探究2016年高考中的恒成立問(wèn)題

朱海燕

縱覽近年來(lái)的各個(gè)省市的高考數(shù)學(xué)試卷，可以發(fā)現(xiàn)在試題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)恒成立問(wèn)題.與恒成立相關(guān)的題目一般出現(xiàn)在試卷的最后一題或倒數(shù)第二題，可以說(shuō)是整套試卷的壓軸之作.這類試題一般綜合性強(qiáng)，通常會(huì)結(jié)合函數(shù)、數(shù)列、不等式及導(dǎo)數(shù)等多個(gè)知識(shí)進(jìn)行考察，同時(shí)這類題目對(duì)學(xué)生的能力也是一種挑戰(zhàn)，這類題目通常會(huì)考查學(xué)生分析能力、推理能力、計(jì)算能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，在高考中這種題往往會(huì)拉開考生的成績(jī)差距.在本文中，筆者結(jié)合自己多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就2016年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的幾道與恒成立相關(guān)的試題展開分析，以供讀者參考.

一、考查方式

對(duì)于恒成立問(wèn)題的考查主要有兩種方式：

1.證明某個(gè)等式或不等式恒成立；

2.已知某個(gè)等式或不等式恒成立，求解其中的參數(shù)的取值或取值范圍.

二、實(shí)戰(zhàn)演練

例1 （2016年山東理科，20）已知f（x）=a（x-lnx）+2x-1x2，a∈R.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明f（x）>f ′（x）+32對(duì)于任意的x∈[1，2]成立.

解析 （Ⅰ）（1）由題目中的函數(shù)知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=a-ax-2x2+2x3=（ax2-2）（x-1）x3.

當(dāng)a≤0時(shí)，若x∈（0，1），f ′（x）>0，

，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

x∈（1，+∞），f ′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.（2）當(dāng)a>0時(shí)，f ′（x）=a（x-1）（x+2a）（x-2a）

x3.

若01，所以當(dāng)x∈（0，1）或（2a，+∞）時(shí)，f ′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（1，2a）時(shí)，f ′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

若a=2時(shí)，2a=1，f ′（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

若a>2，則0<2a<1，所以當(dāng)x∈（0，2a）或（1，+∞）時(shí)，f ′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（2a，1）時(shí)，f ′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.

綜上所述：

當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0

當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2a）和（1，+∞）上單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在（2a，1）上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1時(shí)，f（x）-f′（x）=x-lnx+2x-1x2-（1-1x-2x2+2x3）=x-lnx+3x+1x2-2x3-1，x∈[1，2]，

令g（x）=x-lnx，h（x）=3x+1x2-2x3-1，則f（x）-f ′（x）=g（x）+h（x），由g′（x）=x-1x≥0可得g（x）≥g（1）=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；

又h′（x）=-3x2-2x+6x4，設(shè)φ（x）=-3x2-2x+6，則φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，且φ（1）=1，

φ（2）=-10，所以在[1，2]上存在x0使得x∈（1，x0）時(shí)，φ（x）>0，x∈（x0，2）時(shí)，φ（x）<0，所以函數(shù)h（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增；在（x0，2）上單調(diào)遞減，由于h（1）=1，h（2）=12，因此h（x）≥h（2）=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2取等號(hào)，所以f（x）-f ′（x）>g（1）+h（2）=32，即f（x）>f ′（x）+32對(duì)于任意的x∈[1，2]恒成立.

點(diǎn)撥 這道題第一問(wèn)考察了利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性，需要用到分類討論的思想，第二問(wèn)是恒成立問(wèn)題，需要考生結(jié)合原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推理.

例2 （2016年全國(guó)卷理科，24）已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a

（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x-1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍.

解析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|2x-2|+2.

解不等式|2x-2|+2≤6，得-1≤x≤3.

因此，f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.

（Ⅱ）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a，當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3等價(jià)于|1-a|+a≥3.

當(dāng)a≤1時(shí)，|1-a|+a≥3等價(jià)于1-a+a≥3，無(wú)解；

當(dāng)a>1時(shí)，|1-a|+a≥3等價(jià)于a-1+a≥3，解得a≥2；

所以a的取值范圍是[2，+∞）.

點(diǎn)評(píng) （Ⅰ）利用等價(jià)不等式|h（x）|≤a（a>0）-a≤h（x）≤a，進(jìn)而通過(guò)解不等式可求得；（Ⅱ）根據(jù)條件可首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解f（x）+g（x）的最小值，此最值可利用絕對(duì)值三角不等式求得，再根據(jù)恒成立的意義建立簡(jiǎn)單的關(guān)于a的不等式求解即可.

例3 （2016年江蘇數(shù)學(xué)Ⅰ，19）已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）.

（1）設(shè)a=2，b=12.

①求方程f（x）=2的根；

②若對(duì)于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；

（2）若01，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值.

解析 （1）①f（x）=2x+（12）x，由f（x）=2可得2x+12x=2，則（2x）2-2×2x+1=0，即（2x-1）2=0，則2x=1，x=0；

②由題意得22x+122x≥m（2x+12x）-6恒成立，

令t=2x+12x，則由2x>0可得t≥22x×12x=2，

此時(shí)t2-2≥mt-6恒成立，即m≤

t2+4t=t+4t恒成立.

∵t≥2時(shí)，t+

4t≥2t·4t=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，因此實(shí)數(shù)m的最大值為4.

（2）g（x）=f（x）-2=ax+bx-2，g′（x）=axlna+bxlnb=axlnb[

lnalnb+（ba）x]，

由01可得ba>1，令h（x）=（ba）x+lnalnb，則h（x）遞增，

而lna<0，lnb>0，因此x0=logb/a（-lnalnb）時(shí)h（x0）=0，

因此x∈（-∞，x0）時(shí)，h（x）<0，axlnb>0，則g′（x）<0；

x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）>0，axlnb>0，則

g′（x）>0；

則g（x）在（-∞，x0）遞減，（x0，+∞）遞增，因此g（x）最小值為g（x0），

①若g（x0）<0，xaloga2=2，bx>0，則g（x）>0；

x>logb2時(shí)，ax>0，bx>blogb2=2，則g（x）>0；

因此x10，因此g（x）在（x1，x0）有零點(diǎn)，x2>logb2且x2>x0時(shí)，g（x2）>0，因此g（x）在（x0，x2）有零點(diǎn)，則g（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾；

②若g（x0）≥0，由函數(shù)g（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，g（x）最小值為g（x0），可得g（x0）=0，

由g（0）=a0+b0-2=0，因此x0=0，

因?yàn)?/p>

logb/a（-lnalnb）=0，

即-lnalnb=1，

即lna+lnb=0，

因此ln（ab）=0，則ab=1.

試題分析 這道題中，求方程

fx=2的根