一類帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric過程風(fēng)險(xiǎn)模型

李學(xué)鋒，王維峰

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

一類帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric過程風(fēng)險(xiǎn)模型

李學(xué)鋒，王維峰

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

研究了一類帶干擾的雙到達(dá)過程風(fēng)險(xiǎn)模型，其中保費(fèi)收取為時(shí)間t的線性函數(shù)而兩險(xiǎn)種的索賠均為復(fù)合Poisson-Geometric過程. 利用鞅分析得到了該模型的破產(chǎn)概率的Lundberg不等式及其精確表達(dá)式；利用微分和It公式得到了生存概率的積分微分方程. 該模型所得到的結(jié)果可對保險(xiǎn)公司和保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)置預(yù)警措施提供一定的理論指導(dǎo)，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

復(fù)合Poisson-Geometric過程；破產(chǎn)概率；鞅；Lundberg不等式；It公式

自從經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型被提出以后，風(fēng)險(xiǎn)理論便逐漸形成并快速發(fā)展起來.目前，風(fēng)險(xiǎn)理論已經(jīng)是精算界、數(shù)學(xué)界及保險(xiǎn)業(yè)研究的熱門課題. 該理論主要研究保險(xiǎn)事務(wù)中各種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率或生存概率.破產(chǎn)概率或生存概率是衡量保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)狀況的重要指標(biāo)，是管理風(fēng)險(xiǎn)的重要工具.破產(chǎn)概率高意味著保險(xiǎn)公司經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)大，這時(shí)保險(xiǎn)公司需要采取合理有效的措施降低風(fēng)險(xiǎn)并提高其承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的能力，確保保險(xiǎn)公司能夠長期穩(wěn)定地發(fā)展下去.因此，為了更加符合保險(xiǎn)公司的實(shí)際需要，許多學(xué)者從保費(fèi)收入、索賠分布等不同的角度對經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了改進(jìn)和推廣，并用各種不同的方法計(jì)算或估算出破產(chǎn)概率或生存概率. 文獻(xiàn)[1,2]分別考慮索賠服從相位(Phase-Type)分布和索賠分布用Erlang分布逼近的情況下的破產(chǎn)概率的表達(dá)式；文獻(xiàn)[3,4]將鞅理論用于破產(chǎn)概率的研究，促進(jìn)了破產(chǎn)理論的快速發(fā)展；文獻(xiàn)[5]中，Dufresne和Gerber研究了帶干擾的復(fù)合Poisson過程的風(fēng)險(xiǎn)模型；文獻(xiàn)[6-8]研究了索賠相關(guān)過程的風(fēng)險(xiǎn)模型.

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型及其很多推廣中，總是假設(shè)其索賠次數(shù)為齊次Poisson過程，而Poisson過程的一個(gè)重要性質(zhì)是均值和方差相等，即風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生與索賠事件發(fā)生是無差異的.事實(shí)上，這個(gè)假設(shè)過于理想化，在實(shí)際中往往得不到滿足.例如在保險(xiǎn)公司實(shí)行免賠額和無賠款折扣等制度后，一方面，保險(xiǎn)公司要求只有當(dāng)被保險(xiǎn)人的損失超過某一金額時(shí)才給予賠付；另一方面，被保險(xiǎn)人在事故發(fā)生時(shí)會權(quán)衡其利益得失而決定是否進(jìn)行索賠，從而實(shí)際的索賠次數(shù)往往小于事故發(fā)生的次數(shù).這種賠付制度在國外醫(yī)療中經(jīng)常使用.近年來，我國保險(xiǎn)公司在車險(xiǎn)中也用到類似的無賠款折扣制度.文獻(xiàn)[9,10]針對這一實(shí)際情況，引入了一類索賠過程為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了關(guān)于破產(chǎn)概率的一些結(jié)論.

本文在上述工作的基礎(chǔ)上，考慮在隨機(jī)干擾的條件下，建立了一種保險(xiǎn)可能引起兩種索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型.比如機(jī)動車保險(xiǎn)，發(fā)生事故后的保險(xiǎn)賠付可能有財(cái)產(chǎn)賠付(包括機(jī)動車和其它受損財(cái)產(chǎn))，還可能有人身傷害的賠付(包括受傷者醫(yī)療費(fèi)和死亡賠付).且兩種索賠過程均為復(fù)合Poisson-Geometric過程.利用鞅分析得到了該模型的破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式及最終破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式，并利用微分和It公式得到生存概率的積分微分方程.

1 模型的建立

定義1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則X的矩母函數(shù)為：

顯然當(dāng)r→∞時(shí)，有mi(r)→∞.

定義2 設(shè)(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機(jī)變量都定義在此空間)，則對u≥0,t≥0，保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余為：

(1)

其中u≥0為保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金；c為保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收到的保險(xiǎn)費(fèi)；{N1(t),t≥0}與{N2(t),t≥0}分別為兩種索賠A和B的到達(dá)過程，即分別是保險(xiǎn)公司在[0,t]內(nèi)兩種索賠A和B發(fā)生的次數(shù)；Xi為索賠A的第i次索賠額；Yj為索賠B的第j次索賠額；{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，表示保險(xiǎn)公司不確定性收益和付款，σ>0為擾動系數(shù).

對上述模型做如下假設(shè)：

(1) N1(t)～PG(λ1t,ρ1), N2(t)～PG(λ2t,ρ2),λi>0,0≤ρi<1,i=1,2;

(2) {Xi,i=1,2,…}，{Yj,j=1,2,…}都為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y)，并假設(shè)它們的一、二階矩都存在,且E[Xi]=μ1,E[Yj]=μ2；

(3) {Xi,i=1,2,…}，{Yj,j=1,2,…},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互獨(dú)立.

即得：

由此定義相對安全負(fù)荷系數(shù)

(2)

定義3 保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最終破產(chǎn)概率為：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u},

則生存概率ψ(u)=1-φ(u).

2 相關(guān)引理

證明 (i) 根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律知：

引理2 對于盈余過程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(3)

證明 E[e-rS(t)]=

引理3 方程g(r)=0存在唯一正解R.

由(2)式知：

g″(r)=

(4)

引理5[11]破產(chǎn)時(shí)刻T是FS停時(shí).

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t),

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,…,

3 主要結(jié)果

定理1 風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率φ(u)滿足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u，

證明 由引理5知T是FS停時(shí)，取t0<∞，則易知T∧t0是FS停時(shí)，利用有界停時(shí)定理知：

e-ru=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=

E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(5)

又當(dāng)T<∞時(shí)，有u+S(T)≤0,所以e-r[u+S(T)]≥1，故：

定理2 風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率為：

(6)

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明 根據(jù)(5)式，取r=R,得：

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0).

(7)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律可知，當(dāng)t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收斂定理可知：

于是在(7)式兩端令t0→∞即得(6)式.

定理3 假設(shè)生存概率ψ(u)二次連續(xù)可微，則對任意u≥0，ψ(u)滿足積分微分方程：

(8)

且滿足邊界條件：

(9)

證明 令：

H(t)=u+ct+σW(t),

(10)

在充分小的時(shí)間段(0,t]內(nèi)，考慮(1)式所定義的風(fēng)險(xiǎn)過程U(t)，由于N1(t)和N2(t)都是Poisson-Geometric過程，由全概率公式及文獻(xiàn)[9]有：

(λ1+λ2)tE[ψ(H(t))]=E[ψ(H(t))]-

(11)

dH(t)=cdt+σdW(t),

σψ′(H(t))dW(t),

即ψ(H(t))=ψ(u)+

所以：

E[ψ(H(t))]=ψ(u)+

(12)

(11)式兩邊同時(shí)除以t，并令t→0，同時(shí)利用(12)式得：

故(8)式成立.

在(8)式中令u→0并由引理1即得(9)式.

4 結(jié)束語

本文提出的一類帶干擾的且索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，不僅保留了Poisson過程的很多良好性質(zhì)，而且很好地解決了Poisson過程中事故發(fā)生次數(shù)與索賠發(fā)生次數(shù)相等的問題，該過程與保險(xiǎn)公司的實(shí)際賠付政策(免賠額制度和無賠款折扣制度)密切相關(guān)，從而更好地刻畫了保險(xiǎn)公司實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)過程，有更具體的應(yīng)用背景，因此具有很強(qiáng)的實(shí)際意義.本文所得到的關(guān)于破產(chǎn)概率和生存概率的結(jié)論對保險(xiǎn)公司的自身設(shè)置預(yù)警措施有一定的理論指導(dǎo)意義，故該模型有應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也能為保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)置相應(yīng)的監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)提供理論依據(jù). 從最終破產(chǎn)概率的表達(dá)式可以看出，為確保保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營，一方面，保險(xiǎn)公司必須具備足夠的初始準(zhǔn)備金；另一方面，公司也不能一味為了提高市場份額而盲目降低保費(fèi)或高額承保. 因此，保險(xiǎn)公司為減小風(fēng)險(xiǎn)，提高承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的能力，必須在獲得盡可能多的保單的同時(shí)，做好統(tǒng)計(jì)調(diào)查，以便厘定合理的保費(fèi)、免賠額、無賠款折扣及賠付額度. 同時(shí)，保險(xiǎn)公司還不能忽視一些隨機(jī)干擾對公司穩(wěn)定經(jīng)營的影響，往往這些因素也直接關(guān)系到保險(xiǎn)公司的生死存亡. 當(dāng)然，隨著保險(xiǎn)公司的日益多元化經(jīng)營，在實(shí)際經(jīng)營運(yùn)作中會面臨更多的影響破產(chǎn)概率的因素，本文所建模型乃至現(xiàn)有的所有風(fēng)險(xiǎn)模型都還有待進(jìn)一步改進(jìn)，而且本文的思路和計(jì)算方法還為以后的研究提供了有益的思路.

[1] Asmussen S, Rolski T. Computational methods in risk theory: a matrix-algorithmic approach[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1991, 10(4):259-274.

[2] Asmussen S,Avram F,Usabel M.Erlangian approximations for finite-horizon ruin probabilities[J]. Astin Bulletin, 2002, 32(2):267-281.

[3] Gerber H U. Martingale in risk theory[J]. Mitt Ver Schweiz Vers Math,1973,73:205-216.

[4] Cai J, Dickson D C M. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Andersen Model with interest[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 32:61-71.

[5] Dufresne F, Gerber H U. Risk theory for the Compound Poisson Process that is perturbed by diffusion[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1991, 10:51-59.

[6] Partrat C. Compound model for two dependent kinds of claim[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1994,15:219-231.

[7] Luo J H, Fang S Z. The risk model about that claims are thinning process[J].(In Chinese)Guangxi Science,2004,11(4):306-308.

[8] 李學(xué)鋒.一類帶投資和干擾的雙到達(dá)過程風(fēng)險(xiǎn)模型[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015,34(4):132-135.

[9] 毛澤春，劉錦萼. 索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,28(3):419-428.

[10] 廖基定，龔日朝，劉再明，等.復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,30(6):1076-1085.

[11] Grandell J. Aspects of risk theory[M].New York: Springer-Verlag,1991:1-32.

A Kind of Compound Poisson-Geometric Process Risk Model with Disturbance

Li Xuefeng，Wang Weifeng

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we considered a kind of double arrival process risk model with disturbance. In the model, the premium income is a linear function of timetand the two arrivals of the claims follow compound Poisson-Geometric processes. Using martingale analysis, we obtained the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability；using differential calculus andItformula, we obtained the integro-differential equation for survival probability. The results of the model in this paper can provide some theoretical guidance and have practical application values for the insurance companies and insurance regulatory authorities when they set up early warning measures.

compound Poisson-Geometric process；ruin probability; martingale；Lundberg inequality；Itformula

2016-07-29

李學(xué)鋒(1979-)，女，講師，研究方向：金融數(shù)學(xué)，E-mail: lxf@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學(xué)基金專項(xiàng)基金項(xiàng)目數(shù)學(xué)天元基金(11526195)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZQ14022)

O211；F840

A

1672-4321(2016)04-0132-05