極限思想在函數(shù)題型中的應(yīng)用

路暢通

【摘要】極限思想是用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，用好極限思想，能大大減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過(guò)程，降低解題難度，縮短解題時(shí)間，并且為今后更深層次的探究奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】極限思想 ?函數(shù) ?導(dǎo)數(shù) ?函數(shù)值域 ?最值

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2016）11-0011-02

在高中學(xué)習(xí)中，我們接觸了極限這一概念.極限在高中第一次被真正應(yīng)用是在選修2-2（理科）中，用于引入導(dǎo)數(shù).極限思想是用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。如果接觸足夠多的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)題目時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)極限的使用不僅僅局限于極限的定義，而是更為廣泛，如求函數(shù)值域、最值等。在解題過(guò)程中用好極限思想，能大大減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過(guò)程，降低解題難度.因此我認(rèn)為，有必要對(duì)極限有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

一、 求簡(jiǎn)單函數(shù)極限的方法

極限的嚴(yán)格定義我們會(huì)在大學(xué)學(xué)習(xí)，在這里我們的目標(biāo)只是求出函數(shù)某個(gè)值的極限。

（1）簡(jiǎn)單的極限題目如下：

此類題只需將值代入計(jì)算即可。

（2）還有一些極限略顯復(fù)雜，如：

，由于0不能做分母，而x=1時(shí)，x3-x=0.但 x2-2x+1與x3-x有公因式x-1，故先因式分解再約分最后代入計(jì)算：

但如果分子與分母沒(méi)有公因式呢？我們將會(huì)在第三部分一起探究。

二、運(yùn)用極限的運(yùn)算法則求一些復(fù)雜函數(shù)的極限

設(shè)，存在，且令則有以下運(yùn)算法則，

加減：

數(shù)乘：

乘除：

冥運(yùn)算

有了運(yùn)算法則，我們可以進(jìn)行一些復(fù)雜函數(shù)的極限運(yùn)算，如：

對(duì)于分子分母都是多項(xiàng)式的函數(shù)，求x→∞的極限，我們可以分子分母同除以自變量的最高次冪：

由此，我們還可以得出結(jié)論：同類題目只需比較兩個(gè)多項(xiàng)式最高次冪的系數(shù)。除此之外，還有許多不同類型的求極限題目，有不同的解題思路，如出現(xiàn)了根號(hào)，且出現(xiàn)了無(wú)窮減無(wú)窮，則可以考慮分子有理化等。

三、巧用洛必達(dá)法則，化繁為簡(jiǎn)

洛必達(dá)法則是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算或形式的極限的方法，巧用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)滿足：

以下是洛必達(dá)法則在高考中的應(yīng)用：

（2010年全國(guó)新課標(biāo)理）設(shè)函數(shù)

綜合得a的取值范圍為

原解在處理第（2）問(wèn)時(shí)較難想到，利用洛必達(dá)法則可簡(jiǎn)便處理：

由洛必達(dá)法則知

故

綜上，可知a的取值范圍為.

對(duì)恒成立問(wèn)題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中求分離出來(lái)的函數(shù)式的最值問(wèn)題有點(diǎn)麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值。

綜上所述，極限思想在我們高中數(shù)學(xué)解題中，可以起到意想不到的作用.如果我們予以重視，既可以為我們的做題提供可能更為簡(jiǎn)單的思路，也可以為我們?cè)诖髮W(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。故我們要重視極限思想，并合理的利用它，使我們做題簡(jiǎn)便，在高考中節(jié)省寶貴的時(shí)間，為今后的深層次探究奠定基礎(chǔ)。