坡角多大，圓柱體在水平面滾得最遠(yuǎn)

王偉民

【摘要】分析沿斜面往下滾動圓柱體的受力情況.用求導(dǎo)的方法，分別探究在不計(jì)空氣摩擦阻力、以及考慮空氣阻力時，從確定長度的斜面上下滾至水平面的圓柱體，在水平面向前滾動的最遠(yuǎn)距離所對應(yīng)的斜面坡角.

【關(guān)鍵詞】圓柱體；斜面；阻力；水平面；極大值

蘇教版四年級《數(shù)學(xué)》上冊第二章“角”，有一“社會實(shí)踐課”板塊，課題為“怎樣滾得遠(yuǎn)”，內(nèi)容是讓同一個圓柱體從固定長度的斜面頂端自由滾下，改變斜面與水平面的夾角（即坡角），探究坡角多大時，圓柱體在水平面上向前滾動的距離最遠(yuǎn).

教科書通過坡角分別為三個特殊值——30°、45°及60°的情形相比對，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，自己總結(jié)出“坡角為45°時，圓柱體在水平面上滾動的距離最長”的結(jié)論.

應(yīng)該講，這樣的結(jié)論有點(diǎn)讓人匪夷所思.

如果斜面和圓柱形物體都很堅(jiān)硬，圓柱體沿斜面向下滾動時，所受斜面的摩擦阻力應(yīng)該非常小.按說，在忽略空氣阻力和斜面摩擦阻力的情況下，沿斜面下滾的圓柱體機(jī)械能守恒，理論上應(yīng)該是斜面越陡，斜面高度便越大，同一圓柱體放在斜面頂端時所具有的重力勢能就越大，圓柱體下滾至水平面時的速度也就越大，因此在水平面上向前滾動的距離應(yīng)該越遠(yuǎn).那么，為什么會出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與理論推導(dǎo)如此相悖的現(xiàn)象呢？斜面坡角到底多大時，圓柱體在水平面滾動的距離最遠(yuǎn)？

因?yàn)樵谒矫嫔舷蚯皾L動的圓柱體受到地面恒定的摩擦阻力，和與速度大小有關(guān)的空氣阻力，所以，同一個圓柱體在水平地面向前滾動的距離，取決于圓柱體在水平面的初速度.

如果斜面與水平地面的連接是幾何中圓弧與直線的連接，那么，圓柱體從斜面過渡到水平面的過程便沒有能量損失，結(jié)果應(yīng)該是斜面越高，圓柱體在水平面獲得的水平初速度越大；如果斜面與水平面是兩平面相交，那么，當(dāng)圓柱體沿斜面下滾至水平面時，就會和水平地面相撞，撞擊的過程必然伴隨著能量的損失.從課本提供的實(shí)驗(yàn)器材來看，圓柱體的運(yùn)動應(yīng)該屬于后面的一種情形.

考慮圓柱體與地面相撞過程中的能量損耗，我們定量分析斜面與水平面的夾角多大時，從固定長度的斜面頂端滾下的圓柱體，在水平面上獲得的水平初速度最大.圖1如圖1所示，一圓柱體從長l、高h(yuǎn)，坡角為θ的斜面頂端自由滾下，不考慮斜面的摩擦阻力，設(shè)圓柱體截面半徑為R，且R遠(yuǎn)小于斜面長l，為方便討論，我們假設(shè)圓柱體的質(zhì)量均勻分布在圓柱體的側(cè)面上（就像一個圓筒）——當(dāng)然，這種假設(shè)僅僅是為了研究問題的方便，可以證明（后面給出了證明），即便圓柱體質(zhì)量不是均勻分布在它的側(cè)面，而是集中在它的軸心處，或者均勻分布于整個圓柱體，都不會影響定量分析的結(jié)果——斜面與水平面的夾角均為某一定值時，圓柱體在水平面上滾動的距離最遠(yuǎn).

圓柱體從斜面頂端下滾至斜面底端剛要和地面相撞時，不僅具有平動動能，而且還具有轉(zhuǎn)動動能，由于圓柱體的質(zhì)量均勻分布在側(cè)面上，所以平動動能與轉(zhuǎn)動動能等值.設(shè)圓柱體下滾至斜面底端時，速度為v，由機(jī)械能守恒定律得：

mgh=12mv2+12mv2，（1）

所以v=gh=glsinθ.

滾至斜面底端的圓柱體在與水平地面相撞的過程中，圓柱體的轉(zhuǎn)動動能及水平向前的平動動能沒有損耗，而豎直向下的平動動能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能（將沒有轉(zhuǎn)動的圓柱體從高空釋放讓其自由下落，落在水平面跟地面相撞之后，它不會有任何方向的水平速度，若圓柱體沒有被彈起，它所具有的機(jī)械能將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能）.

設(shè)圓柱體剛接觸水平地面時，平動速度的水平分量為vx，鉛直分量為vy，則有：

vx=vcosθ=glsinθcosθ（2）

由于撞擊過程中，圓柱體的水平平動動能和轉(zhuǎn)動動能沒有損耗，所以，圓柱體在水平面上運(yùn)動的水平初速度仍為vx.

不考慮空氣阻力的情況下，在水平地面上向前滾動的圓柱體，所具有的動能（包括平動動能及轉(zhuǎn)動動能）因克服地面的摩擦阻力全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能時，才會停下來.所以，剛至水平地面的圓柱體，水平初速度vx越大，其水平平動動能就越大，轉(zhuǎn)動動能也越大，不用說，圓柱體在水平地面上向前滾動的越遠(yuǎn)（考慮水平面上運(yùn)動的圓柱體所受空氣阻力，結(jié)論是一樣的——水平初速度vx越大，圓柱體在水平面上滾動的越遠(yuǎn)）.所以，我們只要能夠確定坡角θ多大時，水平初速度vx有極大值即可.由于圓柱體滾至斜面底端與水平地面撞擊之后，水平初速度不可能小于0，因此，v2x有極大值時，vx便有極大值.

因?yàn)関x=glsinθcosθ，

所以v2x=glsinθcos2θ.

所以（v2x）′=gl[cos3θ+sinθ·2cosθ（-sinθ）]=glcosθ（cos2θ-2sin2θ）

=glcosθ（1-3sin2θ）.

令（v2x）′=0，有cosθ（1-3sin2θ）=0.

解得：θ1=π2，θ2=arcsin33.

當(dāng)θ1=π2時，斜面坡角為直角，斜面垂直于水平地面，圓柱體從“斜面”（此時的斜面已經(jīng)不能稱之為斜面了，所以我們對“斜面”二字加了引號）頂端自由釋放后將不再滾動，而是作自由落體運(yùn)動，落至地面后在撞擊過程中，圓柱體所具有的動能將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能而靜止，所以，θ1=π2的情況不符合圓柱體在水平地面滾動最遠(yuǎn)的情形，應(yīng)舍去.

由于θ=0時v2x=glsinθcos2θ=0，而在0<θ<π2范圍內(nèi)glsinθcos2θ恒大于0，且函數(shù)v2x=glsinθcos2θ在該區(qū)間只有一個駐點(diǎn)，故當(dāng)θ2=arcsin33時，v2x最大.

這樣看來，在不考慮沿斜面下滾的圓柱體所受斜面摩擦阻力和空氣阻力的情況下，當(dāng)斜面與水平面的夾角為arcsin33時（約為35°），從斜面上滾下的圓柱體在水平地面上向前滾動的距離最遠(yuǎn).

上面的推理我們采用的特殊情形（即圓柱體的質(zhì)量均勻分布于圓柱體的側(cè)面上）在理想狀況下（即沿斜面下滾的圓柱體不受阻力）的結(jié)果，那么，一般圓柱體在斜面上向下滾動并且受阻力時情形又將如何？

1.如果圓柱體的質(zhì)量不是均勻分布在它的側(cè)面上，等式（1）右邊的第二項(xiàng)將變?yōu)閗12mv2（k為常數(shù)，0≤k<1），比如質(zhì)量集中在圓柱體軸心處時，k=0.而k大小的改變，只影響等式v2x=glsinθcos2θ右邊系數(shù)的大小，關(guān)于θ三角函數(shù)的表達(dá)式不變，所以，不論圓柱體的質(zhì)量怎樣均勻分布，都不影響問題的結(jié)果，都是當(dāng)斜面與水平面夾角為arcsin33時，圓柱體在水平地面滾動的距離最遠(yuǎn).

2.考慮斜面對圓柱體摩擦阻力的影響，并假設(shè)圓柱體的質(zhì)量均勻分布（不一定分布在圓柱體的側(cè)面上，只要均勻分布即可）.

因?yàn)槟Σ磷枇φ扔趫A柱體對斜面的壓力，所以，可設(shè)摩擦阻力f=k1N=k1mgsinθ（k1為常數(shù)），圓柱體從斜面頂端滾至底端時，有

mgh-lk1mgsinθ=12mv2+k212mv2（式中的k2由圓柱體的質(zhì)量分布規(guī)律確定）

即mglsinθ-lk1mgsinθ=12mv2+k212mv2.

所以v=2gl（1-k1）1+k2sinθ.

所以vx=vcosθ=2gl（1-k1）1+k2sinθcosθ.

該式與上面的（2）式相比，等式的右邊僅僅是系數(shù)不同，關(guān)于θ三角函數(shù)表達(dá)式完全相同，所以，往后的推理與上述推理結(jié)論相同，仍然是當(dāng)坡角θ=arcsin33時，從斜面頂端滾下的圓柱體，在水平地面上向前滾動的距離最遠(yuǎn).

3.考慮向下滾動的圓柱體在斜面上受空氣阻力的影響

由于斜面對圓柱體的摩擦阻力及圓柱體本身的質(zhì)量分布都不影響問題的結(jié)果，所以，我們?nèi)匀豢梢园醋詈唵蔚那樾芜M(jìn)行分析，即按不考慮斜面的摩擦阻力，圓柱體的質(zhì)量均勻分布側(cè)面的情形分析.設(shè)在斜面上向下滾動的圓柱體所受空氣平均阻力為F（F大小與圓柱體速度有關(guān)，為簡化討論，我們先把F視為常量，認(rèn)為圓柱體沿不同坡度的斜面下滾時，所受空氣的阻力恒定），則有：

該結(jié)論是認(rèn)為沿斜面下滾的圓柱體所受空氣阻力恒定的情形下導(dǎo)出的，而實(shí)際上圓柱體在斜面上向下滾動時，斜面坡角不同，圓柱體下滾的平均速度也就不等，所受空氣的阻力當(dāng)然也不相同.如果認(rèn)為空氣對圓柱體的阻力正比于圓柱體速度的平方，那么空氣阻力對圓柱體做的功與坡角間的關(guān)系可以用積分的方法求出，但推理過程及結(jié)果的表達(dá)式很復(fù)雜，我們不再推導(dǎo).但可以確定的是，有空氣阻力的情形下，圓柱體在水平地面滾動最遠(yuǎn)距離所對應(yīng)的斜面坡角，比沒有空氣阻力時算出的坡角大.空氣對沿斜面下滾的圓柱體平均阻力與圓柱體重力之比不同，圓柱體在水平面上向前滾動最遠(yuǎn)距離時，對應(yīng)的斜面坡角也不相同.

這樣看來，如果沒有斜面上的空氣阻力，使圓柱體在水平面滾動最遠(yuǎn)時所對應(yīng)的斜面坡角，從理論上來講是一個大小不變的確定值arcsin33；而考慮下滾的圓柱體所受空氣阻力，當(dāng)圓柱體在水平面滾動最遠(yuǎn)距離時，對應(yīng)斜面的坡角大于arcsin33.所以，實(shí)驗(yàn)測量得出的結(jié)果是能夠讓人信服的.