一類帶有不育蚊子的瘧疾傳播模型的分析

殷紅燕，蔣 翔

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

一類帶有不育蚊子的瘧疾傳播模型的分析

殷紅燕，蔣 翔

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

在一個(gè)簡(jiǎn)單的SEIR瘧疾傳播模型的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)帶有不育蚊子的瘧疾傳播模型，分析了模型的無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，給出了基本再生數(shù)的公式，證明了地方病平衡點(diǎn)的存在性，對(duì)所得理論結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬．

不育蚊子；瘧疾傳播； 穩(wěn)定性；基本再生數(shù)；地方病平衡點(diǎn)

瘧疾不會(huì)像流感那樣在人與人之間傳播，它是由瘧原蟲(chóng)所致的蟲(chóng)媒傳染病，所以預(yù)防瘧疾一個(gè)最有效的方法就是減少或消滅蚊子. 在控制蚊子的各種方法中，昆蟲(chóng)不育技術(shù)已被證明是一種有效的方法[1-4].利用射線或者其他的一些化學(xué)、物理方法使雄性蚊子不育，然后把這些不育雄性蚊子釋放到野外和野生雌蚊子交配，從而減少蚊子的數(shù)量. 這項(xiàng)技術(shù)不僅可以用來(lái)防控瘧疾，還可以防控其他的蚊媒疾病，如登革熱、寨卡等疾病.

文獻(xiàn)[5]提出了一個(gè)野生蚊子和不育蚊子交互作用的數(shù)學(xué)模型:

(1)

這里w(t)和g(t)分別表示野生蚊子和不育蚊子在t時(shí)刻的數(shù)量；a是出生率；μv和μg分別是野生蚊子和不育蚊子的自然死亡率；ξv和ξg分別是野生蚊子和不育蚊子的受密度制約的死亡率；b為常數(shù)，是不育蚊子的釋放率. 這里假設(shè)a>μv.

文[5]研究了模型(1)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，分析了不育蚊子對(duì)于野生蚊子種群的影響. 本文主要是把不育蚊子引入到瘧疾傳播模型中，建立一個(gè)新的帶有不育蚊子的瘧疾傳播模型.通過(guò)分析帶有不育蚊子的瘧疾傳播模型的一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)來(lái)說(shuō)明不育蚊子對(duì)瘧疾傳播的影響．

1 模型的建立

首先我們把文獻(xiàn)[6]中提出的一個(gè)瘧疾傳播模型作為基礎(chǔ)模型.在這個(gè)模型中，將人類分為易感者(Sh)、潛伏者(Eh)、染病者(Ih)和恢復(fù)者(Rh)；將蚊子分為易感者(Sv)、潛伏者(Ev)和染病者(Iv). 瘧疾的傳播模型為：

(2)

這里Λh為易感人群的新增率；μh和μv分別為人類和蚊子的自然死亡率；δh為人類的因病死亡率；θh為免疫力喪失率；γh和γv分別為人類和蚊子從潛伏者變?yōu)槿静≌叩母怕剩沪莌為染病者的恢復(fù)率；bv為蚊子的出生率，ξv為蚊子的受密度制約的死亡率；λh和λv分別為人類和蚊子的瘧疾感染率.

令Nh=Sh+Eh+Ih+Rh為總的人口數(shù)目，Nv=Sv+Ev+Iv為蚊子的總數(shù)，r表示單位時(shí)間內(nèi)一只蚊子叮咬人的次數(shù),βh表示蚊子每叮咬一個(gè)染病的人感染上瘧疾的概率.于是可得到蚊子的瘧疾感染率為：

(3)

同理,人類的瘧疾感染率為：

(4)

這里βv表示人類被一只染病的蚊子叮咬后感染上瘧疾的概率.

下面把不育蚊子引入到基本模型(2)中，得到如下帶有不育蚊子的瘧疾傳播模型：

(5)

2 模型的分析

以下分析模型(5)的一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，主要討論無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性與局部穩(wěn)定性，給出基本再生數(shù)公式，證明地方病平衡點(diǎn)的存在性.

2.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性

模型(5)的平衡點(diǎn)滿足如下方程：

(6)

(7)

于是，由文[5]中的定理3.1及其推導(dǎo)，可得模型(5)的無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性定理.

定理1 模型(5)總是存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)

(8)

2.2 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和基本再生數(shù)

下面通過(guò)分析無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性得到模型(5)的基本再生數(shù).

J12=

F(N)=(1+N)(μv+ξvN)(b+μg+ξgN)-

aN(μg+ξgN).

注意到-J12的所有的非對(duì)角元素都是非正定的, 并且-J12前3個(gè)主子式都是正的. 由M-矩陣?yán)碚揫7,8]，如果行列式

detJ12=(μh+δh+ηh)(μh+γh)(μv+

定義模型(5)的基本再生數(shù)為：

(9)

2.3 地方病平衡點(diǎn)

下面討論模型(5)的地方病平衡點(diǎn)的存在性.

與文[6]類似，模型(5)人類部分的地方病平衡點(diǎn)可以表示為：

這里K1=1-θhηhγh/(μh+γh) (μh+δh+ηh)(μh+θh)>0. 令K2=

對(duì)于蚊子部分，我們有:

(10)

于是，由(2)和(3)式 ，有：

(11)

3 數(shù)值模擬

以下給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)例來(lái)驗(yàn)證上述理論結(jié)果，并分析不育蚊子對(duì)瘧疾傳播的影響.

例1 選取參數(shù)a=3,μv=0.2,μg=0.1,ξv=0.5,ξg=0.4,b=0.3,Λh=20,μh=0.12,θh=0.5,δh=0.5,γh=0.6,ηh=0.7,γv=0.7,r=21,βh=0.2,βv=0.3．通過(guò)計(jì)算可得模型(5)在無(wú)病平衡點(diǎn)的基本再生數(shù)R0=1.0628>1,因此存在一個(gè)局部漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)(30.8441,35.1719,15.9872,18.0501,4.9968,3.7254,13.0391,0.7181)，如圖1所示.

圖1 模型(5)的地方病平衡點(diǎn)Fig.1 Endemic equilibrium of model (5)

例2 選取與例1相同的參數(shù)除了b=0.6.在引入不育蚊子前，由文[6]中給出的模型(2)的基本再生數(shù)公式，可得模型(2)的基本再生數(shù)R0=1.477>1，因此疾病會(huì)傳播，如圖2所示.當(dāng)引入不育蚊子后，并且不育蚊子的釋放率b=0.6時(shí)，基本再生數(shù)減少到R0=0.7161<1，那么疾病最終會(huì)滅絕，如圖3所示．

圖2 模型(2)中染病的人和蚊子的數(shù)量Fig.2 The infective humans and mosquitoes population in model (2)

通過(guò)對(duì)模型(5)的理論分析和數(shù)值模擬可看出，引入不育蚊子后模型的基本再生數(shù)會(huì)降低，這意味著釋放不育蚊子會(huì)使疾病變得更容易控制，而且可以證明基本再生數(shù)R0是不育蚊子釋放率b的減函數(shù)，即R0會(huì)隨著b的增加而減少，因此可以通過(guò)調(diào)節(jié)b使得基本再生數(shù)小于1，從而控制疾病的發(fā)生．另外，由于無(wú)病平衡點(diǎn)E0總是局部漸近穩(wěn)定的，所以如果初始時(shí)刻野生蚊子的數(shù)量非常少，那么疾病也不會(huì)傳播.

圖3 模型(5)中染病的人和蚊子的數(shù)量Fig.3 The infective humans and mosquitoes population in model (5)

最后，在數(shù)值模擬的過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)模型(1)和模型(5)都可能會(huì)產(chǎn)生后向分支，這使得疾病的控制變得更加復(fù)雜，相關(guān)問(wèn)題我們后續(xù)將做進(jìn)一步的研究.

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[4] Barclay J, Mackuer M. The sterile insect release method for pest control: A density dependent model[J]. Environ Entomol,1980,9:810-817.

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Analysis of a Malaria Transmission Model with Sterile Mosquitoes

Yin Hongyan, Jiang Xiang

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

On the basis of a simple SEIR malaria transmission model, a malaria transmission model with sterile mosquitoes was established. The existence and local stability of the infection-free equilibrium were analyzed, the formula of the reproductive number was derived, and the existence of an endemic equilibrium was proved. At last, numerical simulations were carried out to illustrate the theoretical results.

sterile mosquitoe; malaria transmission; stability; reproductive number; endemic equilibrium

2016-09-07

殷紅燕(1978-)，女，講師，研究方向：微分方程定性理論、分支理論，E-mail: yhy781028@163.com

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZQ13016)

O175

A

1672-4321(2016)04-0137-05