例談構造輔助函數求條件最值

☉廣東實驗中學 賀 朗 伍毅東

例談構造輔助函數求條件最值

☉廣東實驗中學 賀 朗 伍毅東

多元函數的條件最值問題在中學沒有系統(tǒng)講述，但卻是高考和競賽的一個重要題型.本文試圖通過構造輔助函數，應用導數知識探求多元函數條件最值問題的解題思路.

例1 已知正數x，y滿足x2+y2=8，求證：x+y≤4.

證明：令f（x，y）=x+y，φ（x，y）=8-x2-y2，本題為求函數f（x，y）在條件φ（x，y）=0下的最大值.為此，作輔助函數F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）=x+y+λ（8-x2-y2），這里λ是待定參數.固定y＞0，在F（x，y）中對變量x求導，記為F′x（x，y），類似理解記號F′y（x，y），則F′x（x，y）=1-2λx，F′y（x，y）=1-2λy.令F′x（x，y）=0，F′y（x，y）=0.

因此，對任意固定的y＞0，F（x，y）在x=2處取得最大值.

類似地，對任意固定的x＞0，F（x，y）在y=2處取得最大值.因此，函數F（x，y）在x=y=2處取得最大值4.那么，當x＞0，y＞0時，F（x，y）≤4.當x2+y2=8時，F（x，y）=f（x，y）=x+y≤4.

評注：求f（x，y）在條件φ（x，y）=0下的最值，構造輔助函數F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）.若求得F（x，y）的最值，則在條件φ（x，y）=0下也就求出了f（x，y）的最值；而參數λ的作用是使得方程組（1）中的三個等式都成立的x，y存在，從而找出F（x，y）的最值點.

例2 （1976年英國數學競賽）設正數a1，a2，…，an之和s，n≥2，求證

對任意固定的a1，…，ai-1，ai+1，…，an，當時，，則F（a1，…，an）關于ai單調遞減；當時，Fai′（a1，…，an）＞0，則F（a1，…，an）關于ai單調遞增.

因此，對任意固定的a1，…，ai-1，ai+1，…，an，函數F（a1，…，an）在取得最小值，這里i=1，2，…，n.由此得函數在a1=…=處取得最小值

故當a1+…+an=s時

例3 （《數學通報》問題1625）設正數x，y，z滿足4x+3y+5z=1，求的最小值.

解：由于4x+3y+5z=（x+y）+2（y+z）+3（z+x），可令a1=1-a1-2a2-3a3，這里a1＞0，a2＞0，a3＞0，問題轉化為求函數f（a1，a2，a3）在條件φ（a1，a2，a3）=0下的最小值.

由上面的方程組易知，對任意固定的a2，a3，函數F（a1，a2，a3）在處取得最小值；對任意固定的a1，a3，函數F（a1，a2，a3）在處取得最小值；對任意固定的a1，a2，函數F（a1，a2，a3）在處取得最小值.由此得F（a1，a2，a3）在處取得最小值當a1+2a2+3a3=1時

由上面的方程組易知，對任意固定的y，z，函數F（x，y，z）在x=2處取得最小值；對任意固定的x，z，函數F（x，y，z）在y=2處取得最小值；對任意固定的x，y，函數F（x，y，z）在z=2處取得最小值.因此，F（x，y，z）在x=y=z=2處取得最小值當時

小結：求函數f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）在條件φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）=0下的最值，可嘗試構造輔助函數F（x1，x2，…，xn）=f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）+λ［φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）］.固定x1，…，xi-1，xi+1，…，xn，利用對變量xi的導數F′xi（x1，x2，…，xn）=f′i（xi）+λφ′i（xi）（i=1，2，…，n）求出F（x1，x2，…，xn）的最值點，從而求出f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）在條件φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）=0下的最值.