一道高考題的解法賞析與背景探究

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 陳寶霞

一道高考題的解法賞析與背景探究

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 陳寶霞

2016年全國(guó)Ⅰ卷試題，相較于前幾年試題的難度而言，難度更大一些.有很多題目設(shè)計(jì)的都很有新意且意味深長(zhǎng)，筆者以今年全國(guó)Ⅰ卷文科的第20題為例，試圖給大家展示一下出題人的思路及該問題的設(shè)計(jì)背景.如有不足之處，歡迎大家指正.

一、試題呈現(xiàn)

題目在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px（p>0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交拋物線C于點(diǎn)H.

（Ⅱ）除H以外，直線MH與拋物線C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由.

二、解法賞析

解法1：（Ⅰ）由已知得M（0，t），P又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故ON的方程為代入y2= 2px，整理得px2-2t2x=0，解得x1=0因此H所以N為OH的中點(diǎn)，即

（Ⅱ）直線MH與拋物線C除H以外沒有其他公共點(diǎn).理由如下：

所以除H以外，直線MH與拋物線C沒有其他公共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)解法充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法思想，凸顯了解析幾何的解析味道，是學(xué)生必須掌握的方法，這個(gè)解法還從代數(shù)的角度證明了直線MH是拋物線過點(diǎn)H的切線.

解法2：（Ⅰ）同法一.

（Ⅱ）如圖1，作HH1垂直于準(zhǔn)線x=-，垂足為H1，交y軸于點(diǎn)Q，由（Ⅰ）知△H1QM≌△FOM，從而∠H1MQ=∠FMQ，H1，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，由|HF|=|HH1|，|FM|=|H1M|，得HM是線段H1F的垂直平分線.

圖1

設(shè)直線MH上除H以外，與拋物線C還有一個(gè)公共點(diǎn)I，作準(zhǔn)線的垂線II1，垂足為I1，連接IH1，IF.因?yàn)镮是H1F垂直平分線上的點(diǎn)，所以|IH1|=|IF|.又I是拋物線y2=2px上的點(diǎn)，所以|II1|=|IF|，所以|IH1|=|II1|，與△II1H1為直角三角形矛盾，所以除H以外直線MH與拋物線C沒有其他公共點(diǎn)，即直線MH為拋物線的切線.

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)解法緊扣拋物線的定義及平面幾何的相關(guān)知識(shí)，回歸本質(zhì)，凸顯了解析幾何的幾何味道.從解答過程而言，該題并不復(fù)雜，最大的難點(diǎn)在于涉及的點(diǎn)太多，且所有的量均是未知的（除了原點(diǎn)）.該題與我們平時(shí)練習(xí)的“套路”相去太遠(yuǎn)，學(xué)生感覺到陌生，再加上在前面消耗的時(shí)間過多，已經(jīng)沒有精力能平靜地面對(duì)該問題.

三、尋根探源

本題來源于《人教A版數(shù)學(xué)選修1-1》56頁：“信息技術(shù)應(yīng)用——用‘幾何畫板’畫圖，如圖2，F(xiàn)是定點(diǎn)，l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，H是l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M，拖動(dòng)點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡.你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？”

圖2

教科書設(shè)置“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，給出了拋物線生成的過程.通過“幾何畫板”的制作，學(xué)生可以從作法中了解曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，明確拋物線的定義，用幾何畫板作拋物線的方法，依據(jù)就是這個(gè)欄目.但該欄目的作用絕不是僅此而已，它還給我們留下了如下寬廣的探究空間.

結(jié)論1：點(diǎn)M的軌跡是拋物線C，則與之相關(guān)的垂線m與拋物線C相切，點(diǎn)M為切點(diǎn)，如圖3.

圖3

可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度來證明垂直平分線m是拋物線過點(diǎn)M的切線，其證法與這道高考題的證法完全相同，具體證法略.

圖4

結(jié)論2：如圖4，若直線m與x軸相交于點(diǎn)T，則四邊形MHTF為菱形.

簡(jiǎn)證：設(shè)M則H再由F得直線m的方程為即

四、拓展延伸

通過解答過程，該題的本質(zhì)是討論過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的切線，以及對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦相關(guān)的性質(zhì)，可以得到相應(yīng)的一系列性質(zhì)：

引理已知拋物線y2=2px（p>0），則過拋物線上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程為y0y=p（x+x0） ①.

證明：根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，對(duì)拋物線方程求導(dǎo)可得則在點(diǎn)M（x0，y0）處切線的斜率為直線①過點(diǎn)M（x0，y0）且斜率為所以結(jié)論成立.該證明過程涉及高等數(shù)學(xué)知識(shí)，也可聯(lián)立直線①與拋物線的方程，通過驗(yàn)證Δ=0說明結(jié)論.

定理1已知拋物線y2=2px（p>0），過拋物線外一點(diǎn)M（x0，y0）的切點(diǎn)弦方程為l：y0y=p（x+x0），并稱該直線為關(guān)于點(diǎn)M的切點(diǎn)弦方程.

證明：易知過拋物線外一點(diǎn)M作拋物線的切線一定有兩條，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為A，B.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），根據(jù)引理，知直線MA的方程為y1y=p（x+x1）.

同理設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，y2），則直線MB的方程為y2y=p（x+x2）.

因?yàn)辄c(diǎn)M∈直線MA，所以y1y0=p（x0+x1） ②成立.

同理，y2y0=p（x0+x2） ③也成立.構(gòu)造直線l：y0y=p（x+ x0），由②、③式可知，點(diǎn)A，B∈l，再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線l即為對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦.

如果以此為背景，回到原題第（Ⅱ）問，我們并不需要知道點(diǎn)H的坐標(biāo)，通過驗(yàn)證ON的斜率即可獲得結(jié)果.

改寫解答如下：可知M（0，t），根據(jù)定理1，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦為lM：ty=px，該直線顯然過原點(diǎn)O，由第（Ⅰ）問可知即直線ON為關(guān)于點(diǎn)M的切點(diǎn)弦，故點(diǎn)H為切點(diǎn).

再聯(lián)系第（Ⅰ）問，可知點(diǎn)N是線段OH的中點(diǎn)，直線MN與對(duì)稱軸平行.是否所有的切點(diǎn)弦都有這樣的特性呢？如果有，根據(jù)切點(diǎn)弦的唯一性，直接可得答案.

定理2過點(diǎn)M（x0，y0）作拋物線y2=2px（p>0）的切線，設(shè)兩切點(diǎn)為A，B，則有AB的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為y0，即與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)一樣，即直線MN與拋物線的對(duì)稱軸平行.

證明：（點(diǎn)差法）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）滿足拋物線方程，得=2px1.設(shè)點(diǎn)B（x2，y2）也滿足拋物線方程，得=2px2.兩式相減得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），化簡(jiǎn)為即有yN=

再次改寫解答如下：已知點(diǎn)O為切點(diǎn)，由第（Ⅰ）問N是線段OH的中點(diǎn)，根據(jù)定理2及切點(diǎn)弦的唯一性，直線ON為關(guān)于點(diǎn)M的切點(diǎn)弦，故點(diǎn)H為切點(diǎn).

根據(jù)題干可知點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，這是否也是一般結(jié)論呢？

定理3過點(diǎn)M（x0，y0）作拋物線y2=2px（p>0）的切線，設(shè)兩切點(diǎn)為A，B，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，則MN的中點(diǎn)P落在拋物線上.

證明：由定理2，知yN=y0，再根據(jù)定理1，得直線AB的方程為：y0y=p（x+x0），可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為即有點(diǎn)N的坐標(biāo)為再根據(jù)點(diǎn)M（x0，y0）可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為所以點(diǎn)P在拋物線上.

五、教學(xué)啟示

本題涉及切點(diǎn)弦相關(guān)的知識(shí)，如果學(xué)生熟悉該背景，入手會(huì)更容易，在解答的過程中會(huì)更有方向感；即使學(xué)生并不知道相關(guān)的背景知識(shí)，學(xué)生依然能解答此題.所以此題的設(shè)計(jì)是很巧妙的，可以說是深入淺出.在以后的教學(xué)中，首先要教會(huì)學(xué)生穩(wěn)定心態(tài)，即使讀不懂該題，利用“相關(guān)點(diǎn)”法也能獲得一些分?jǐn)?shù)：即設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用題目條件寫出相關(guān)的點(diǎn)P與點(diǎn)N，再到下一層“相關(guān)點(diǎn)”，求出點(diǎn)H的坐標(biāo).告誡學(xué)生對(duì)于難題，我們沒必要獲得完整的解答，在自己的能力下，做到“最好”就足夠了.其次，在平時(shí)的教學(xué)中，在講解“套路”的基礎(chǔ)上，給學(xué)生介紹一些圓錐曲線相關(guān)的幾何性質(zhì)，不一定要求都要掌握，但要做到知道.