的校園地圖創(chuàng)設(shè)變式3,讓學(xué)生先從一條條路徑數(shù),到思考如何列舉,再發(fā)現(xiàn)前后問題的相通之處,強(qiáng)調(diào)排列組合問題表征,增強(qiáng)學(xué)生的分析能力,同時(shí)體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的美妙,實(shí)現(xiàn)最近發(fā)展區(qū)的進(jìn)階.

    問題4:今天早上W老師從家出發(fā),先到達(dá)A中學(xué),中午再從A中學(xué)出發(fā),到達(dá)B中學(xué)給同學(xué)們上課,線路如圖3所示.

    圖3

    第①段線路可供選擇的出行方法:步行、自行車、出租車、私家車、公共交通工具.

    第②段線路可供選擇的出行方法:步行、自行車、出租車、私家車、公共交通工具.

    問:按上述線路,W老師共有多少種出行方法?

    師生活動(dòng):全班齊聲回答“25種”,筆者反問條件是否充分,全班學(xué)生恍然大悟,筆者繼續(xù)補(bǔ)充以下幾點(diǎn).

    (1)公共交通工具有公交車和地鐵;

    (2)私家車從家出發(fā);

    (3)考慮路途用時(shí)不宜過長,因此步行不超過5 km,自行車騎行不超過10 km.

    追問4:按上述線路,W老師共有多少種出行方法?

    師生活動(dòng):落入“陷阱”后,學(xué)生積極展開討論,筆者選擇個(gè)別學(xué)生提問.

    設(shè)計(jì)意圖 利用W老師的出行經(jīng)歷來設(shè)計(jì)多限制條件的排列組合問題,先讓學(xué)生落入“陷阱”,思維受阻,再啟發(fā)學(xué)生抓住關(guān)鍵的限制條件進(jìn)行有序思考,提升其分析問題的能力.

    變式4:某中學(xué)模特隊(duì)的5名男生排成一排拍照,其中男生X不能排在最左,男生Y不能排在最右,有幾種排法?

    變式5:某中學(xué)模特隊(duì)有5名男生,3名女生,從中選出3名學(xué)生作為代表,且至少有2名男生,共多少種方法?

    師生活動(dòng):限時(shí)訓(xùn)練,學(xué)生完成后核對(duì)答案,師生共討.

    設(shè)計(jì)意圖 通過變式訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解排列組合是枚舉法的一種轉(zhuǎn)化,遇到多限制條件的計(jì)數(shù)問題時(shí),要學(xué)會(huì)抓核心條件轉(zhuǎn)化問題,展開分類枚舉,通過分類簡化問題.

    問題5:某人想邀請(qǐng)朋友來家中聚會(huì),寫好了4封請(qǐng)柬,需要裝入4個(gè)信封,結(jié)果因?yàn)榇中陌颜?qǐng)柬全部裝錯(cuò)了信封. 請(qǐng)問:裝錯(cuò)的可能情況有多少種呢?

    問題6:某中學(xué)校園內(nèi)共有5個(gè)籃球場,甲同學(xué)在A點(diǎn)處,想用最短路徑去B點(diǎn)處,但由于每個(gè)半場內(nèi)均有其他同學(xué)在打籃球,于是甲同學(xué)只能沿著如圖4所示的黑色路徑行走. 問:甲的行走路徑有多少條?

    設(shè)計(jì)意圖 問題5改編自著名的伯努利—?dú)W拉裝錯(cuò)信封問題,是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)論問題,也是排列組合問題——通過歷史名題滲透數(shù)學(xué)文化;問題6改編自變式3,是留給學(xué)生的挑戰(zhàn)任務(wù).

    最后,筆者提出了兩個(gè)問題:①本節(jié)課解決了哪些類型的問題,其區(qū)別與聯(lián)系是什么?②學(xué)習(xí)本課后,對(duì)編題有何感受?能否利用其他同學(xué)或老師編制的題目,進(jìn)行二次改編?引導(dǎo)學(xué)生學(xué)后反思,教師布置分層作業(yè)——大部分作業(yè)來自學(xué)生線上自主編制的題目.

    指向深度學(xué)習(xí)的排列組合高三復(fù)習(xí)教學(xué)的啟示

    深度學(xué)習(xí)是以學(xué)生為主體的,只有通過學(xué)生積極主動(dòng)地全身心參與才能實(shí)現(xiàn)[3]. 因此,在高三第一輪復(fù)習(xí)中,要提高學(xué)生參與的自主性和深度,將學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)和維持及思維的參與貫穿教學(xué)始終,這是高三數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)所需要的[5].

    1. 單元整合,聚焦生成

    排列組合的綜合應(yīng)用是高考的重難點(diǎn),問題情境常考常新[6],因此在高三的復(fù)習(xí)課中,“單元整合”理念要貫穿教學(xué)始終.

    首先,從教師“教”的創(chuàng)造加工視角來看,單元設(shè)計(jì)是出發(fā)點(diǎn). 為避免學(xué)生在運(yùn)用排列組合模型的過程中,因缺乏深度理解而張冠李戴[6],案例中的問題3與變式3,把相鄰問題、不相鄰問題、定序問題、相同元素問題等整合為單一條件限制問題,并歸納出特殊元素(位置)的特殊處理方法;問題4、問題5、問題6以及變式4、變式5則是多限制條件計(jì)數(shù)問題的整合,引導(dǎo)學(xué)生歸納核心方法,實(shí)現(xiàn)“多題歸一”.

    其次,從學(xué)生“學(xué)”的生成過程視角來看,聚焦生成是落腳處. 《標(biāo)準(zhǔn)》指出,高考考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線,聚焦學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用[1]. 案例中,筆者在課前線上組織學(xué)生自主編題,并隨機(jī)抽取題目作為課堂引入,既有反例又有正例,促進(jìn)學(xué)生回顧知識(shí),調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,是異地教學(xué)中線上線下融合的一次嘗試. 問題3讓學(xué)生上臺(tái)“說數(shù)學(xué)”,暴露學(xué)生的思維;變式3先讓學(xué)生嘗試解答,再集思廣益尋求更優(yōu)方法;問題4設(shè)計(jì)了“小陷阱”,引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突,從而讓學(xué)生意識(shí)到問題分析的重要性,體現(xiàn)“練在講之前,講在關(guān)鍵處”[7].

    這需要在單元設(shè)計(jì)中預(yù)設(shè),在課堂實(shí)施中生成,尋求兩者的平衡點(diǎn),讓高三復(fù)習(xí)充滿智慧與活力.

    2. 情境創(chuàng)設(shè),分層啟誘

    《標(biāo)準(zhǔn)》指出,在教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題,用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題,用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題[1]. 案例中,筆者通過創(chuàng)設(shè)三個(gè)問題情境組由淺入深地對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層啟發(fā)誘導(dǎo). 第一個(gè)情境組,放手讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造問題,通過學(xué)生線上編題,達(dá)到學(xué)生再認(rèn)識(shí)排列組合的目的,除了概括排列組合外,還要從自己的視角出發(fā)觀察身邊的例子,得出自己對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊. 第二個(gè)情境組是問題3與變式3,筆者利用學(xué)生熟悉的校園情境創(chuàng)設(shè)問題,把學(xué)生所在校園的地圖截取在變式3中,大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度,同時(shí)把零散的問題類型與解決方法串聯(lián)起來,誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各類問題的聯(lián)系與區(qū)別. 第三個(gè)情境組是問題4,從筆者的實(shí)際情境出發(fā)進(jìn)行創(chuàng)設(shè),先讓學(xué)生感覺很容易,繼而發(fā)現(xiàn)問題不簡單,認(rèn)知沖突后再啟發(fā)學(xué)生有序思考. 另外,還有以數(shù)學(xué)史為背景的問題5,滲透著數(shù)學(xué)文化.

    3. 對(duì)話指導(dǎo),加強(qiáng)交流

    相互對(duì)話的教學(xué)即“對(duì)話指導(dǎo)”,是深度學(xué)習(xí)的重要支撐. 它包含三種對(duì)話——與自己的對(duì)話、與他者的對(duì)話、與客體的對(duì)話[3]. 案例中,筆者先在課前組織學(xué)生自主編題,師生共同糾正經(jīng)典錯(cuò)例,構(gòu)建師生“暢所欲言”的課堂生態(tài);然后以現(xiàn)實(shí)生活為背景創(chuàng)設(shè)情境問題,營造“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”的課堂氣氛;再在課中組織學(xué)生小組討論,讓學(xué)生“說數(shù)學(xué)”,充分暴露學(xué)生的思維,讓學(xué)生感受到筆者對(duì)他們“犯錯(cuò)”與“不理解”的寬容;又利用問題4的“小陷阱”,讓全班學(xué)生感受到“共同犯錯(cuò)”的愉悅,加以啟誘,感覺到“發(fā)現(xiàn)”的驚喜,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)話與情感投入;最后通過布置挑戰(zhàn)性任務(wù),整理學(xué)生編制的題目來布置作業(yè),加強(qiáng)學(xué)生課后的數(shù)學(xué)交流. 通過三種對(duì)話及相互作用,促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

    4. 反思指導(dǎo),提升素養(yǎng)

    在每個(gè)教學(xué)環(huán)境的最后階段,給學(xué)生適當(dāng)?shù)牧舭卓臻g進(jìn)行反思十分重要,能使學(xué)生感受到充實(shí)感,即“達(dá)成感”與“自我有能感”. 例如解決問題3時(shí),學(xué)生上臺(tái)板演后,筆者讓學(xué)生“說數(shù)學(xué)”——除了說解題過程,更重要的是引導(dǎo)學(xué)生說“反思”與“總結(jié)”. 解決變式3時(shí),筆者讓學(xué)生通過討論及時(shí)反思,總結(jié)問題模型的共性方法,讓學(xué)生能夠確實(shí)感受到“會(huì)做了”. 布置作業(yè)時(shí),利用學(xué)生自編的題目讓學(xué)生感受到“別人改編的題目,我也能做”,讓編題的學(xué)生感受到“我也能做小老師”. 在這種元認(rèn)知的反思下,學(xué)生才能真正體驗(yàn)到深度學(xué)習(xí),提升自身素養(yǎng),這對(duì)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展有重要意義.

    參考文獻(xiàn):

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