根深才能葉茂
——基于一類(lèi)課本習(xí)題的探究

☉江蘇省宜興市第一中學(xué) 杜亞強(qiáng)

根深才能葉茂
——基于一類(lèi)課本習(xí)題的探究

☉江蘇省宜興市第一中學(xué) 杜亞強(qiáng)

數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在此過(guò)程中提高學(xué)生的思維水平，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.章建躍博士曾說(shuō)過(guò)“課本是一科之本，課堂教學(xué)應(yīng)‘以課本為本’”.的確，我們從事教學(xué)的主要工具——教材，里面有著取之不完、用之不盡的研究素材，筆者通過(guò)一類(lèi)課本習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)，取得了一些意想不到的結(jié)果，現(xiàn)把它寫(xiě)出來(lái)，供共同商討、研究、學(xué)習(xí)之用.

一、問(wèn)題的提出

蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（選修2-1）》上有這樣的幾道習(xí)題：

習(xí)題1：已知直線(xiàn)y=x-2與拋物線(xiàn)y2=2x相交于點(diǎn)A，B，求證：OA⊥OB.

習(xí)題2：已知直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)x2=2y交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求b的值（.該習(xí)題同時(shí)也出現(xiàn)在《選修1-1》P60上）

習(xí)題3：已知頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線(xiàn)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，斜邊長(zhǎng)是一條直角邊所在直線(xiàn)的方程是y=2x，求拋物線(xiàn)的方程.

這三道習(xí)題，分別是課本54頁(yè)、67頁(yè)的習(xí)題，其都涉及這樣一個(gè)事實(shí)：過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)有兩條互相垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于另外兩點(diǎn).教材上為數(shù)不多的例題習(xí)題中，竟然有3道習(xí)題涉及同一個(gè)模型，應(yīng)該引起教師學(xué)生的注意和重視.

章建躍博士說(shuō)過(guò)：“課本是使學(xué)生學(xué)做人做事的基本載體，脫離課本的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué).”高考試題中有相當(dāng)一部分試題是對(duì)“三基”的考查，雖然不大可能考查課本原題，但許多考題就是對(duì)課本原題的變形、改編或者是綜合，這些考題都能在課本上找到源頭.因此教學(xué)復(fù)習(xí)中，要重視課本，要重視例題習(xí)題的通性通法，適當(dāng)對(duì)例題習(xí)題進(jìn)行變式等，進(jìn)一步落實(shí)基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

二、問(wèn)題的探究

探究1：如圖1，已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0），過(guò)原點(diǎn)有兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)AB有什么特點(diǎn)？

圖1

解析：記直線(xiàn)OA的方程為y= kx（k≠0），聯(lián)立方程消去y得到k2x2=2px，從而有A以代替k，可以得到B（2pk2，-2pk）.當(dāng)k≠±1時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為所以直線(xiàn)AB的方程為即即即所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2p，0）.當(dāng)k=±1時(shí)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2p，直線(xiàn)AB也就過(guò)點(diǎn)（2p，0）了.所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

結(jié)論1：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另外兩點(diǎn)A，B，則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

探究2：如圖2，已知橢圓的左頂點(diǎn)為E，過(guò)E有兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)AB有什么特點(diǎn)？

圖2

解析：記直線(xiàn)EA的方程為y=k（x+a）（k≠0），聯(lián)立方程消去y得到（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a2（a2k2-b2）= 0，從而有A以代替k，可以得到B當(dāng)k≠±1時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為所以直線(xiàn)AB的方程為即所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)當(dāng)k=±1時(shí)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是直線(xiàn)AB也就過(guò)點(diǎn)了.所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)

結(jié)論2：過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)

探究3：如圖3，已知橢圓C的上頂點(diǎn)為E，過(guò)E有兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)AB有什么特點(diǎn)？

圖3

解析：與如上探究2的解析類(lèi)似，可以得到直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)

結(jié)論3：過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)

探究4：如圖4，已知雙曲線(xiàn)C的右頂點(diǎn)為E，過(guò)E有兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)于另外兩點(diǎn)A，B，試問(wèn)直線(xiàn)AB有什么特點(diǎn)？

圖4

解析：（限于篇幅本文僅考慮a>b的情形，左半支圖形略）記直線(xiàn)EA的方程為y=k（x-a）（k≠0），聯(lián)立方程消去y得到（a2k2-b2）x2-2a3k2x+a2（a2k2+b2）=0，從而有A以代替k，可以得到當(dāng)k≠±1時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為所以直線(xiàn)AB的方程為即所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)當(dāng)k=±1時(shí)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是直線(xiàn)AB也就過(guò)點(diǎn)了.故直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)

結(jié)論4：過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于另外兩點(diǎn)A，B，則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)

三、結(jié)論的拓展

細(xì)究如上探究過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，如上結(jié)論的逆命題也成立.

拓展1：給定拋物線(xiàn)y2=2px，過(guò)點(diǎn)（2p，0）任意作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另外兩點(diǎn)A，B，則線(xiàn)段AB對(duì)頂點(diǎn)張直角.

拓展2：給定橢圓過(guò)點(diǎn)任意作直線(xiàn)交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則線(xiàn)段AB對(duì)左頂點(diǎn)張直角.

拓展3：給定橢圓過(guò)點(diǎn)任意作直線(xiàn)交橢圓于另外兩點(diǎn)A，B，則線(xiàn)段AB對(duì)上頂點(diǎn)張直角.

拓展4：給定雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)任意作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于另外兩點(diǎn)A，B，則線(xiàn)段AB對(duì)右頂點(diǎn)張直角.

顯然，由對(duì)稱(chēng)性，還可以發(fā)現(xiàn)其他的定點(diǎn)和直角.

四、結(jié)論運(yùn)用——考題鏈接

例1（2013年安徽理）已知直線(xiàn)y=a交拋物線(xiàn)y=x2于A，B兩點(diǎn)，若該拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)_________.

解析：由結(jié)論1、拓展1及對(duì)稱(chēng)性，可以發(fā)現(xiàn)，直線(xiàn)y=1交拋物線(xiàn)得到的A，B兩點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)張直角，點(diǎn)C在頂點(diǎn)處就滿(mǎn)足要求.由題意，只要直線(xiàn)y=1向上移動(dòng)即可，所以a的取值范圍為a≥1.

例2（無(wú)錫市2015屆高三第一學(xué)期期末考試）如圖5，已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)l：y=kx+ m交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AP，AQ的斜率分別為k1，k2.

圖5

（1）略；

（2）若k1k2=-1時(shí)，證明：直線(xiàn)l：y=kx+m過(guò)定點(diǎn).

解析：k1k2=-1就表示直線(xiàn)AP，AQ互相垂直，由結(jié)論3，直線(xiàn)l必過(guò)定點(diǎn)

例3如圖6，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為Q為橢圓C的左頂點(diǎn).

圖6

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解析：（1）易得

學(xué)生在上述自主探究的過(guò)程中，不僅僅是完成一個(gè)個(gè)結(jié)論，更是寶貴的生命歷程，心智的參與過(guò)程，從而可使學(xué)生感知獲取知識(shí)的不易與艱難.整個(gè)探究過(guò)程中思維的調(diào)控、優(yōu)化，不僅是能力的提高，更是對(duì)學(xué)習(xí)信心的激發(fā).

五、教學(xué)反思

波利亞說(shuō)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的數(shù)學(xué)鄰域.”首先，學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性得到發(fā)揮.讓學(xué)生自己去研究問(wèn)題，獲得對(duì)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)，這本身就是獲取知識(shí)的心路歷程，要讓學(xué)生知曉探究知識(shí)的過(guò)程是艱辛的，但是獲取知識(shí)的結(jié)果是一件令人興奮的事，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的教學(xué)不一定非要在課堂講授，也可以是課外，教學(xué)和研究是相輔相成的，雙方是充滿(mǎn)互動(dòng)的.教師在教學(xué)中可以在這方面多研究，多下功夫，這對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)歷程都是有幫助的.正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后就會(huì)忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法，研究方法，推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地的發(fā)生作用，使他們受益終生.”通過(guò)研究性學(xué)習(xí)，使筆者深深意識(shí)到除做好日常教學(xué)外，可以多開(kāi)展這樣的研究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)中樂(lè)，樂(lè)中學(xué)，真正做到教學(xué)相長(zhǎng).

我們一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師備課時(shí)要善于思考，善于聯(lián)系，特別是課本上的習(xí)題，題目雖小，往往藏有大乾坤，通過(guò)教師的講解，為學(xué)生做好知識(shí)鋪墊，順理成章地引導(dǎo)學(xué)生，使之達(dá)到會(huì)一題、通一類(lèi)的目的，同時(shí)，也水到渠成地提升了教師本身的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng).