在高中數(shù)學中滲透“解題差異論”的實踐研究

羅增儒教授在文[1]中提出了“解題差異論”，他認為解題的過程就是消除已知（條件）與未知（結(jié)論）之間差異的過程.消除的方向可以是化已知（條件）為未知（結(jié)論），也可以是化未知（結(jié)論）為已知（條件）.消除的內(nèi)容，宏觀上包括：消除一般與特殊之間的差異，消除整體與局部之間的差異，消除數(shù)與形之間的差異，消除動與靜之間的差異，消除曲與直之間的差異，消除高與低之間的差異，消除多與少之間的差異等等；微觀上包括：消除題目中所出現(xiàn)元素的差異，消除元素間所存在的數(shù)量特征的差異，消除數(shù)學對象的關(guān)系特征、位置特征的差異等.[1]

在三角函數(shù)的實際教學中我們發(fā)現(xiàn)，雖然公式多，知識點也多，但課本里的知識點是不難的，很多學生聽得懂，看得懂，就是不會做.曾有學生說，自己已經(jīng)這么用功了，公式也記得很熟了，但在解題時，就是不會，不知公式該如何用.常常拿著題目一籌莫展，找不到解題的突破口，在考試中有些學生雖然最終做出了，但是在思考的時候走了彎路花費了大量時間，這顯然不利于時間緊迫的數(shù)學考試.筆者認為主要原因是不會找種種差異，或見到差異不能作出反應(yīng).或是不善于把目標差異的逼近積累起來.

筆者結(jié)合理論在高三復(fù)習中進行實踐，收到了比較好的效果，下面通過歸類說明如何在三角函數(shù)中滲透“解題差異論”.

1辨析邊角的差異

例1（2016年高考全國卷乙）△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.（1）求C；

分析我們可以觀察到已知的等式中有邊有角，為了消除這種差異，我們可以嘗試化邊為角，當然也可以化角為邊.

解法一：由已知及正弦定理得，

2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

2cosCsin（A+B）=sinC，故2sinCcosC=sinC.

可得cosC=12，所以C=π3.

法二：由余弦定理可得，2a2+b2-c22ab（aa2+c2-b22ac+bc2+b2-a22cb）=c，

化簡整理得，a2+b2-c2=12ab，即C=π3.

評注按照“解題差異論”的觀點是消除差異，具體到題目中我們可以把式子統(tǒng)一化為角或者邊.

例2（2011年高考全國卷Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A-C=90°，a+c=2b.求C.

分析題目條件中有邊a，b，c，和角A，B，C，而目標只有C，所以消除題設(shè)與目標的邊角差異是解題關(guān)鍵，為此先化邊為角再消去A，B.

解因為A-C=90°，所以sinA=sin（90°+C）=cosC，因為a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，sinA+sinC=2sin（A+C），cosC+sinC=2sin（90°+2C），即cosC-π4=cos2C.因為A，B，C是△ABC的內(nèi)角，A-C=90°，所以0°0，所以C-π4=2C或C-π4=-2C，所以C=π12.

評注今年的高考題這種類型很多，如果考生腦海中有這種理論作為指導(dǎo)，則可以大大縮短思考時間，迅速解題.如：

（2016年四川理科）（本小題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且cosAa+cosBb=sinCc.

（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b2+c2-a2=65bc，求tanB.

（2016年浙江）（本題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b+c=2acosB.

（Ⅰ）證明：A=2B；

（Ⅱ）若△ABC的面積S=a24，求角A的大小.

2辨析函數(shù)名的差異

例3（2015年廣東）已知tanα=2.

（1）求tan（α+π4）的值；

（2）求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.

分析我們只研究第二問.

（2）已知的是正切，而要求的是正、余弦，按照“解題差異論”的觀點是消除差異，具體到題目中我們可以把所求的式子統(tǒng)一化為正切，然后代入已知即可.或者把已知化為正余弦的關(guān)系式，然后代入所求即可.于是就馬上得到了兩種解法.

解法一：sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1

可得

4cos2α4cos2α+2cos2α-2cos2α=44=1.

評注已知是正切，目標是關(guān)于正余弦的齊次式，就可以利用“弦化切”或者“切化弦”的消除差異的方法來求解.能識別這種差異，常常有助于找到問題的切入口，迅速解題.

例4（2016年江蘇）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值為

分析不少學生拿到這題，不知從哪里下手，完全沒有思路.事實上，我們觀察到已知與所求中函數(shù)名的差異，可以嘗試消除這種差異.

解由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（1），由三角形ABC為銳角三角形，則cosB>0，cosC>0，在（1）式兩側(cè)同時除以cosBcosC可得

tanB+tanC=2tanBtanC，

又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=

-tanB+tanC1-tanBtanC（2），則tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得

tanAtanBtanC=-2（tanBtanC）21-tanBtanC，

令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，由（2）得1-tanBtanC<0，解得t>1.

tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t，1t2-1t=1t-122-14，由t>1得0>1t2-1t≥-14，因此tanAtanBtanC的最小值為8，當且僅當t=2時取到等號，此時tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+2，tanC=2-2，tanA=4（或tanB，tanC互換），此時A，B，C均為銳角.

評注目前高考中此類題型很多，如：

（2016年高考全國卷丙）若tanα=34，則cos2α+2sin2α=（）

A.6425B.4825C.1D.1625

（2016年山東理科）（16）（本小題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA，

（Ⅰ）證明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值.

3辨析角的差異

例5（2012年江蘇卷）設(shè)α為銳角，若cosα+π6=45，則sin2α+π12的值為.

分析不少學生拿到題目后，直接把sin2α+π12展開或者把cosα+π6展開，然后就發(fā)現(xiàn)沒有辦法做出來.事實上，我們分析已知與所求之間角的差異，可以嘗試把α+π6看成一個整體，把sin2α+π12里的2倍角提取出來消除差異，

即sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α+π6-π4.

解由條件得sinα+π6=35，從而sin2α+π6-π4=2425，cos2α+π6-π4=2×1625-1=725，

從而sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α+π6-π4=2425×22-725×22=17250.

例6[2]（2008年山東卷）已知cosα-π6+sinα=435，則sinα+7π6的值是（）.

A.-235B.235C.-45D.45

分析題目中有α-π6，α+7π6的三角形式，而要求的是α+7π6的正弦，這是差異.注意到π6，7π6都是特殊角，因此可以將α-π6，α+7π6的三角函數(shù)化成α的三角函數(shù)形式.

解cosα-π6+sinα=32cosα+32sinα=435，12cosα+32sinα=45，sinα+7π6=-sinα+π6=-32sinα+12cosα=-45.

評注通過觀察差異，將α-π6，α+7π6的三角函數(shù)化成α的三角函數(shù)形式，這是求解本題的關(guān)鍵.

4辨析次數(shù)的差異

例7（2014年高考山東卷）函數(shù)y=32sin2x+cos2x的最小正周期為 .

解y=32sin2x+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin2x+π6+12，所以T=2π2=π.

評注我們?nèi)菀子^察發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達式前后存在次數(shù)的差異，因此可以把前面的升冪或者后面降冪，顯然后面的降冪比較容易，從而消除差異.

例8（2014年高考重慶）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+b+c=8.

（Ⅰ）若a=2，b=52，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC，且△ABC的面積S=92sinC，求a和b的值.

解析（Ⅰ）cosC=-15，我們只研究第（Ⅱ）問.

我們發(fā)現(xiàn)已知中sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC次數(shù)的差異，可以考慮通過降冪來消除這種差異，由sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC可得：

評注我們在分析差異時，也要考慮消除了這個差異，會不會引起新的差異？當然我們允許產(chǎn)生新的目標差異，但總趨勢應(yīng)是縮小目標差異的.

“解題差異論”可以說就從分析目標差異入手，向著減少目標差的方向前進.我們主要是從問題的條件和結(jié)論中出現(xiàn)的數(shù)量特征、關(guān)系特征、位置特征去尋找目標差異.一旦找出題目的目標差就主動做出減少目標差的反應(yīng)，目標差隨著解題的推進時刻發(fā)生著變化，因此減小目標差的調(diào)節(jié)要一次一次地發(fā)揮作用，這需要時刻去發(fā)現(xiàn)和尋找目標差，從而最終達到減少目標差的目的.以差異分析為鑰匙，循序漸進地打開解題思路之門，真正做到讓解法來的更自然些[3].

參考文獻

[1]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2008.

[2]耿道永.運用差異分析解決三角問題[J].高中生之友，2008（11）：28-31.

[3]耿合眾.差異分析：讓解法來得自然些[J].中學數(shù)學教學參考，2015（29）：33-34.

作者簡介李曉波，數(shù)學專業(yè)碩士研究生，廣東惠州學院校外指導(dǎo)老師，廣東教育學會會員，