2016年高考四川卷解析幾何壓軸題的五種求解視角

蔡勇全

一、試題再現(xiàn)與評(píng)價(jià)

已知橢圓E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P（3，12）在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C、D，求證：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

這道題目是2016年高考四川卷文科第20題，屬于解析幾何壓軸題，筆者有幸參與了本次試卷評(píng)閱工作，從試卷布局、試題難度以及評(píng)閱結(jié)果等情況分析來(lái)看，本題是整套試卷的壓軸題之一，尤其是第（Ⅱ）小問(wèn)，放棄不做、胡亂書寫以及找不到解題突破口而導(dǎo)致得分率較低的現(xiàn)象比比皆是，究其原因，在于該小問(wèn)綜合性強(qiáng)，解法靈活多樣，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，要求的運(yùn)算能力較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題技能提出了較高的要求.

二、多視角求解

（Ⅰ）由題意可知，a=2b.又橢圓E過(guò)點(diǎn)P（3，12），則有34b2+14b2=1，解得b2=1，所以橢圓E的方程為x24+y2=1.

下面從五種視角探討本題第（Ⅱ）小問(wèn)的求解策略，供大家參考.

視角一 借助兩點(diǎn)間距離公式及韋達(dá)定理

設(shè)直線l的方程為y=12x+m（m≠0），并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由題意知x1≠x2.

聯(lián)立方程組x24+y2=1，y=12x+m，

化簡(jiǎn)并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，且由Δ>0可以得到-2

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-m，m2），所以直線OM的方程為y=-12x，

聯(lián)立方程組x24+y2=1，y=-12x解得點(diǎn)C（-2，22），D（2，-22），因此可得到|MC|·|MD|=（-m+2）2+（m2-22）2×

（-m-2）2+（m2+22）2=52（2-m）×52（2+m）=54（2-m2）.又因|MA|=|MB|，y1=12x1+m，y2=12x2+m，y1-y2=12（x1-x2），所以可以得到|MA|·|MB|=14|AB|2=

14[（x1-x2）2+（y1-y2）2]2=14[（x1-x2）2+

14（x1-x2）2]=516[（x1+x2）2-4x1x2]=

516[（-2m）2-4（2m2-2）]=54×（2-m2），因此，|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

評(píng)注 判別式與韋達(dá)定理雖是代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，但卻是求解解析幾何問(wèn)題的利器與法寶，尤其是在解答直線與圓錐曲線相交問(wèn)題時(shí)，其作用往往不可小覷.

視角二 借助點(diǎn)差法、韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2，所以x214+y21=1，x224+y22=1，兩式相減得，（x1-x2）（x1+x2）4+（y1-y2）（y1+y2）=0，即（x1-x2）x04+（y1-y2）y0=0，所以y0x0=-x1-x24（y1-y2）=-12，即x0=-2y0，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2y0，y0），所以直線l的方程為y-y0=12（x+2y0），即y=12x+2y0，直線OM的方程為y=-12x.由方程組x24+y2=1，y=12x+2y0可得x2+4y0x+8y20-2=0，x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根，由Δ>0可得-2<2y0<2，x1+x2=-4y0，x1x2=8y20-2.又因?yàn)閨MA|=|MB|，y1=12x1+2y0，y2=12x2+2y0，y1-y2=12（x1-x2），所以|MA|·|MB|=14|AB|2=14[（x1-x2）2+（y1-y2）2]2=14[（x1-x2）2+14（x1-x2）2]=516[（x1+x2）2-4x1x2]=516[（-4y0）2-4（8y20-2）]=52（1-2y20）.

由方程組x24+y2=1，y=-12x可得C（-2，22），D（2，-22），因此可得|MC|·|MD|=（-2y0+2）2+（y0-22）2·

（-2y0-2）2+（y0+22）2=52（2-2y0）×52（2+2y0）=52（1-2y20），故|MA|·

|MB|=|MC|·|MD|.

評(píng)注 利用點(diǎn)差法直接找到了點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，避免了出現(xiàn)視角一中先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、再代入直線l的方程求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的運(yùn)算過(guò)程，顯得簡(jiǎn)捷高效.

視角三 借助向量的兩種運(yùn)算及韋達(dá)定理

設(shè)直線l的方程為y=12x+m（m≠0），并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2.聯(lián)立方程組x24+y2=1，y=12x+m，化簡(jiǎn)并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-m，m2），因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在直線l上，所以有y1=12x1+m，y2=12x2+m，y1y2=14x1x2+m2（x1+x2）+m2=12m2-12，y1+y2=12（x1+x2）+2m=m.又因MA=（x1+m，y1-m2），MB=（x2+m，y2-m2）， 所以有MA·MB=|MA|·|MB|cos180°=-|MA||MB|=（x1+m）（x2+m）+（y1-m2） （y2-m2）=x1x2+m（x1+x2）+y1y2-m2（y1+y2）+5m24=54m2-52.

因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為（-m，m2），所以直線OM的方程為y=-12x，由方程組

x24+y2=1，y=-12x解得點(diǎn)C（-2，22），D（2，-22），因?yàn)镸C=（-2+m，22-m2），

MD=（2+m，-22-m2），

所以MC·MD=|MC||MD|cos180°=-|MC||MD|=（2+m）（-2+m）+（-22-m2）（22-m2）=5m24-52，因此可得-|MA||MB|=-|MC||MD|，故|MA||MB|=|MC||MD|

.

評(píng)注 引入向量并借用其兩種運(yùn)算形式，可以使幾何問(wèn)題代數(shù)化，達(dá)到事半功倍的解題效果.

視角四 借助直線參數(shù)方程、韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式

設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），直線l的參數(shù)方程為x=x0+255t，y=y0+55t，t為參數(shù).將直線l的參數(shù)方程代入橢圓E的方程并整理得到8t2+45（x0+2y0）t+5x20+20y20-20=0，則Δ=80（x0+2y0）2-4×8（5x20+20y20-20）>0 ，即有（x0-2y0）2-8<0，且t1+t2=-52（x0+2y0），t1t2=5x20+20y20-208

.由于M是線段AB的中點(diǎn)，所以t1+t2=0，故x0=-2y0，代入（x0-2y0）2-8<0可得-2<2y0<2，因此|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=|5x20+20y20-208|=|5（-2y0）2+20y20-208|=52（1-2y20）.

又直線OM的方程為y=-12x，由方程組x24+y2=1，y=-12x可得C（-2，22），D（2，-22），又因M（-2y0，y0），故

|MC|·|MD|=（-2y0+2）2+（y0-22）2×（-2y0-2）2+（y0+22）2=

52（2-2y0）×52（2+2y0）=52（1-2y20），所以|MA|·|MB|=

|MC|·|MD|.

評(píng)注 利用直線或曲線的參數(shù)方程解決解析幾何問(wèn)題，可以極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算、減少運(yùn)算量，達(dá)到快速解題的效果.

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若A（x1，y1），B（x2，y2）為l：y=kx+b上不同兩點(diǎn)，則|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2[1+（y1-y2x1-x2）2]=1+k2|x1-x2|.借用這一知識(shí)，也能實(shí)現(xiàn)本題的如下快速解答：

視角五 借助弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理

設(shè)直線l的方程為y=12x+m（m≠0），并設(shè)A（x1，y1），

B（x2，y2），M（x0，y0），由題意知x1≠x2.

聯(lián)立方程組x24+y2=1，y=12x+m.

化簡(jiǎn)并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1與x2為此方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，且由Δ>0可以得到-2

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-m，m2），所以直線OM的方程為y=-12x，

由方程組x24+y2=1，y=-12x

可得C（-2，22），D（2，-22）.

首先，|MA|·|MB|=1+（12）2|x1-（-m）|·1+（12）2|x2-（-m）|=54|x1+m|·|x2+m|=54|x1x2+m（x1+x2）+m2|=54|2m2-2+m（-2m）+m2|=54|m2-2|=54（2-m2）.

其次，|MC|·|MD|=1+

（-12）2|

-2-m|·1+

（-12）2|2-（-m）|=54|m-2|·|m+2|=54|m2-2|=54（2-m2），所以

|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

評(píng)注 公式|AB|=1+k2·|x1-x2|原本是用于計(jì)算直線與曲線相交時(shí)所得弦的長(zhǎng)度，但本題

|MA|、|MB|、|MC|、|MD|都不是弦，卻巧妙地應(yīng)用了該公式，其實(shí)是抓住了該公式可用于計(jì)算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)間的距離這一本質(zhì)內(nèi)涵.

三、解題啟示

眾所周知，運(yùn)算量大是解析幾何問(wèn)題的突出特點(diǎn)，而運(yùn)算量大的根源在于此類題目必然出現(xiàn)直線與曲線或曲線與曲線具有某種位置關(guān)系這一條件，但從如上案例的多種求解思路不難看出，抓住代數(shù)知識(shí)中的韋達(dá)定理應(yīng)是求解此類問(wèn)題的必經(jīng)之路，同時(shí)抓住幾何內(nèi)容中的參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式以及實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何相互轉(zhuǎn)化的向量工具等知識(shí)，是共同構(gòu)成簡(jiǎn)化運(yùn)算、高效解題的不二法門，因此，在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)把這些知識(shí)、方法的掌握真正落到實(shí)處，為提高解題的有效性提供必要的保障.

（收稿日期：2016-07-12）