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    對一道圓錐曲線問題的探究與拓展

    2017-01-16 02:19:14陜西省靖邊縣靖邊中學(xué)徐永強
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年17期
    關(guān)鍵詞:拋物線頂點定點

    ☉陜西省靖邊縣靖邊中學(xué) 徐永強

    對一道圓錐曲線問題的探究與拓展

    ☉陜西省靖邊縣靖邊中學(xué) 徐永強

    一、題目展示

    (Ⅰ)求橢圓C的標準方程.

    (Ⅱ)過橢圓C的右頂點A2作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點P,Q,試判斷直線PQ是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

    二、挖掘條件,分析解答

    此題屬解析幾何中經(jīng)常考查的熱點題型(定點、定值問題),其解題的方法體現(xiàn)了解析幾何解決問題的通性通法,其中第(Ⅰ)問用待定系數(shù)法,第(Ⅱ)問首先聯(lián)立方程,再用韋達定理,借助其他條件能很容易求解.

    解:(Ⅰ)依題知

    (Ⅱ)依題知,直線A2P與直線A2Q的斜率均存在且不為0,令P(x1,y1),Q(x2,y2).

    設(shè)lA2P:y=k(x-2),lA2Q消去y,得(4k2+3)x2-16k2x+4(4k2-3)=0.

    解之,得k2=1,此時直線PQ的方程為即此時直線PQ過點

    三、探求本質(zhì),推廣結(jié)論

    著名的數(shù)學(xué)之王、數(shù)學(xué)家蘇步青說過:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然”所以,當一道題目解答完后的反思尤為重要,解答題目本身是表象,推廣、提升才能真正理解出題人的意圖,才有助于學(xué)生走出題海無涯的困境,才能提高學(xué)生解題能力和效率.

    那么,上述問題能否推廣到所有的橢圓呢?答案是肯定的.

    證明:先證過右頂點的情況:

    令P(x1,y1),Q(x2,y2)

    依題設(shè):lA2P:y=k(x-a).消去y,得(a2k2+b2)x2-2a3k2x+(k2a4-a2b2)=0.

    由根與系數(shù)關(guān)系得

    同理,可證過左頂點的結(jié)論.

    (證法同上,略)

    上述結(jié)論在橢圓中成立,那么在其他圓錐曲線中成立嗎?

    四、聯(lián)想類比,延伸結(jié)論

    證明:同性質(zhì)1的證明過程.

    結(jié)論4:過拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點O作互相垂直的兩直線分別交拋物線于另一點P,Q,則直線PQ過定點(2p,0)?(p為拋物線焦點到準線的距離).

    證明:設(shè)直線直線PQ方程為x=ky+m,其交與拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y得y2-2pky-2pm= 0,

    即m=2p或m=0(舍).

    故直線PQ過定點(2p,0).

    結(jié)論5:過圓C:(x-m)2-(y-n)2=r2上任意一點A2作互相垂直的兩直線分別交圓于另一點P,Q,則直線PQ過定點(m,n)(m,n分別為圓心的橫縱坐標).證明略.

    五、結(jié)束語

    通過對上述結(jié)論的探究,我們進一步認識到橢圓、雙曲線、拋物線等曲線,除了自身存在一定的規(guī)律性,圓錐曲線之間也存在一定的規(guī)律性,正如著名數(shù)學(xué)家高斯所言:“數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性:它們極易從事實中歸納出來,但證明卻隱藏的極深.”所以這種規(guī)律性,需要我們用堅強的意志、良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)、挖掘.

    1.賀建勛,段雄偉.習(xí)題生成問題中培養(yǎng)學(xué)生的探究能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上),2015(11).

    2.鄭日鋒.求異 探源 啟迪——對一道高考試題的剖析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2015(10).

    3.臧殿高.圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)漫談[J].數(shù)學(xué)通報,2009(8).

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