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    例析數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2017-01-21 21:05仲興業(yè)
    中學(xué)生理科應(yīng)試 2016年11期
    關(guān)鍵詞:歸納法例析等式

    仲興業(yè)

    數(shù)學(xué)歸納法是證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法,即先證明當(dāng)n取第一個值n0時(shí)命題成立,然后假設(shè)當(dāng)n=kk∈N+,k≥n0時(shí)命題成立的前提下,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,那么就證明了這個命題成立.下文主要介紹數(shù)學(xué)歸納法在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

    一、證明恒等式問題

    例1 對于n∈N*,用數(shù)學(xué)歸納法證明:

    1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=16n(n+1)(n+2).

    證明 設(shè)f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.

    (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立;

    (2)設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=

    16k(k+1)(k+2),

    則當(dāng)n=k+1時(shí),

    f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1

    =f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)

    =16k(k+1)(k+2)+12(k+1)(k+1+1)

    =16(k+1)(k+2)(k+3).

    ∴由(1)(2)可知當(dāng)n∈N*時(shí)等式都成立.

    二、證明不等式問題

    例2 已知n∈N*,

    求證:(1+2+3+…+n)·(1+12+13+…+1n)≥n2.

    證明 可結(jié)合不等關(guān)系:1+12+13+…+1n≥1+12(n>1)來證明,但注意要將奠基的起點(diǎn)后移,即在第一步證明中,不僅要證明n=1時(shí)原不等式成立,還要證明當(dāng)n=2時(shí),原不等式也成立.

    證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),原不等式顯然成立,

    當(dāng)n=2時(shí),不等式

    左邊=(1+2)×(1+12)=92=412,

    右邊=22=4,則左邊>右邊,

    ∴當(dāng)n=2時(shí),原不等式成立.

    (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k>1)時(shí),(1+2+3+…+k)·(1+12+13+…+1k)≥k2成立,則n=k+1時(shí),

    [1+2+3+…+k+(k+1)][1+12+13+…+1k+(1k+1)]

    =(1+2+3+…+k)(1+12+13+…+1k)+1+2+3+…+kk+1+(1+12+13+…+1k)(k+1)+1≥k2+k(k+1)2(k+1)+(1+12)(k+1)+1

    >k2+k2+32k+1=(k+1)2.

    所以當(dāng)n=k+1時(shí)原不等式也成立.

    由(1)和(2),可知原不等式對任何n∈N*都成立.

    三、證明整除性問題

    例3 證明: an+1+a+12n-1能被a2+a+1整除n∈N*.

    證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.

    (2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即ak+1+a+12k-1k∈N*能被a2+a+1整除.則當(dāng)n=k+1時(shí),

    ak+2+a+12k+1=ak+1a+a+12k-1a+12 =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-aa+12k-1

    =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-a

    =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1

    由于ak+1+a+12k-1能被a2+a+1整除,

    所以aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1能被a2+a+1整除

    即當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.

    根據(jù)(1)和(2),可知命題對任何n∈N*都成立.

    四、證明幾何問題

    例4 證明:任何一個正方形都可以分割成5個以上的任意正方形.

    證明 一個正方形分割成4個正方形是很容易的.由此猜想:若能把一個正方形分割成k個正

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