α-T3模型中的Klein 隧穿和電導(dǎo)

潘林峰，邱學(xué)軍

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,武漢,430074)

α-T3模型中的Klein 隧穿和電導(dǎo)

潘林峰，邱學(xué)軍

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,武漢,430074)

指出了α-T3模型是近年來(lái)出現(xiàn)的二維材料模型, 其中用參數(shù)α來(lái)描述六邊形中央的格點(diǎn)與蜂巢晶格上格點(diǎn)的耦合強(qiáng)度.利用緊束縛近似導(dǎo)出了α-T3模型低能哈密頓量,計(jì)算了粒子通過(guò)電勢(shì)壘的透射概率的表達(dá)式,采用圖解法分析了透射概率及電荷輸運(yùn)電導(dǎo)在各種條件下的規(guī)律.

α-T3模型; 勢(shì)壘隧穿;輸運(yùn)電導(dǎo)

關(guān)于蜂巢晶格和T3晶格中粒子的勢(shì)壘隧穿已經(jīng)有較多的研究[10-13],而在α-T3模型中這個(gè)問(wèn)題還未出現(xiàn),為此,本文研究α-T3模型中粒子通過(guò)勢(shì)壘的行為以及電荷輸運(yùn)電導(dǎo).

1 α-T3模型

α-T3晶格中每個(gè)單胞包含3個(gè)格點(diǎn).圖1中子格A(方塊)只與子格B(圓)耦合,躍遷振幅用t表示,子格C(三角)只與B耦合,躍遷參數(shù)為αt. 因此B子格的配位數(shù)為6,A和C子格的配位數(shù)為3. 連接耦合參數(shù)為t的格點(diǎn)的矢量關(guān)系如下:

(1)

這里a是兩相鄰格點(diǎn)的距離.三角布拉伐格子由下面的基矢生成:

(2)

它定義菱形原胞.子格B的位置格矢為RH,n=n1a1+n2a2(n1和n2為正整數(shù)).子格A相對(duì)子格B位移δl, 而子格C相對(duì)子格B位移-δl,則有:

RA,n=RB,n+δl,RC,n=RB,n-δl.

(3)

圖1 α-T3晶格模型Fig.1 α-T3lattice model

下面用緊束縛近似討論粒子的能量.設(shè)原子軌道波函數(shù)用φm(r) 表示,α-T3晶格每個(gè)單胞中有3個(gè)不同的子格原子,則m取A,B,C. 晶格中對(duì)給定位置r和波矢κ的布洛赫態(tài)Φm(κ,r)可以寫(xiě)為:

(4)

這里N是晶格中的單胞數(shù),Rm,n是第n個(gè)單胞的第m個(gè)軌道的位置矢量.粒子波函數(shù)Ψ(κ,r)可表示為3個(gè)布洛赫態(tài)的線性疊加:

(5)

展開(kāi)系數(shù)cm(κ)是準(zhǔn)動(dòng)量κ的復(fù)函數(shù),其中m= A,B,C.這里能量E(κ) =<Ψ|H(κ, r)|Ψ>/<Ψ|Ψ>, 其中H(κ, r)是系統(tǒng)的哈密頓量.下面解粒子波函數(shù)的本征值方程:

H(κ,r)Ψ(κ,r)=E(κ)Ψ(κ,r),

(6)

用Ψ*左乘上式Ψ*HΨ =Ψ*EΨ,并把方程(5)中Ψ寫(xiě)為矩陣,則有:

其中轉(zhuǎn)移積分矩陣H(κ)和交疊積分矩陣S(κ)都為3×3矩陣,矩陣元定義為:

(7)

為得到粒子能量E(κ),需要解下面的久期方程:

det[H-EλS]=0.

(8)

其中det表示矩陣行列式.

先計(jì)算矩陣H的對(duì)角元HAA=<ΦA(chǔ)|H|ΦA(chǔ)>, 它主要來(lái)自給定軌道與自己的相互作用,利用方程(4)寫(xiě)為:

(9)

令εA=<φA(r-RA,n)|H|φA(r-RA,n)>表示粒子在子格A的格點(diǎn)能,它在每個(gè)單胞中都有相同的值,則HAA=εA, 類(lèi)似地對(duì)子格B和C有HBB=εB和HCC=εC. 我們?nèi)ˇ臕=εC=Δ和εB=-Δ.

用類(lèi)似的方法計(jì)算交疊矩陣的對(duì)角元.由于原子軌道與自已完全交疊,或者說(shuō)原子波函數(shù)的歸一化,則Smm=<φm(r-Rm,n)|φm(r-Rm,n)>=1, 因此S矩陣的對(duì)角元都為1.

矩陣H的非對(duì)角元描述不同子格原子軌道波函數(shù)的耦合.先考慮B子格和A子格的耦合,在圖1中用實(shí)線表示,這里B與最鄰近的3個(gè)A子格耦合,則有:

(10)

這里δl(l = 1, 2, 3)是B的3個(gè)最近鄰A相對(duì)B的位置矢量,方程(1)對(duì)每個(gè)B 格點(diǎn)的3個(gè)近鄰A格點(diǎn)在求和時(shí)完全相同,我們引入耦合積分振幅t:

t=-<φA(r-RA,n)|H|φB(r-RB,n)>,

(11)

它是正數(shù).那么矩陣元可寫(xiě)為:

(12)

(13)

耦合積分振幅為αt:

αt=-<φC(r-RC,n)|H|φB(r-RB,n)>,

(14)

那么:

(15)

(16)

這里:

s0=<φA(r-RA,n)|φB(r-RB,n)>=<φC(r- RC,n)|φB(r-RB,n)>,

那么交疊矩陣的非對(duì)角元為:

(17)

集合所有矩陣元,則T3晶格的積分矩陣H和S 可寫(xiě)為:

(18)

(19)

研究粒子的能量時(shí),可以忽略格點(diǎn)能εA=εB=εC=ε0= 0, 因?yàn)樗鼘?duì)能帶結(jié)構(gòu)無(wú)任何影響.由于原子波函數(shù)交疊s0?1,故由方程(8)可得到下列關(guān)系:

(20)

則解為:

(21)

為了描述低能激發(fā),我們限制波矢在布里淵區(qū)角上K點(diǎn)附近,這里:

(22)

引入波矢κ=ξK+k,其中|k|?|K|, 這里ξ=±1分別對(duì)應(yīng)K點(diǎn)或者K′點(diǎn).展開(kāi)f(κ) 到k的一階項(xiàng),則有:

(23)

那么由方程(18)得低能哈密頓量為:

H(k)=

(24)

當(dāng)α=0時(shí),0-T3模型對(duì)應(yīng)石墨烯,哈密頓量為H=?νF(ξkxσx+kyσx),這里σx,σy是自旋為1/2的泡利矩陣[3].當(dāng)α=1時(shí),1-T3對(duì)應(yīng)dice晶格,哈密頓量為H=hνF(ξkxSx+kySx),這里Sx, Sy是自旋為1的矩陣[4]. 因此T3晶格中的載流子是贗自旋為1的無(wú)質(zhì)量Dirac費(fèi)米子. 它的低能能量色散存在一個(gè)平坦能帶E0(k) =0和兩個(gè)線性色散能帶E±(k).

當(dāng)α≠0, 1時(shí),令α = tan φ,則有:

(25)

E0(k)=0,E±(k)=±?νF|k|.

(26)

2 電勢(shì)壘的Klein隧穿

存在電勢(shì)時(shí)，α-T3晶格中準(zhǔn)粒子在給定K點(diǎn)的哈密頓量為:

H=H0+U(x),

(27)

這里H0為方程(25),波矢(kx,ky)=-i?(?x,?y).這里已經(jīng)假定勢(shì)函數(shù)U(x)與y分量無(wú)關(guān)，則y方向波矢ky為常數(shù).哈密頓量(27)的本征方程的波函數(shù)能寫(xiě)為三分量旋量形式ψ(x,y)=[ψA(x),ψB(x),ψC(x)]Teikyy,這里T表示矩陣轉(zhuǎn)置.因此本征值方程為:

(28)

把kx=-i?x,ky=-i?y代入方程(28)中,并令ε=E/νF?,u(x)=U(x)/νF?, 我們得到關(guān)于變量x的耦合方程組:

(29)

從方程(29)可得到關(guān)于ψB滿足的二階微分方程:

(30)

則方程(30)的通解為:

ψB(x)=sCeiqx-sDe-iq,

(31)

其中s = sgn(ε-u),C和D為積分常數(shù).把方程(34)代入到方程(29)的第一式,得到關(guān)于ψA的方程:

ψA(x)=Ce-iξθcosφeiqxx-Deiξθsinφe-iqxx,

(32)

其中相位因子為:

(33)

因此相位角θ = arctan(ky/qx). 同理，由方程(29)的第三式可得到關(guān)于ψC的通解:

ψC(x)=Ceiqxx+iξθsinφ-De-iqxx-iξθsinφ.

(34)

因此有勢(shì)壘時(shí)α-T3晶格的三旋量波函數(shù)的通解為:

(35)

上式第一項(xiàng)為右行波,第二項(xiàng)為左行波.無(wú)電勢(shì)區(qū)域,s =sgn(ε),qx= kx. 對(duì)導(dǎo)帶ε> 0, s = 1,對(duì)價(jià)帶ε< 0, s =-1,對(duì)平坦能帶ε = 0, s = 0,因此右行波波函數(shù)為:

(36)

現(xiàn)在考慮粒子通過(guò)方勢(shì)壘時(shí)的反射和透射.在y方向均勻而x方向的方勢(shì)壘可表達(dá)為:

(37)

勢(shì)函數(shù)如圖2所示.考慮能量為E=?νFk的準(zhǔn)粒子以角度入射到高為U0寬為d的方勢(shì)壘上,這里要求滿足彈道輸運(yùn)條件.引入與波矢量綱相同的能量ε=E/?νF和u0=U0/?νF.

圖2 方勢(shì)壘示意圖Fig.2 Schematic diagram of square barrier

無(wú)勢(shì)壘區(qū)域x<0,粒子在導(dǎo)帶s=sgn(ε)=1,則入射和反射波函數(shù)為:

(38)

(39)

在x>d區(qū)域s=1,且只有右行波:

(40)

其中t為透射系數(shù).

考慮概率流守恒可得波函數(shù)在界面匹配條件,即波函數(shù)ψB和ψA+ψC在界面連續(xù).因此利用波函數(shù)在x=0和x =d連續(xù)可求得透射系數(shù):

t=[2ei(θ+φ-dkx+dqx)(1+e2iθ)(1+e2iφ)(cosφ+sinφ)2]/{2ei(θ+φ)(A2+B2)+sin2φ[A2(1+e2i(θ+φ))-B2(e2iθ+e2iθ)]},

(41)

這里A=eiqxd(eiθ+eiφ),B=1-ei(θ+φ).由于透射概率T=tt*,對(duì)蜂巢晶格取α=0 ，φ=0，透射概率為:

T0=

(42)

對(duì)dice晶格,取α = 1,φ=π/4, 透射概率為:

(43)

與文獻(xiàn)[11]結(jié)果相同.

3 結(jié)果與討論

3.1 透射概率

由公式(41)得到透射概率T=tt*，下面用圖解法進(jìn)行討論.在討論中,取以波矢為單位的入射能量ε為數(shù)值計(jì)算的單位,則勢(shì)壘寬度d為無(wú)量綱數(shù)值.圖3表示透射概率與參數(shù)α及入射角關(guān)系等高線圖，其中d =7.0，ε/u0=0.4.圖中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)入射角φ和φ,曲線上的數(shù)字顯示透射概率數(shù)值.可以看到:

(1) α-T3模型存在較寬的全透射區(qū),當(dāng)φ從0變化到π/4即α從0變化到1時(shí),全透射區(qū)域明顯增大.

(2) 在入射角一定的情形下，隨著α增大，透射概率增大.

(3) 正入射時(shí)透射概率恒等于1而與勢(shì)壘高度和寬度無(wú)關(guān).

圖3 透射概率與入射角φ及α的關(guān)系圖Fig.3 (α, φ) contour plots of the transmission probability

圖4表示透射概率T與入射角及勢(shì)壘寬度d關(guān)系，其中ε/u0=0.1，左圖α=0，右圖α=1.圖中可以看到在α 的變化對(duì)透射概率有明顯的影響，而勢(shì)壘寬度d的變化導(dǎo)致透射概率成周期性變化.在ε/u0=0.1條件下，d等于3.51的整數(shù)倍時(shí)，出現(xiàn)全透射，此時(shí)透射概率與入射角無(wú)關(guān).

圖4 透射概率與入射角φ及勢(shì)壘寬度d的的關(guān)系圖Fig.4 (d, φ) contour plots of the transmission probability

圖5表示透射概率T與入射角φ及入射能量ε/u0的關(guān)系，其中d=6，左圖φ=0，右圖φ=π/4.圖中可以看到: α-T3模型在能量為ε/u0=0.35和ε/u0=0.5時(shí)出現(xiàn)全透射,與其它條件無(wú)關(guān);能量ε/u0小于0.5和大于0.5的區(qū)域呈明顯的不對(duì)稱(chēng)性; α的變化導(dǎo)致透射區(qū)域的大小發(fā)生變化,而形狀則基本不變.

圖5 透射概率與入射角φ及入射能量ε/u0的關(guān)系圖Fig.5 (ε/u0,φ) contour plots of the transmission probability

圖6表示透射概率T與入射角關(guān)系的極坐標(biāo)圖，其中d=50,左圖(ε/u0=0.1，實(shí)線φ=0，虛線φ=π/4)，右圖(ε/u0=0.4，實(shí)線φ=0，虛線φ=π/4).左圖中可以看到在ε/u0=0.1時(shí)，小角度條件下全透射,φ取0和π/4時(shí),全透射區(qū)域有明顯差的差異;而右圖中可以看到在ε/u0=0.4時(shí)全透射區(qū)域較小，出現(xiàn)振蕩透射區(qū)域,這對(duì)應(yīng)法布里-珀羅共振隧穿.

圖6 透射概率與入射角關(guān)系圖Fig.6 Relationship between transmission probability and incidence angle

3.2 輸運(yùn)電導(dǎo)

我們選取寬為W(y軸方向)的無(wú)限長(zhǎng)樣品分析其輸運(yùn)電導(dǎo),用零溫度下的Landauer-Büttiker公式計(jì)算[14,15]:

(44)

上式中G0=4e2kW/πh(e是電子電量的絕對(duì)值,k表示波矢).

下面圖7和圖8討論電導(dǎo)的規(guī)律.圖7表示電導(dǎo)在不同的α情形下與入射能量的關(guān)系。其中d=6,粗實(shí)線、細(xì)實(shí)線、點(diǎn)劃線、虛線依次對(duì)應(yīng)α=0，α=tan(π/12)，α=tan(π/8)， α=tan(π/4)。由圖可見(jiàn)在ε/u0=0.5時(shí)，電導(dǎo)最大，并且與晶體種類(lèi)無(wú)關(guān)，當(dāng)ε/u0<0.5時(shí)，電導(dǎo)隨α的增大而增大，當(dāng)ε/u0>0.5時(shí),電導(dǎo)則隨能量的增大而減小且受α影響較小.

圖7 電導(dǎo)與入射能量關(guān)系圖Fig.7 Relationship between conductance and incident energy

圖8表示電導(dǎo)在不同的α情形下與勢(shì)壘寬度d的關(guān)系。其中ε/u0=0.2,粗實(shí)線、細(xì)實(shí)線、點(diǎn)劃線、虛線依次對(duì)應(yīng)α=0，α=tan(π/12)，α=tan(π/8)， α=tan(π/4)。由圖可見(jiàn)在ε/u0=0.2時(shí)，電導(dǎo)隨α的增大而增大，而與透射概率問(wèn)題類(lèi)似的是，電導(dǎo)同樣隨勢(shì)壘寬度d作周期性變化,d的周期為3.51.

圖8 電導(dǎo)與勢(shì)壘寬度關(guān)系圖Fig.8 Relationship between conductivity and potential barrier width

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究α-T3模型中粒子通過(guò)勢(shì)壘的行為以及電荷輸運(yùn)電導(dǎo). α-T3模型是一種聯(lián)系蜂巢晶格和T3晶格的二維材料,在α = 0和1的極限下,它分別對(duì)應(yīng)蜂巢晶格和T3模型.通過(guò)圖解得出以下結(jié)論:在僅改變?chǔ)燎闆r下透射概率和電導(dǎo)隨α有規(guī)律地變化,并且圖形具有相似性;粒子入射能量大于和小于0.5時(shí)有完全不同的透射規(guī)律; 僅有勢(shì)壘寬度d的變化則會(huì)導(dǎo)致透射概率和電導(dǎo)規(guī)律呈現(xiàn)周期性.

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Klein Tunneling and Conductance in α-T3Model

Pan Lingfeng, Qiu Xuejun

(College of Electronic and Information Engineering, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

This paper pointed out that theα-T3model is a two-dimensional material model emerging in recent years,thereinto, the coupling strength between the lattice points of the hexagonal lattice and lattice points of the honeycomb lattice is described by the parameterα.By using the tight binding approximation, the low-energy Hamiltonian ofα-T3model is derived, and the expression of the transmission probability of a particle passing through the electric barrier is calculated,and the regularity of the transmission probability and charge transport under various conditions are analyzed graphically.

α-T3model; barrier tunneling; transport conductance

2016-10-04

潘林峰(1972-)，男，副教授，研究方向：量子力學(xué)，E-mail: pzhx_x@mail.scuec.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11404411)

O413.1

A

1672-4321(2016)04-0064-06