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    注重反思 不斷總結(jié)
    ——例談函數(shù)值域的求法

    2017-01-12 08:07:13江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校嚴(yán)敏娟
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年11期
    關(guān)鍵詞:根式值域式子

    ☉江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 嚴(yán)敏娟

    注重反思 不斷總結(jié)
    ——例談函數(shù)值域的求法

    ☉江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 嚴(yán)敏娟

    求函數(shù)值域是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn).能熟練掌握函數(shù)值域(最值)的求法就顯得十分重要.筆者旨在通過(guò)對(duì)典型例題的講解來(lái)歸納函數(shù)值域(最值)的求法,希望在我們求函數(shù)值域(最值)時(shí)有所幫助.

    一、判別式法求函數(shù)值域

    判別式法是高中求分式函數(shù)值域的常用方法.但由于對(duì)此方法的原理不很清楚,許多學(xué)生在解題過(guò)程中對(duì)一些條件不能正確的處理,從而導(dǎo)致解題出錯(cuò).通過(guò)下面例題說(shuō)明判別式法的原理,以及在使用過(guò)程中一些要注意的地方.

    解析:由已知得yx2+2xy-3y=x2-2x+3,即(y-1)x2+ 2(y+1)x-3(y+1)=0.

    當(dāng)y≠1時(shí),Δ=4(y+1)2+12(y+1)(y-1)=8(2y-1)(y+ 1)≥0,y≥或y≤-1.

    例2求函數(shù)(x∈R且x≠-3,x≠1)的值域.

    解析:由已知得yx2+2xy-3y=2x2+4x+1,即(y-2)x2+ 2(y-2)x-(3y+1)=0.

    (1)當(dāng)y=2時(shí),得-9=0,x不存在.因此,y=2不是函數(shù)值.

    (2)當(dāng)y≠2時(shí),Δ=4(y-2)(4y+1)≥0,有y>2或

    對(duì)于函數(shù)值域中遇到的問(wèn)題,只有清楚題目的來(lái)龍去脈,搞清原理,才能避免胡亂套用,從容應(yīng)對(duì)各種類型的變化.只有這樣,才算是真正掌握這種方法了.

    二、變量代換法求函數(shù)值域

    代換就是用一個(gè)廣義數(shù)學(xué)式(可以是字母、式子、函數(shù)等)在相等條件下代替一個(gè)數(shù)或廣義數(shù)學(xué)式,代換須保域,即代換前后的數(shù)學(xué)式取值范圍不變,代換將改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

    例3求函數(shù)的值域.

    解法一:(三角代換)由5≤x≤8,保持原函數(shù)中x的取值范圍,以一三角式代換變量x,設(shè)x=5+3sin2θ,θ∈得由θ-得故函數(shù)的值域?yàn)?/p>

    解法二:(雙變量代換)注意到與的關(guān)系,又可作雙變量代換,設(shè)則3u2+v2=9(u≥ 0,v≥0),y=u-v.如圖1,在直角坐標(biāo)系uOv中,由直線u-v-y=0與橢圓弧3u2+v2=9(u≥0,v≥0) 有公共點(diǎn)時(shí),y∈[-3,故所求函數(shù)值域?yàn)?/p>

    圖1

    變量代換關(guān)鍵要抓住式子的特征和結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

    三、構(gòu)造向量求函數(shù)的值域

    對(duì)于一類無(wú)理函數(shù)的值域問(wèn)題,若能靈活運(yùn)用向量知識(shí),則可非常順利地求解.避免心理上的畏懼感.下面從一個(gè)例題出發(fā),從向量的角度談?wù)勥@類無(wú)理函數(shù)的值域的處理,期望得到一個(gè)統(tǒng)一方法.

    例4求函數(shù)的值域.

    解析:因?yàn)闃?gòu)造向量a=(1,1),b=(s,t)=我們不妨把向量a,b的起點(diǎn)設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn),那么向量b的終點(diǎn)軌跡方程是2+t2=1,它的軌跡是s2+t2=1 s≥0,t≥0),在第一象限及坐標(biāo)軸上的圓?。ㄈ鐖D2).由則y=a·b=|a||b|cos=圖易知,當(dāng)向量a與向量b同向時(shí),a與b的夾角最小,ymax=當(dāng)向量b=(1,0)或b=(0,1)時(shí),向量a與向量b的夾角最大,ymin=a·b=2×1+0×1=1.所以

    圖2

    (2)兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)之和為正常數(shù),即(x+b)+(c-x)=k(k為大于0的常數(shù)).

    四、直接平方法求函數(shù)值域

    當(dāng)兩個(gè)根式的平方和為定值時(shí),可以采用直接平方,將變量集中到一個(gè)根式中.

    例5求函數(shù)的值域.

    分析:本題用三角換元的主要原因是兩個(gè)根式的平方和為定值,換個(gè)角度——直接平方就可以使變量都集中到一個(gè)根式中,即這樣就轉(zhuǎn)化為了我們熟知的一元二次函數(shù)值域的問(wèn)題(具體解法略),當(dāng)然用此法時(shí)事先要能控制y的符號(hào).

    五、通過(guò)有理化求函數(shù)值域

    若兩個(gè)根式求值域時(shí),直接平方無(wú)法達(dá)到升冪的效果,可以考慮對(duì)函數(shù)有理化.

    例6求函數(shù)的值域.

    分析:本題直接平方不能使變量都集中在根號(hào)中,也無(wú)法通過(guò)以上的手段達(dá)到升冪的效果,此時(shí)就從函數(shù)的性質(zhì)角度思考,有理化后可直觀發(fā)現(xiàn)此函數(shù)有單調(diào)性在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),再求定義域,根據(jù)單調(diào)性解決.

    六、數(shù)形結(jié)合或式子的幾何意義求函數(shù)值域

    這類求解的式子具有明顯的幾何意義或特定的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)函數(shù)圖像、性質(zhì)能較容易得出值域(最值)的簡(jiǎn)單函數(shù).

    例7已知p(x,y)是圓x2+y2=4上的點(diǎn),試求t=x2+y2-3xy的值域.

    分析:在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過(guò)sin2α+cos2α=1,注意到x2+y2=4可變形為sinα,α∈[0,2π),則t=4-3×2cosα×2sinα=4-6sin2α.又2α∈[0,4π),即sin2α∈[-1,1],故t∈[-2,10].

    例8求函數(shù)的值域.

    分析:看到該函數(shù)的形式,我們可想到已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式將原函數(shù)視為定點(diǎn)(2,3)到動(dòng)點(diǎn)(cosx,sinx)的斜率,又知?jiǎng)狱c(diǎn)(cosx,sinx)滿足單位圓的方程,從而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(2,3)到單位圓連線的斜率問(wèn)題,作出圖形(如圖3),觀察易知最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得.設(shè)切線方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k= 0,從由于原點(diǎn)(0,0)到切線的距離等于半徑1,則有1=解得所以y∈

    點(diǎn)評(píng):本題從函數(shù)本身的形式入手,引入直線的斜率,結(jié)合圖形,從而使問(wèn)題得到巧解.

    圖3

    七、通過(guò)線性規(guī)劃求函數(shù)值域

    例8求函數(shù)y=的值域.

    解析:(數(shù)形結(jié)合法)由x∈[-3,1],令u=則在平面直角坐標(biāo)系uOv中,作出圓弧u2+v2=4(u≥0,v≥0)和直線y= u+v,(u≥0,v≥0),如圖4所示,故得最大值為最小值為2.

    通過(guò)教學(xué)思想方法的運(yùn)用,突出了函數(shù)的一個(gè)性質(zhì),值域,讓學(xué)生領(lǐng)悟了函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.解題教學(xué)不應(yīng)重視一招一式,而應(yīng)注重方法的自然性、普適性,以及解題后的反思、提煉.因此,解題教學(xué)中,教師的主要職能在于怎樣幫助學(xué)生做好解題后的反思,充分挖掘例題本身的功能,做到“授之以漁”.特別是解題后在知識(shí)方法方面進(jìn)行分析、比較、反思、提煉的過(guò)程,使這個(gè)例題的解題思維成為一種能力,而并不是只注重這個(gè)題的步驟是什么,這個(gè)思維的突破要是自然的,有普適性,最后讓這些解題的思維方法、意識(shí)留在學(xué)生的腦海中,這樣的例題教學(xué)才是有效的.

    圖4

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