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    分類例談多元函數(shù)最值問題求解策略

    2017-10-17 02:13:11浙江省寧波市北侖中學(xué)范東暉
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年19期
    關(guān)鍵詞:競賽題實(shí)數(shù)最值

    ☉浙江省寧波市北侖中學(xué) 范東暉

    分類例談多元函數(shù)最值問題求解策略

    ☉浙江省寧波市北侖中學(xué) 范東暉

    多元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念之一,隨著新課改的推進(jìn),多元函數(shù)的值域與最值問題在自主招生、高考和各類數(shù)學(xué)競賽中也常有涉及.本文就常見的多元函數(shù)最值問題的求解策略加以梳理,供參考.

    一、整體換元法

    整體換元就是將數(shù)學(xué)問題中某一式子看成一個(gè)整體,然后用一個(gè)所謂的”元”去代替它,再用替換了的變量根據(jù)條件去構(gòu)造成新的數(shù)學(xué)關(guān)系,這樣通過替換不僅可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的簡單化,而且使得與已知條件的聯(lián)系更為直觀.

    例1 已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2-ab+b2=3,求a2+ab+b2的最小值和最大值.

    解析:將a2-ab+b2=3代入,得a2+ab+b2=(3+ab)+ab=3+2ab,下面只要求出ab的最值即可.由a2-ab+b2=3,得a2+2ab+b2=3+3ab,所以ab≥-1,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=1,ab<0時(shí)等號(hào)成立;再由a2-ab+b2=3,得a2-2ab+b2=3-ab,所以ab≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).于是-1≤ab≤3.

    因此,a2+ab+b2的最小值是1,最大值是9.

    評(píng)注:根據(jù)結(jié)論與條件中數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將條件整體代入結(jié)論表達(dá)式,盡管不能消元,但可化簡所求的結(jié)論.

    例2 (2015年浙江省高考題)設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+xy+y2=1,則2x+y的最大值是_______.

    解析:令2x+y=t,則y=-2x+t,代入已知條件,并化簡得6x2-3tx+t2-1=0.因?yàn)閤為實(shí)數(shù),所以由Δ=9t2-24(t2-1)≥0,得,所以2x+y的最大值是

    評(píng)注:本題將要求的結(jié)論2x+y整體換元,代入已知條件,將問題轉(zhuǎn)化為“方程有解需要滿足的條件”來求解,這也是一種通性通法.

    例3 已知x,y,z∈R+,且.求證:

    即a+b+c≥9.

    二、配方法

    當(dāng)所給出的多元函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)具有二次關(guān)系時(shí),可考慮配方法來解決.

    例4 (2014年浙江省競賽題)設(shè)a,b為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ax+b滿足:對(duì)任意x∈[0,1],有|f(x)|≤1,則ab的最大值為__________.

    解析:易知a=f(1)-f(0),b=f(0),則ab=f(0)·[f(1)-

    例5(2007年浙江省競賽題)設(shè)f(x,y,z)=sin2(x-y)+sin2(y-z)+sin2(z-x),x,y,z∈R,求f(x,y,z)的最大值.

    評(píng)注:本題給出的式子的結(jié)構(gòu)關(guān)系,利用基本不等式并不奏效,根據(jù)式中項(xiàng)與項(xiàng)之間的次數(shù)關(guān)系,我們選擇了配方法.

    三、不等式法

    利用基本不等式(均值不等式)和柯西不等式等求解最值問題.

    1.利用基本不等式

    故a3b2c≤27×4.

    當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),等號(hào)成立.

    評(píng)注:本題應(yīng)用了三元均值不等式來求多元函數(shù)的最值,但要注意應(yīng)用條件“一正二定三相等”.

    例7 (2015年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a+4b=2c,4a+2b=4c,求c的最小值.

    解析:將2a,2b,2c分別記為x,y,z,則x,y,z>0.

    由條件知,x+y2=z,x2+y=z2,

    故z2-y=x2=(z-y2)2=z2-2y2z+y4.

    由于c=log2z,故c的最小值為

    評(píng)注:本題先用換元法將已知化簡,先求z=2c的最小值,進(jìn)而求得c的最小值,同時(shí)要特別注意等號(hào)取得的條件.

    2.利用柯西不等式

    例8(2013年浙江省競賽題)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求a2+b2的最小值.

    解析:由已知得,設(shè)t為二次函數(shù)在[3,4]上的零點(diǎn),則有at2+(2b+1)t-a-2=0,變形為(2-t)2=[a(t2-1)+2bt]2≤(a2+b2)[(t2-1)2+4t2]=(a2+b2)(1+t2)2.

    四、數(shù)形結(jié)合法

    當(dāng)我們所要求的多元函數(shù)的結(jié)構(gòu)式與我們學(xué)過的一些公式(如兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式、點(diǎn)到直線的距離公式、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式等)的結(jié)構(gòu)類似時(shí),可考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

    上題例8也可用數(shù)形結(jié)合法求解,把等式看成關(guān)于的直線方程:(x2-1)a+2xb+x-2=0,利用直線上一點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離大于原點(diǎn)到直線的距離,即,接下來的解法同例8.

    例9 已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,則(a-c)2+(b-d)2最小值是________.

    解析:由已知可得b=-a2+3lna,d=c+2.(a,b),(c,d)可視為平面上的兩點(diǎn)坐標(biāo),則問題等價(jià)于求直線l:y=x+2上的點(diǎn)與函數(shù)y=-x2+3lnx的圖像上的點(diǎn)距離的平方的最小值.

    由圖像易知,與直線l平行且與曲線y=-x2+3lnx相切的直線l0與直線l之間的距離的平方,即為所求最小值.

    設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),則由知,解得x0=1,所以切點(diǎn)為(1,-1),切線方程為y=x-2.

    所以(a-c)2+(b-d)2的最小值為

    評(píng)注:本題有4個(gè)參數(shù),又夾雜著對(duì)數(shù)運(yùn)算,比較難于找到問題的本質(zhì).采用數(shù)形結(jié)合的思想,把隱含的條件顯露出來,使看似一籌莫展的問題柳暗花明.

    五、利用函數(shù)的單調(diào)性

    先將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),然后利用函數(shù)的單調(diào)性來確定最值.

    例10設(shè)0≤x≤π,0≤y≤1.試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值.

    解析:由題意易知,對(duì)一切0≤x≤π,有sinx≥0,sin(1-y)x≥0.

    ,有tanx>x>sinx,

    且sin(x+δ)=sinx·cosδ+cosx·sinδ≤sinx+δcosx.

    又因?yàn)?<(1-y)x≤x≤π,

    注意到(1-y)2=1-2y+y2≥1-2y>0,

    故(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x≥0,即f(x,y)≥0.

    當(dāng)y=0時(shí),等號(hào)成立.

    綜上,當(dāng)x=0或y=0時(shí),f(x,y)min=0.

    六、賦特殊值法

    有些競賽題直接解答有難度,不妨“退后一步”,從特殊出發(fā),先探索出結(jié)論,再證一般性.

    設(shè)x-2=cosθ(θ∈[0,π]),則

    設(shè)g(x)=x3-ax2-bx-c,在區(qū)間[1,3]上,關(guān)于x=2對(duì)稱地取值

    七、逐步調(diào)整法

    例12 (北大自主招生題)已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,若min(a1,a2,a3)≤min(b1,b2,b3).

    求證:max(a1,a2,a3)≤max(b1,b2,b3).

    證明:不妨設(shè)a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3,條件為:a3≤b3,

    要證:a1≤b1.

    由假設(shè)可知α≥β.

    若α=β,則a1+a2=b1+b2,a1a2=b1b2,從一元二次方程根的角度可知,a1=b1.

    若α>β,因?yàn)閍1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,所以

    評(píng)注:本題采用分析法、換元法解決,利用式子的輪換對(duì)稱,假定字母的大小順序,從而產(chǎn)生分析法的思路.

    最后指出,求解多元函數(shù)的最值問題,除了上述方法外,還有減元法、判別式法、分類討論法等,有時(shí)還需要多種方法的綜合運(yùn)用.由于篇幅所限,這里不再一一舉例.

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