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    對(duì)稱不等式的解題技巧探究

    2017-01-12 06:05:17上海復(fù)旦附中高三梅靈捷指導(dǎo)老師汪杰良
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年17期
    關(guān)鍵詞:變?cè)?/a>原式對(duì)稱性

    ☉上海復(fù)旦附中高三(4)班 梅靈捷(指導(dǎo)老師:汪杰良)

    對(duì)稱不等式的解題技巧探究

    ☉上海復(fù)旦附中高三(4)班 梅靈捷(指導(dǎo)老師:汪杰良)

    在不等式中,變量擁有著兩兩之間的對(duì)稱性或輪換性,統(tǒng)稱為對(duì)稱性不等式.破壞對(duì)稱性是指通過(guò)規(guī)定順序、指定最值等方式,打破不等式原先固有的對(duì)稱性,從而達(dá)到簡(jiǎn)化不等式或方便估計(jì)的思想方法.該思想在對(duì)稱的代數(shù)不等式和組合不等式上較為有用.

    證明:不妨令c=min{a,b,c},

    說(shuō)明:無(wú)限趨近于等號(hào)的條件是兩邊相等,一邊趨向于零.也就是說(shuō),有兩條最長(zhǎng)邊.這也為我們的估計(jì)增加了兩種可以套用的不等式.當(dāng)遇到不對(duì)稱的取等條件時(shí),我們可以使用破壞對(duì)稱性的思想.通過(guò)變?cè)g的部分替換,可以將表達(dá)式內(nèi)界決定上界的那一部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化,以達(dá)到使估計(jì)精確的目的.

    例2 集合S?Z+,|S|=n,對(duì)于集合A,B,其中A,B?S且的最小值[2]

    解析:令S的元素為a1≤a2≤…≤an.

    Tm={ai|1≤i≤m,i∈N}有2|Tm|-1=2m-1個(gè)非空子集,且每?jī)蓚€(gè)非空子集的元素和不同?元素和最大的子集Tm元素和為

    以下對(duì)m使用數(shù)學(xué)歸納法.

    (2)假設(shè)m=k成立,令m=k+1.

    當(dāng)且僅當(dāng)ai=2i-1時(shí)取等號(hào).

    說(shuō)明:我們并不能控制S指定一個(gè)元素的范圍,因?yàn)樵氐呐帕羞h(yuǎn)不如它們的和稠密.因而需要通過(guò)對(duì)一定個(gè)數(shù)元素的和進(jìn)行估計(jì).關(guān)鍵在于一定個(gè)數(shù)元素的和中最小的那一個(gè)如何確定.

    注意到在解答中多次出現(xiàn)了將ai與2i-1進(jìn)行比較的情況,這是由ai之間的順序保證的.將兩個(gè)在取等條件下相等的數(shù)作差,可以將差放大,估計(jì)精細(xì).

    例3 (2013年土耳其數(shù)學(xué)奧林匹克第二輪)求m的最大值,使得?a,b,c∈R+,a3+b3+c3-3abc≥m(ab2+bc2+ ca2-3abc).

    分析:首先可以看出,a,b,c的地位是不同的,這也與原式右邊是輪換非對(duì)稱式相符.因而我們可以破壞對(duì)稱性,使得限制m的范圍時(shí)等式兩邊都不為零.注意原式右側(cè)是輪換非對(duì)稱式,只能取定最大或最小或中間值,不能固定順序.

    解:當(dāng)a=b=c時(shí)一定成立.當(dāng)a,b,c不全相等時(shí),a3+b3+ c3-3abc,ab2+bc2+ca2-3abc>0.

    原題轉(zhuǎn)化為求滿足?a,b,c∈R+,m≤時(shí)m的最大值.

    不妨令a=min{a,b,c},以下進(jìn)行分類討論:

    (1)當(dāng)b≤c(a≤b≤c)時(shí),令b-a=x,c-b=y(x,y≥0)?其中A,B,C,D是與a無(wú)關(guān)的正常數(shù)因而T的極小值在a→0或a→+∞時(shí)取到.

    (2)當(dāng)b≥c(a≤c≤b)時(shí),(ab2+bc2+ca2-3abc)-(ac2+ cb2+ba2-3acb)=(a-b)(b-c)(c-a)≤0,即m(ab2+bc2+ca2-3abc)≤m(ac2+cb2+ba2-3acb).

    說(shuō)明:在一開始,本題通過(guò)孤立變量m,將恒成立問(wèn)題變?yōu)榍笞钪祮?wèn)題,同時(shí)減少了一個(gè)變量,簡(jiǎn)化了運(yùn)算.實(shí)際上,將T趨向?yàn)榱慊驘o(wú)窮大時(shí),運(yùn)用了調(diào)整的思想.

    本題通過(guò)將破壞對(duì)稱性后兩種截然相反的對(duì)偶式進(jìn)行比較,從而達(dá)到了化歸的效果,既契合了原式右側(cè)的輪換對(duì)稱性,又縮小了篇幅.

    破壞對(duì)稱性思想在對(duì)稱不等式證明中具有著重要的作用.破壞對(duì)稱性思想可以在如下情況時(shí)使用:①有不對(duì)稱的取等條件的;②內(nèi)界需要進(jìn)行變?cè)鎿Q的;③需要加強(qiáng)較弱估計(jì)的;④需要提煉最有價(jià)值的關(guān)系式的;⑤需要利用某些調(diào)整法的;⑥利用對(duì)偶式的差別進(jìn)行化歸的.通過(guò)掌握破壞對(duì)稱性思想,可以解決大量使用普通方法無(wú)法完成的對(duì)稱不等式.

    1.蘇勇,熊斌.不等式的解題方法與技巧[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2005.

    2.Yong-Gao Chen.Distinct subset sums and an inequality for convex functions[J].Proc.Amer.Math.Soc. 128(2000).

    3.“Turkey National Olympiad Second Round 2013· Art of Problem Solving”,[Online[·Available:http://www. artofproblemsolving.com/Forum/resources.php.c=174&cid= 95&year=2013.

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