張樹義,劉冬紅,叢培根
(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)
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漸近偽壓縮型映象Noor三步迭代序列的收斂性
張樹義*,劉冬紅,叢培根
(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)
漸近偽壓縮型映象; 漸近非擴(kuò)張映象; 混合型誤差; Noor三步迭代序列
全文設(shè)E是實(shí)Banach空間,E*是E的對偶空間.對偶映象Jp:E→2E*(1
T稱為一致Lipschitz的,若存在L≥1,使?x,y∈D(T),?n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖.
定義2 設(shè)D是E的非空凸子集,T:D→D是一個映象,?x0∈D,由下式定義的序列,{xn}n≥0?D,{yn}n≥0?D
(1)
其中{αn}n≥0,{βn}n≥0,{γn}n≥0,{μn}n≥0,{δn}n≥0和{ζn}n≥0為[0,1]中六個滿足某些條件的實(shí)數(shù)列,{un}n≥0,{vn}n≥0和{wn}n≥0為D中的有界序列,則稱{xn}n≥0為T的帶混合型誤差的修改的Noor三步迭代序列.特別地,當(dāng)μn=0,?n≥0,時,稱由(1)所定義的序列{xn}n≥0為帶誤差的修改的Noor三步迭代序列.當(dāng)γn=μn=δn=0,?n≥0,時,稱由(1)所定義的序列{xn}n≥0為帶誤差的修改的Ishikawa迭代序列.
引理1〔1〕設(shè)?x,y∈E,則?α>0,‖x‖≤‖x+αy‖成立??f∈Jx, 使〈y,f〉≥0.
由引理1容易推出下面引理2成立.
(2)
‖xn+1-q‖≤‖xn+1-q+α[kn(xn+1-q)+A(xn+1,q)q-(Tnxn+1-q+A(xn+1,q)xn+1)]‖,
其中
關(guān)于漸近偽壓縮映象和漸近非擴(kuò)張映象不動點(diǎn)的迭代逼近問題的研究,文〔3〕得到了如下結(jié)果:
(i)αn+γn≤1,δn+βn≤1;
近些年來, 文〔4-23〕研究了一些非線性映象不動點(diǎn)的存在性與迭代逼近. 受上述工作啟發(fā), 本文的目的是進(jìn)一步研究漸近偽壓縮映象和漸近非擴(kuò)張映象不動點(diǎn)的迭代逼近問題, 從以下幾方面對定理1進(jìn)行推廣和改進(jìn):
(ii) 用{Tnyn}n≥0有界取代T的值域T(D)有界.
(v) 將帶誤差修改的Ishikawa迭代序列推廣到更一般的具混合誤差的修改的Noor三步迭代序列.
需要指出的是在我們?nèi)サ舳ɡ?的條件時,并沒有增加其它條件,因此本文改進(jìn)和推廣了文〔3〕中的主要結(jié)果,同時,本文結(jié)果也推廣和改進(jìn)了其他人的相關(guān)結(jié)果.
(i)αn+γn+μn≤1,δn+βn≤1;
‖zn-q‖=‖(1-ζn)(xn-q)+ζn(Tnxn-q)‖≤Q(L+1),
‖yn-q‖=‖(1-βn-δn)(xn-q)+βn(Tnzn-q)+δn(vn-q)‖≤Q(1+L(L+1))+M:=B,
‖xn+1-yn‖≤βn(‖xn-q‖+L‖xn-q‖)+δn(‖xn-q‖+‖vn-q‖)+αn(L+1)‖yn-q‖
+γn(‖yn-q‖+‖un-q‖)+μn(‖yn-q‖+‖wn-q‖)
≤(βn+δn)(L+1)Q+αn(1+L)B+(γn+μn)(B+M),
從而‖Tnxn+1-Tnyn‖≤[(δn+βn)+αn+(γn+μn)]R,其中R=max{L(L+1)Q,L(1+L)B,L(B+M)}.
令dn=αn+γn+μn, 由(1)式有下列等式成立
(1-dn)xn=(1-dnkn)xn+1+dn(knxn+1-A(xn+1,q)xn+1)-dnTnxn+1+dnA(xn+1,q)xn+1
+dn(Tnxn+1-Tnyn)+γn(Tnyn-un)+μn(Tnyn-wn),
(1-dn)q=(1-dnkn)q+dn(knq-A(xn+1,q)q)+dnA(xn+1,q)q-dnq.
據(jù)此可得
(1-dn)(xn-q)=(1-dnkn+A(xn+1,q),dn).
+dn(Tnxn+1-Tnyn)+γn(Tnyn-un)+μn(Tnyn-wn).
‖xn+1-q‖≤(1-A(xn+1,q)αn)‖xn-q‖+2γn‖xn-q‖+4αn(kn-1)‖xn-q‖+αnfn+gn.
(3)
其中fn=2λn(Rdn+M)+2Rdn,gn=2Rdn(δn+βn)+2γnM+2dnγnR.
(4)
1+‖xnj+1-q‖p+Ψ(‖xnj+1-q‖)-Hnj≤1+Qp+Ψ(Q),所以
下面證明m≥1,有‖xnj0+m-q‖<2ε.當(dāng)m=1時, 顯然成立;當(dāng)m=2時, 若
‖xnj0+1-q‖<ε,則‖xnj0+2-q‖<ε+gnj0+1+2γnj0+1;若‖xnj0+2-q‖≥ε由Ψ的嚴(yán)格增加性有
由(3)式有
‖xnj0+2-q‖≤(1-A(xnj0+2,q)αnj0+1+4αnj0+1(knj0+1-1))‖xnj0+1-q‖+2γnj0+1‖xnj0+1-q‖
+αnj0+1fnj0+1+gnj0+1
注1 條件D+D?D只用于保證迭代序列{xn}n≥0是有意義的,當(dāng)ζn=μn≡0時,迭代序列即為文〔1〕中的迭代序列{xn}n≥0,此時當(dāng)ζn=μn≡0時,條件D+D?D可以去掉.
由定理2可得定理3.
注2 在本文定理2的證明中{Tnyn}有界條件起了重要作用,那么按本文證法{Tnyn}有界條件是否可以去掉呢? 這值得我們做進(jìn)一步研究.
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Convergence of Noor three step iterative sequences for asymptotically pseudocontractive type mappings
ZHANG Shu-yi, LIU Dong-hong, CONG Pei-gen
(College of Mathematics and Physics,Bohai University,Jinzhou 121013, China)
asymptoticallypseudocontractivetypemappings;asymptoticallynonexpansivemappings;mixederrors;Noorthreestepiterativesequences
2016-10-13.
國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No: 11371070).
張樹義(1960-), 男,教授, 主要從事非線性算子迭代逼近理論, 變分不等式與優(yōu)化理論方面的研究.
jzzhangshuyi@126.com.
O177.91
A
1673-0569(2016)04-0293-06