高考立體幾何試題的特點分析

☉江蘇省海安縣立發(fā)中學 季小冬

高考立體幾何試題的特點分析

☉江蘇省海安縣立發(fā)中學 季小冬

立體幾何是高中數(shù)學的主干內(nèi)容，在高考命題中常以一大一小兩種題型出現(xiàn).小題通?？疾榭臻g平行或垂直關(guān)系的判定、簡單幾何體表面積或體積的求解、三視圖.大題通?？疾榭臻g平行或垂直關(guān)系的證明、空間角或空間距離問題的求解.下面就這些考題的命題視角舉例剖析.

一、以定理及其基本圖形為基礎(chǔ)

以空間位置關(guān)系中的平行和垂直為例，平行（垂直）關(guān)系主要包括線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）.應(yīng)用中要把握每種關(guān)系應(yīng)具備的條件以及三者之間的相互推導(dǎo).

例1已知直線l、m，平面α，且m?α，那么“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：本題考查了線線平行與線面平行之間的關(guān)系，線與平面平行應(yīng)具備的條件是已知線不在平面內(nèi)，而且與已知面內(nèi)的某條直線平行.

已知條件中m?α，且l∥m，但并沒有說明直線l不在平面α內(nèi)，所以不能保證l∥α.

另外，l∥α，由線面平行的性質(zhì)，經(jīng)過l的平面且與α相交所得交線與l平行，但m不一定為交線，所以也不能得出l∥m.

故正確選項為D.

例2已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（ ）.

A.α∥β，且l∥β

B.α⊥β，且l⊥β

C.α與β相交，且交線垂直于l

D.α與β相交，且交線平行于l

解析：因為m，n為異面直線且m⊥平面α，n⊥平面β，所以α與β相交.為了體現(xiàn)題目條件的線面關(guān)系，我們可構(gòu)造空間圖形（如圖1）：

圖1

因為直線m⊥平面α，則m與α內(nèi)的直線或與α平行的直線均垂直；

同理直線n⊥平面β，則n與β內(nèi)的直線或與β平行的直線均垂直.

所以直線l可能為平面α與β的交線，也可能是與交線平行的直線.又l?α，l?β，

故正確選項為D.

評析：通過構(gòu)造出空間圖形，將復(fù)雜的線、面關(guān)系直觀地體現(xiàn)出來.在各種關(guān)系的性質(zhì)或判定中要準確把握它們所具備的條件及其相互推導(dǎo)關(guān)系.

二、以空間想象能力為依托

考試大綱中明確提出高考命題要體現(xiàn)對考生空間想象能力的考查，而立體幾何試題就肩負著這一重任.

例3（2016年全國卷Ⅰ）平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面α∥平面CB1D1，平面α∩平面ABCD=m，平面α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（ ）.

解析：根據(jù)題目條件可構(gòu)造出相應(yīng)的正方體，但平面α并沒有在正方體中體現(xiàn)，如何構(gòu)造出平面α是問題求解的關(guān)鍵.

如圖2所示，以A為頂點再補一個全等的正方體ADEF-A1D1E1F1，則易證EF1∥CB1，AE∥B1D1，則平面AEF1∥平面CB1D1，而平面AEF1過正方體的頂點A，故平面AEF1就是平面α，而平面AEF1∩平面ABCD=AE，平面AEF1∩平面ABB1A1=AF1，則m，n所成角就是直線AE和AF1所成的角即∠EAF1，而△AEF1為等邊三角形，因此故正確選項為A.

圖2

評析：對于沒有給出圖形的立體幾何體問題，準確構(gòu)圖是問題求解的關(guān)鍵，能充分考查考生的空間想象能力.

三、以位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為基本思維模式

解決立幾問題除了要熟練掌握立體幾何的基礎(chǔ)知識、要有一定的空間想象能力外，還要掌握重要的數(shù)學數(shù)學方法“轉(zhuǎn)化與化歸”，能把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題、把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系、把線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，以及通過等體積轉(zhuǎn)化法來求解相關(guān)問題.

例4 （2016年全國卷Ⅲ）如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

圖3

圖4

（1）證明MN∥平面PAB；

（2）求四面體N-BCM的體積.

解析：（1）證明：如圖4，取PB中點Q，連接AQ，NQ，因為N是PC中點，NQ∥BC，且NQ=2，BC，而且AM∥BC，所以QN∥AM且QN=AM，所以AQNM是平行四邊形，即MN∥AQ.

又因為MN?平面PAB，AQ?平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）由（1）知QN∥平面ABCD，所以VN-BCM=VQ-BCM=所以

評析：第（1）問欲證一條直線與一個平面平行，只要證明此直線與平面內(nèi)某一條直線平行即可.通過利用三角形的中位線來構(gòu)造輔助線不僅順利證明了第（1）問的結(jié)論，也為第（2）問等體積的轉(zhuǎn)化法的運用創(chuàng)造了有利條件，從而使問題得到圓滿解決.

四、以幾何法與向量法為手段

空間向量的引入使得在立體幾何的教學中出現(xiàn)了重視計算，消弱了空間想象力能力培養(yǎng)及推理教學的現(xiàn)象，致使考生推理證明、空間想象的能力有所下降，這就要求我們在教學中對高一必修階段立體幾何初步的定位要因?qū)W生情況而適當調(diào)整.

例5（2016年浙江卷）如圖5，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（1）求證：EF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

解析：（1）證明：如圖6，延長AD，BE，CF相交于一點K.因為平面BCFE⊥平面ABC且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，所以BF⊥AC.

又因為EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK，所以BF⊥平面ACFD.

（2）方法1（幾何法）：如圖6，過點F作FQ⊥AK，連接BQ.

圖6

因為BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，則AK⊥平面ΒQF，所以BQ⊥AK，所以∠ΒQF是二面角BAD-F的平面角.

方法2（向量法）：如圖7，取BC的中點O，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK的方向為x，z軸的正方向，建立如圖7所示空間直角坐標系O-xyz.

圖7

設(shè)平面ACK的法向量為m=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量為n=（x2，y2，z2）.

評析：無論求直線和平面所成的角，還是平面和平面所成的角，通常有幾何法和向量法.在幾何法中對于角的計算，一般是把所求角進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，主要是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角.如求線面角，關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影；而求二面角，應(yīng)先找到兩個平面的交線，分別在兩個平面上向交線作垂線，則這兩條垂線的夾角就是所求的二面角的平面角.向量法則可建立坐標系，利用向量的運算將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與面的法向量的夾角，對于二面角則轉(zhuǎn)化為兩個面的法向量的夾角求解.用向量法可避開找角的困難，但計算較繁，所以要注意準確計算.

總之，對于立體幾何的復(fù)習，要牢固相關(guān)的理論基礎(chǔ)，清楚命題視角，準確把握構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法以及向量法，即可以不變應(yīng)萬變實現(xiàn)對問題完美解答.