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    近代歐洲幾何與繪畫結(jié)合的基本方式

    2017-02-04 00:02:35楊紅彥
    關(guān)鍵詞:組合文藝復(fù)興中世紀(jì)

    楊紅彥

    摘 要:考證概括了文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家將希臘傳統(tǒng)的古典幾何知識(shí)用于藝術(shù)創(chuàng)作的過程。比較分析了達(dá)·芬奇、丟勒等人的重要著作及其手稿中的透視、比例和構(gòu)型問題。說明在文藝復(fù)興特定的歷史背景和時(shí)代氛圍中,藝術(shù)家強(qiáng)調(diào)寫實(shí)與審美的結(jié)合,而數(shù)學(xué)成為寫實(shí)的重要手段。他們的工作促進(jìn)了數(shù)學(xué)和藝術(shù)的共同發(fā)展,同時(shí),此種方法影響了歐洲后來的繪畫。

    關(guān)鍵詞:文藝復(fù)興;幾何學(xué);藝術(shù);刨分;組合;中世紀(jì)

    繪畫和幾何學(xué)都是空間的“刨分-組合”,長期以來人們認(rèn)為作為數(shù)學(xué)的幾何與作為藝術(shù)的繪畫之間沒有直接關(guān)聯(lián):幾何基于空間部分的簡單重復(fù),而繪畫則強(qiáng)調(diào)多變(部分與部分不同)。但是文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家卻從幾何學(xué)的角度考慮繪畫問題。數(shù)學(xué)在藝術(shù)中的應(yīng)用是藝術(shù)發(fā)展的一個(gè)巨大的轉(zhuǎn)折,這是與當(dāng)時(shí)的歷史和文化背景相關(guān)的。

    中世紀(jì)藝術(shù)家的作品大都是宗教題材,他們把超越世界中的事件用直觀的圖形表達(dá)出來,因而與基于視覺的經(jīng)驗(yàn)事件有很大差異。除了極個(gè)別的例外,中世紀(jì)繪畫是是一種“寫意”畫,一種向平信徒宣講圣經(jīng)故事和宗教教義的工具,往往借用象征和夸張的手法,表達(dá)關(guān)于天堂的宏偉圖景。例如人物畫的背景用金色渲染,襯托他們所處天堂的富麗堂皇。中世紀(jì)藝術(shù)家Simone Martini的著名的作品“天使”(The Annunciation)是中世紀(jì)繪畫的代表作。

    受希臘復(fù)興的影響,人文主義藝術(shù)家強(qiáng)調(diào) “寫實(shí)”,即精確、真實(shí)地反映視覺對象的空間結(jié)構(gòu)。和自然哲學(xué)家用數(shù)學(xué)描述世界圖景的思路相似,15世紀(jì)的藝術(shù)家強(qiáng)調(diào)真實(shí)而審美地再現(xiàn)對象,認(rèn)為數(shù)學(xué)是真實(shí)性的基礎(chǔ)。同時(shí),文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家是一種博學(xué)多才的人文主義者,他們研究力學(xué)、建筑、光學(xué)、解剖學(xué),等等,精通建筑、工程、希臘數(shù)學(xué)。他們自覺利用數(shù)學(xué)知識(shí)于藝術(shù)創(chuàng)造活動(dòng)之中,甚至于專門從事數(shù)學(xué)教學(xué),寫出獨(dú)特的數(shù)學(xué)專著(mathematics in art)。最為典型的代表是幾何與繪畫的結(jié)合,主要方式是透視、比例和空間構(gòu)形。

    一、透視問題

    以數(shù)學(xué)或幾何學(xué)的方式真實(shí)地反映物體對象,首當(dāng)其沖的是物體如何把三維空間的物體表達(dá)在二維空間(畫面)之中,即透視問題。藝術(shù)家在把三維視覺和內(nèi)在直覺中的空間結(jié)構(gòu)“轉(zhuǎn)移”到二維畫面上的嘗試中,發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)似乎是有效的運(yùn)載工具。希臘人也考慮到透視問題,但那是零散個(gè)別的例子,而且是獨(dú)立于數(shù)學(xué)幾何學(xué)的。而近代藝術(shù)家直接從數(shù)學(xué)角度考慮透視問題,最早關(guān)注透視問題的是Giotto(1266/7 – 1337),他用代數(shù)方法(學(xué)藝數(shù)學(xué))計(jì)算遠(yuǎn)近實(shí)物的畫面比例。

    文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲學(xué)者受al-Haytham和Giotto的影響,al-Haytham最先提出視覺是人的眼睛接受反射光。利用幾何學(xué)主要是想真實(shí)地再現(xiàn)實(shí)物的結(jié)構(gòu)。Filippo Brunelleschi(1413)是最早明確提出透視原理的著作,F(xiàn)ilippo Brunelleschi于1425年在設(shè)計(jì)描畫佛羅倫薩教堂的手稿中提出定點(diǎn)透視。Jan van Eyck的Arnolfini Portrait(1434)和Parmigianino的“自畫像”(Self-portrait in a Convex Mirror)引入不同于直線透視的曲線透視(curvilinear perspective)。

    最先系統(tǒng)論述幾何透視的是Alberti的《論繪畫》(On painting 拉丁語原作De pictura,1435)。他的《論繪畫》共三部分。第一部分專門討論了繪畫的幾何學(xué)原理。他認(rèn)為:繪畫在本質(zhì)上是一種幾何學(xué),提出明確的“定點(diǎn)透視”,提出明確的沒影點(diǎn)(vanishing point)。他的《論繪畫》(On Painting 1435)集中討論透視法則——如何把三維實(shí)物真實(shí)地反映在二維畫布上去,是系統(tǒng)論述透視的第一部著作。Alberti 提出視錐(visual pyramid或visual cone)截景的概念。Leon Battista Alberti (1404–72)的關(guān)于繪畫藝術(shù)的著作有很大影響,同時(shí)使得傳統(tǒng)的藝術(shù)從手工技藝走向理性知識(shí)。

    Alberti的學(xué)生Piero是藝術(shù)幾何化的后繼者,他的包含大量插圖的手稿(保存在梵蒂岡)《論算藝》Del abaco (On the Abacus)是一部實(shí)用數(shù)學(xué)手冊,和達(dá)·芬奇的風(fēng)格相似。他深入研讀希臘數(shù)學(xué),特別是阿基米德的著作,他在學(xué)藝學(xué)校(abacus schools)教授數(shù)學(xué),編寫數(shù)學(xué)教材。歷史學(xué)家Vasari的《畫家的生活》稱其為那個(gè)時(shí)代最偉大的幾何學(xué)家。Piero對Luca Pacioli 和達(dá)·芬奇有直接影響。

    Luca Pacioli (1446– 1517)出生于意大利,是著名數(shù)學(xué)家、方濟(jì)會(huì)修士,被稱為 “會(huì)計(jì)學(xué)之父”。他的《算術(shù)、幾何、比例及比例論總論》(1494,1523)是文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)著作代表,直接影響了達(dá)·芬奇。所以,達(dá)·芬奇第一次提出“藝術(shù)是一門科學(xué)”,這批藝術(shù)家為了真實(shí)地反映對象而研究透視學(xué)和解剖學(xué)。當(dāng)然藝術(shù)中的科學(xué)是一個(gè)手段,是通過“藝術(shù)—科學(xué)—藝術(shù)”而達(dá)到一種更高的藝術(shù)。其典型的代表就是把二維畫布上真實(shí)地反映三維空間中的實(shí)物變成為具體的幾何學(xué)問題。他提出兩種透視方法:即藝術(shù)透視和自然透視(artificial perspective and natural perspective)。這些具有豐富的科學(xué)知識(shí)的藝術(shù)家的幾何方法和藝術(shù)創(chuàng)作互相影響。丟勒的兩幅作品給出“透視-截景”(projection and section)原理的解釋,這種原理被純數(shù)學(xué)家發(fā)展為一門重要的幾何學(xué),其中涉及不同于歐幾里得幾何的新的“不變性或等價(jià)性”。

    另外,文藝復(fù)興時(shí)期的學(xué)者在繪制地圖過程中傳播和改進(jìn)了希臘人的投影法。麥卡托(G.Mercator,1512~1594)提出著名的Mercator投影法(Miller projection),即“畫一個(gè)保形地理地圖,其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的”,他選擇對數(shù)函數(shù)作為解析變換。與繪畫中的透視方法非常接近。Egnatio?Danti(1583)概括了透視學(xué)的歷史,從中可見16世紀(jì)的藝術(shù)家程度不同地用幾何方法研究透視問題。

    二、比例問題

    Pacioli的《算術(shù)、幾何和比例概論》(1495)是人文主義的混合數(shù)學(xué)的代表,其中很多問題都以繪畫中的比例問題為例。特別是他的《神圣比例》(De Divina Proportione 1509)是一部繪畫比例的專著,其中包含達(dá)·芬奇關(guān)于黃金比例問題的論述。

    另一個(gè)典型的代表丟勒(Albrecht Dürer,1471—1528)出于繪畫的需要而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),但也不限于繪畫的需要。他是文藝復(fù)興時(shí)期畫家中最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家,也是數(shù)學(xué)家之中最優(yōu)秀的畫家。他出生于德國的紐倫堡,和那個(gè)時(shí)代的許多知識(shí)分子一樣,早年在意大利留學(xué),跟Pacioli學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),后來回到德國從事創(chuàng)作和印制版畫。他在幾何學(xué)方面的工作與他的藝術(shù)創(chuàng)作融為一體。他把幾何學(xué)作為藝術(shù)創(chuàng)作的一種重要的技術(shù)手段。他說:“藝術(shù)家之所以忽視他們創(chuàng)作中的錯(cuò)誤,唯一的理由是他們?nèi)狈缀沃R(shí),沒有幾何知識(shí)無法成為真正的藝術(shù)家……正因?yàn)閹缀螌W(xué)是一切繪畫的恰當(dāng)基礎(chǔ),所以我決意要為那些渴望成為藝術(shù)家的人教授基本的幾何原理?!彼闹髦饕小岸攘克牟俊保ǖ谝徊康抡Z數(shù)學(xué)著作),是重要的幾何學(xué)著作。其中第一卷討論螺線、擺線等線性問題;第二卷是平面幾何,主要內(nèi)容是正多邊形;第三卷主要是幾何學(xué)在工程、建筑和版畫制作方面的應(yīng)用;第四卷是立體幾何,包括五種正多面體,同時(shí)涉及大量透視問題。丟勒把繪畫中的待比例、對稱問題數(shù)學(xué)化,通過幾何構(gòu)圖和算術(shù)計(jì)算獲得具有審美意義的空間比例關(guān)系。

    他關(guān)心幾何的視角不同于希臘人,他欣賞托勒密的幾何學(xué)勝于歐幾里得,是透視的幾何化的標(biāo)志。他考慮了空間曲線透射到平面上的方法,還考慮了一個(gè)物體的三視圖,涉及到后來的畫法幾何。他的書主要是繪畫技法方面的內(nèi)容,這和幾何學(xué)還有一段距離,但體現(xiàn)著一種全新的空間關(guān)系,它們是建立幾何學(xué)的材料基礎(chǔ)。他的幾何學(xué)主要是比例和透視問題,其中最為重要的是人體的比例、建筑的比例以及它們之間的關(guān)系。

    丟勒之后Federico Commandino把透視的幾何原理從繪畫推廣到地圖繪制。以前的藝術(shù)家大都是給弟子們講授畫技而用幾何方法(rules for artists),但Federico Commandino的教科書主要是為數(shù)學(xué)家,而非藝術(shù)家所寫??梢娫从诶L畫的數(shù)學(xué)問題成為新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。

    后來,Michael Maestlin在給他的學(xué)生開普勒的信(1597)中給出黃金數(shù)的近似值(0.6180340),開普勒證明黃金數(shù)是斐波那契數(shù)列的極限,稱其為數(shù)學(xué)和藝術(shù)的“寶石”,可見比例問題在藝術(shù)和數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了同樣重要的影響。

    Jean Fernel的《論比例》(1528)進(jìn)一步發(fā)展和完善了Thomas Bradwardine的比例理論,與丟勒的工作一同構(gòu)成數(shù)學(xué)比例在繪畫中的應(yīng)用代表。

    三、構(gòu)形問題

    除了透視的技法,文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家是否進(jìn)一步思考“數(shù)學(xué)與藝術(shù)”的深層關(guān)聯(lián)。

    幾何學(xué)對繪畫影響的另一種方式是幾何圖形的結(jié)構(gòu)在繪畫中的應(yīng)用,如借助于幾何方法的藝術(shù)表達(dá)手段是Anarnorphic Art。把圓柱、圓錐、球等對稱的幾何圖形用來解釋和勾畫繪畫草圖。Brunelleschi和Alberti(1415)把歐氏幾何中的相似三角形用于繪畫。

    把具體的幾何形體用于繪畫的最典型的代表是Piero,他其實(shí)是一位數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)課本(Trattato d'abac,1450)包括算術(shù)、代數(shù)、幾何等,其中涉及透視幾何的內(nèi)容。Piero在《簡論五種正則立體》(Short book on the five regular solids,1460或者1470)中提出:繪畫有三條基本原則,構(gòu)圖、比例和色彩(drawing, proportion and colouring),構(gòu)圖和比例都與數(shù)學(xué)有關(guān),而構(gòu)圖就是用具體的立體幾何形體作為繪畫的基礎(chǔ)。

    丟勒的數(shù)學(xué)工作不限于透視,而是更加寬泛的“幾何”用于繪畫,特別是他的繪畫涉及數(shù)學(xué)曲線與點(diǎn)的對偶關(guān)系的“包絡(luò)線”(envelope),(丟勒(1525), p 38),或許只有藝術(shù)家才首先想到用“線構(gòu)成線”這樣的思路。Wentzel Jamnitzer 的優(yōu)美的《柏拉圖立體》(1568)研究了柏拉圖的正則多面體在繪畫中的應(yīng)用。

    丟勒認(rèn)為人體是各種幾何圖形按照一定比例的組合,例如整個(gè)人體可以看成是一個(gè)圓柱,然后各個(gè)部分可以看做是三角形、長方形;球、各種椎體、柱體等。這說明當(dāng)時(shí)的繪畫大師很相信數(shù)學(xué)的實(shí)在性,認(rèn)為是寫實(shí)藝術(shù)的重要手段。所以文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫可以說是“幾何之骨架與藝術(shù)之血肉的完美結(jié)合”。后來Leibniz (see Leibniz 1694a), Joh. Bernoulli and de LHospital等數(shù)學(xué)家也考慮過相似的問題。

    丟勒多面體成為一個(gè)獨(dú)特的幾何與藝術(shù)的結(jié)合,也成為一個(gè)神秘問題。丟勒的畫中還有一個(gè)“丟勒幻方”。Bachet寫的有關(guān)數(shù)學(xué)謎題的專門著作(Problemes plaisans et delectables. by Claude Gaspar Bachet, published in France in 1612,法語寫作的),構(gòu)造了幻方,成為此后趣味數(shù)學(xué)的摹本。

    Masaccio把Brunelleschi的原理用于繪畫。這些思想一直影響到現(xiàn)代,精通希臘數(shù)學(xué)的Della Francesca有關(guān)立體幾何的著作把歐幾里得幾何用于空間透視,他的《論算藝》和《正則立體》本是數(shù)學(xué)著作,但很多例子都是來源于繪畫。

    達(dá)·芬奇還給出一個(gè)畫圓為方問題的非尺規(guī)解法。他還給出一個(gè)方法計(jì)算眼睛到物體之間的距離。

    總體來說,算藝數(shù)學(xué)發(fā)展不同于傳統(tǒng)(scholarly traditions)的demonstration and proof新的數(shù)學(xué)合理性標(biāo)準(zhǔn)或者推演方式。文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家、工程師、建筑師提出現(xiàn)代幾何問題,這和測地術(shù)中實(shí)用問題以及其他的技術(shù)(technology)應(yīng)用不同,這里是一種技藝(arts)問題,這是工匠傳統(tǒng)的方式之一。這時(shí)候很多數(shù)學(xué)是從實(shí)際問題出發(fā),但程度不同地都發(fā)展到純數(shù)學(xué)的水平,如三角學(xué)和對數(shù)。相比之下透視學(xué)尚處于學(xué)藝技術(shù)的水平。

    或許,藝術(shù)的數(shù)學(xué)解釋或者數(shù)學(xué)方法在藝術(shù)中的應(yīng)用具有雙重意義:一方面是成功把握模特的形體特征;另一方面是埋下異化藝術(shù)的可能。這是一個(gè)值得深思的問題!

    參考文獻(xiàn):

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    作者單位:

    天津師范大學(xué)美術(shù)與設(shè)計(jì)學(xué)院

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