淺談初中生解幾何題能力的培養(yǎng)

陳言光

摘 要： 作者舉中考例題通過(guò)解題四個(gè)環(huán)節(jié)：審題、探路、書(shū)寫(xiě)和反思，淺談初中生解幾何題能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞： 解題能力 幾何題 培養(yǎng)方法

一道初中幾何題不但考查基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，還考查數(shù)學(xué)思想、方法，考查學(xué)生的解題能力。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生學(xué)習(xí)幾何問(wèn)題用的時(shí)間很多，做的題目也很多，但是收到的效果卻不理想，究其原因是他們總是就題論題，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，事倍功半，顯示出學(xué)生解題能力低下，因此教師在初中生解幾何題能力方面需要加強(qiáng)培養(yǎng)，根據(jù)教學(xué)大綱要求，以及觀察初中生解幾何題時(shí)的意識(shí)、習(xí)慣等，筆者淺談初中生解幾何題能力培養(yǎng)方法：

一、審題

審題要求初中生做什么？怎么做？一道幾何題總有若干已知條件和待求解結(jié)論，通常還配備幾何圖形，于是，在審題過(guò)程中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生做到以下幾點(diǎn)：第一，從題干條件中抓住概念、性質(zhì)，讀懂題中線段、角的有關(guān)數(shù)據(jù)及各種位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，關(guān)注特殊的點(diǎn)、直線、射線等，結(jié)合圖形與題目條件結(jié)論進(jìn)行觀察對(duì)照，使題意與圖形在學(xué)生印象中正確對(duì)應(yīng)統(tǒng)一。第二，從已有概念、性質(zhì)進(jìn)行基本相關(guān)聯(lián)想，明晰已有線段、角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，將已知條件和待求結(jié)論結(jié)合，從復(fù)雜圖形中分解出基礎(chǔ)幾何圖形，必要時(shí)根據(jù)題意重新畫(huà)圖幫助理解。第三，有些幾何題有許多后續(xù)小題，不同小題之間除了原主題干條件相同，前提條件未必相同;相同題干條件下的前面小題的結(jié)論又可以作為后續(xù)小題的條件。第四，遇上復(fù)雜題目，為把握命題者意圖，學(xué)生應(yīng)該將題目多讀幾次，最好逐字逐句分析題意，抓住關(guān)鍵字詞深入思考，挖掘隱含條件，為后續(xù)解題思路探究鋪平道路，避免“滑過(guò)現(xiàn)象”，不可由于審題不認(rèn)真、不完整導(dǎo)致解題不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至無(wú)從下手。

例1（江西省2016）22.（圖形定義）：如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O，連接AO，我們稱(chēng)AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P，連接PO，我們稱(chēng)∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”.

探究證明：

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個(gè)證明：“疊弦三角形”（即△AOP）是等邊三角形;

（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′.

歸納猜想：

（3）圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為_(kāi)___________________________，__________________________;

（4）圖n中，“疊弦三角形”__________________________等邊三角形（填“是”或“不是”）;

（5）圖n中，“疊弦角”的度數(shù)為_(kāi)_________________________（用含n的式子表示）.

粗略地看，題目條件涉及“疊弦”、“疊弦角”、“疊弦三角形”三個(gè)新概念，其實(shí)際是舊知識(shí)，由“將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O，連接AO”可以在圖形中，找出旋轉(zhuǎn)前后兩圖形的相對(duì)位置，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及正n邊形的各邊相等、各角相等且等于（n-2）×180°÷n，在圖1中明確AD=AD′，∠D=∠D′=90°，由旋轉(zhuǎn)60°知道各對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成角為60°，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段相等，在圖1中明確∠DAD′=60°。根據(jù)“再將‘疊弦AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P，連接PO”這個(gè)條件，學(xué)生容易忽視“AO所在的直線”，從而簡(jiǎn)單認(rèn)為點(diǎn)P與點(diǎn)O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，輕易得出AP=AO，這就是典型的“滑過(guò)現(xiàn)象”，目前只有∠OAP=60°是明了的，而AP=AO是否相等憑直覺(jué)成立，但需要嚴(yán)格推理驗(yàn)證，由此可見(jiàn)，本題很考驗(yàn)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。條件“△AOP為‘疊弦三角形”考查學(xué)生理解其產(chǎn)生過(guò)程及識(shí)圖能力。從第（1）問(wèn)中，學(xué)生應(yīng)能聯(lián)想起等邊三角形的判定定理。第（2）問(wèn)證角相等，學(xué)生除了識(shí)別角的位置，認(rèn)識(shí)到角與相關(guān)元素的位置及數(shù)量關(guān)系，及第（1）、（2）問(wèn)是相同題干，第（1）問(wèn)中的所有結(jié)論可作為第（2）問(wèn)的前提條件。第（3）問(wèn)求角度，（1）、（2）、（3）三問(wèn)發(fā)現(xiàn)都涉及圖2，由此，也可以考慮首選圖2解決問(wèn)題，那么圖1、3、4應(yīng)當(dāng)是為幫助理解第（4）、（5）的幾何題規(guī)律，便于歸納總結(jié)規(guī)律而增加的從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的圖例。這樣，學(xué)生就把握了題意，為探究幾何題的解題思路奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、探路

學(xué)生在分析題意，探尋解題思路的過(guò)程中應(yīng)該做些什么？怎么做？筆者認(rèn)為幾何題以題型而論，可謂種類(lèi)繁多，幾何題的解題思路需要學(xué)生多次探尋，往往也是柳暗花明、精彩紛呈，但多數(shù)幾何題的求解或求證，其思路不外乎建立題目已知條件（甚至隱含條件）與所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此，如何將它們聯(lián)系起來(lái)，是確定解題思路的關(guān)鍵。有些幾何題相對(duì)簡(jiǎn)單，只要根據(jù)概念、性質(zhì)等知識(shí)分析其已有條件，就可以很快與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，另有些題目，需要學(xué)生將條件與條件結(jié)合推理，產(chǎn)生的結(jié)論結(jié)合其他條件再推理，同時(shí)將所求結(jié)論不斷轉(zhuǎn)化，使條件推導(dǎo)得出的結(jié)論不斷向所求結(jié)論靠攏，所求結(jié)論的轉(zhuǎn)化不斷向已有結(jié)論逼近，直至它們?cè)谀硞€(gè)點(diǎn)上聯(lián)系起來(lái)，從而確立解題思路。這就要求學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)幾何圖形的概念，性質(zhì)，并且很清楚它們對(duì)應(yīng)的結(jié)論。當(dāng)解題思路受阻時(shí)，用所學(xué)知識(shí)將條件、結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，并在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)上“連接起來(lái)”，從而打開(kāi)解題的思維通道，明確解題的思考方向，契合“數(shù)學(xué)問(wèn)題一般都是運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決”的轉(zhuǎn)化思想。

例1的思路分析：第（1）問(wèn)是判定“疊弦三角形”（即△AOP）是等邊三角形，結(jié)合已知∠OAP=60°，聯(lián)想到等邊三角形判定定理“有一個(gè)60°角的等腰三角形是等邊三角形”，接著會(huì)想到的是△AOP的哪兩條邊相等？結(jié)合“AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到線段AP”，會(huì)聯(lián)想到AO=AP，但是這兩條線段不能直接相等，需要嚴(yán)格證明，以圖1為例，旋轉(zhuǎn)∠DAD′=∠OAP=60°，得到∠DAP=∠D′AO，四邊形ABCD是正四邊形，可知AD=AD′，∠D=∠D′=90°，兩者結(jié)合得△APD≌△AOD′（ASA），到此已經(jīng)將題目條件與所求證結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，問(wèn)題得解。第（2）問(wèn)求證：∠OAB=∠OAE′結(jié)合題目已知與第（1）問(wèn)中的結(jié)論，容易有兩種常見(jiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化：①證∠OAB=∠EAP，②證△AOB≌△AOE′。思路（一）：第①思路結(jié)合已有圖形易聯(lián)系起來(lái)轉(zhuǎn)化求證△AOB≌△APE，結(jié)合已有直接證明顯得困難，但由第（1）問(wèn)易得△APE≌△AOE′，兩者合并到思路②，分析已有條件，發(fā)現(xiàn)欠缺O(jiān)B=OE′，觀察OB、OE′是邊BC，D′E′的一部分，且BC=D′E′，于是問(wèn)題再次轉(zhuǎn)化為求證OC=OD′，又會(huì)有兩個(gè)方向：ⅰ）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，ⅱ）等角對(duì)等邊，先探索?。?，連接AC、AD′，構(gòu)造出△AOC和△AOD′，卻依然沒(méi)有全等的足夠條件，但可發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC=AD′，思路到此告一段落，接著探索思路ⅱ），必須連接CD′，要直接得到∠OCD′=∠OD′C，那是困難的，此時(shí)結(jié)合思路ⅰ）已有的AC=AD′，可以得到∠ACD′=∠AD′C，于是只需∠ACO=∠AD′O，由直覺(jué)可以發(fā)現(xiàn)只需△ACB≌△AE′D′，到此，已知條件與所求證結(jié)論在△ACB≌△AE′D′這個(gè)點(diǎn)上建立了聯(lián)系，整個(gè)解題思路連貫起來(lái)，問(wèn)題得證。思路（二）：第①思路結(jié)合已有圖形易聯(lián)系起來(lái)轉(zhuǎn)化求證△AOB≌△APE，直接證明欠缺條件，轉(zhuǎn)而考慮∠PAE=∠OAB亦可，結(jié)合圖形易感覺(jué)△AOB和△APE存在軸對(duì)稱(chēng)，這就意味著可以在這兩個(gè)三角形周邊構(gòu)造全等三角形，解題策略的通法是將題目中分散的條件集中起來(lái)，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.得到Rt△AEM和Rt△ABN，以及Rt△APM和Rt△AON，結(jié)合以上條件易證這兩對(duì)三角形分別全等，推出∠EAM=∠BAN及∠PAM=∠OAN，得證∠PAE=∠OAB，從而解題思路貫通。第（3）問(wèn)求角的大小，只需結(jié)合以上結(jié)論與多邊形內(nèi)角和定理，就可以解決問(wèn)題。第（4）問(wèn)可用歸納法，也可以參照以上證法證明之。第（5）問(wèn)同理第（4）問(wèn)。

三、書(shū)寫(xiě)

在學(xué)生經(jīng)過(guò)認(rèn)真審題、確定解題思路后，接著就是按照規(guī)范的解題格式進(jìn)行書(shū)寫(xiě)。學(xué)生在書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程中存在字跡潦草、審題不認(rèn)真、思維混亂、說(shuō)理無(wú)據(jù)、思路不清晰、推理不嚴(yán)密、解后不檢查等現(xiàn)象，由此可見(jiàn)，教師培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的書(shū)寫(xiě)解幾何題格式很必要，書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程要做到表達(dá)清楚，層次分明，結(jié)論明確，論據(jù)充分，目的明確，說(shuō)服有力，說(shuō)理有據(jù)，做到嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密、滴水不漏、環(huán)環(huán)相扣、無(wú)懈可擊。第一，教師應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三者之間轉(zhuǎn)化的能力，該能力是準(zhǔn)確讀懂題目、圖形，造成對(duì)條件、結(jié)論、圖形的正確識(shí)別、理解、轉(zhuǎn)換、組織、表達(dá)的必備條件，教師在學(xué)生探究幾何基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，有意識(shí)地將一個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為幾何模型讓學(xué)生清楚把握結(jié)構(gòu)，將每一個(gè)幾何模型中的三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換做到滾瓜爛熟的地步。第二，要求學(xué)生用嚴(yán)格的格式、準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程，教師檢查學(xué)生的解題過(guò)程，反饋檢查結(jié)果，學(xué)生及時(shí)總結(jié)錯(cuò)誤并訂正，理清書(shū)寫(xiě)要點(diǎn)，歸納解題步驟及注意事項(xiàng)。書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程是學(xué)生理解題意，表達(dá)思維過(guò)程的外在表現(xiàn)形式，書(shū)寫(xiě)的過(guò)程更是學(xué)生思維提煉、升華的過(guò)程，理解事物本質(zhì)、抽象概括的過(guò)程，是積累研究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)的重要途徑，因此，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)訓(xùn)練。

例1解：（1）如圖1∵四邊形ABCD是正方形，

由旋轉(zhuǎn)知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°

∴∠DAP=∠D′AO，

∴△APD≌△AOD′（ASA）

∴AP=AO，又∠OAP=60°，∴△AOP是等邊三角形.

（2）法（一）：如右圖1，連接AC，AD′，CD′，

∵AE′=AB，∠B=∠E′=108°，E′D′=BC，

∴△ABC≌△AE′D′，∴AC=AD′，∠ACB=∠AD′E′，

∴∠AD′C=∠ACD′，∴∠OD′C=∠OCD′，∴OC=OD′，

∴BC-OC=E′D′-OD′，即OB=OE′，

∵AB=AE′，∠B=∠E′，∴△AOB≌△AOE′，∴∠OAB=∠OAE′.

法（二）：如右圖2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五邊形ABCDE是正五邊形，

由旋轉(zhuǎn)知：AE=AE′，∠E=∠E′=108°，

∠EAE′=∠OAP=60°

∴∠EAP=∠E′AO，

∴△APE≌△AOE′（ASA）

∴∠OAE′=∠PAE.

在Rt△AEM和Rt△ABN中，

∠M=∠N=90°∠AEM=∠ABN=72°AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABN（AAS）

∴∠EAM=∠BAN，AM=AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AOAM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）.

∴∠PAM=∠OAN，

∴∠PAE=∠OAB，

∴∠OAE′=∠OAB（等量代換）.

（3）15°，24°

（4）是

（5）∠OAB=[（n-2）×180°÷n-60°]÷2=60°-180°/n

四、反思

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力。學(xué)生在解決一道幾何題后應(yīng)該反思什么？教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題目涉及的知識(shí)點(diǎn)、題型結(jié)構(gòu)、類(lèi)型、條件與結(jié)論的關(guān)系、題目考察的能力、數(shù)學(xué)思想方法、解題思路的探索、解法的多樣性、書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性等角度進(jìn)行反思。如對(duì)例1可做如下反思：本題是綜合性較強(qiáng)的一道中考題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有正n邊形的概念、性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)，全等三角形的判定、性質(zhì)，等腰三角形的判定、性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和公式等。本題屬于探究型幾何題，題干條件復(fù)雜抽象，文字繁多，不易理解，條件容易被忽視，使得推理不嚴(yán)密，條件與結(jié)論看似容易聯(lián)系，其實(shí)隱含的聯(lián)系方式卻相當(dāng)難找，由此可見(jiàn)本題考查學(xué)生文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三者之間的轉(zhuǎn)換能力，識(shí)圖能力，認(rèn)真審題習(xí)慣，嚴(yán)密推理的邏輯思維能力，合情推理能力，觀察分析解決問(wèn)題能力等。本題主要考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，從特殊到一般的思想，體現(xiàn)在將所求解（或求證）結(jié)論的等價(jià)轉(zhuǎn)化，從正四邊形、正五邊形等一直到正n邊形的求角的大小，同時(shí)以上思想就是本題的破解策略，通過(guò)條件、結(jié)論的各自轉(zhuǎn)化，最終在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)上建立聯(lián)系，從而使解題思路得以貫通?？赡艹鲇谥锌歼@種限時(shí)考察全科的因素，本題書(shū)寫(xiě)規(guī)范要求相對(duì)降低，如后三個(gè)小題以填空形式出現(xiàn)，但學(xué)生在平時(shí)此類(lèi)型題目的求解訓(xùn)練過(guò)程中，可以考慮書(shū)寫(xiě)，用于訓(xùn)練學(xué)生的嚴(yán)格書(shū)寫(xiě)格式盡量簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)內(nèi)容，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯推理能力。本題拓展了解法，兩法值得學(xué)生借鑒。在本題解答過(guò)程中，學(xué)生還可能將“圖n”中的n理解為正多邊形的變數(shù)，從而產(chǎn)生錯(cuò)解，因此學(xué)生應(yīng)注意數(shù)字與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。進(jìn)行解后反思有助于學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，優(yōu)化解法，達(dá)到事半功倍的效果，在已有的基礎(chǔ)上突破、延伸、創(chuàng)新，以應(yīng)對(duì)未知的難題。

最后，教師不可能只利用極少數(shù)例子和練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供足夠多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生視野得以開(kāi)闊，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程充滿豐富多彩的觀察、嘗試、歸納、概括的思維活動(dòng)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中以問(wèn)題為載體，感悟數(shù)學(xué)思維，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，學(xué)生獲取知識(shí)的同時(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（6）：26-28.