多因素影響的易變質(zhì)品利潤最優(yōu)組合策略研究

徐文婷 徐麗群

（上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院，上海 200030）

多因素影響的易變質(zhì)品利潤最優(yōu)組合策略研究

徐文婷 徐麗群

（上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院，上海 200030）

針對易變質(zhì)商品，考慮需求依賴于銷售價格與營銷效用水平，研究了單個企業(yè)的定價、補貨周期、保鮮投入及動態(tài)營銷投入聯(lián)合決策問題。首先建立目標(biāo)企業(yè)的單位時間利潤模型，其次通過解決最優(yōu)控制問題確定動態(tài)營銷投入函數(shù)，并利用三維搜索方法得到目標(biāo)函數(shù)的近優(yōu)解。最后進行數(shù)值實驗，驗證了模型的有效性并分析相關(guān)參數(shù)的靈敏度。數(shù)值實驗表明，商品初始變質(zhì)率、營銷成本系數(shù)和補貨成本增加會引起最優(yōu)保鮮投入的增加，企業(yè)資金上限的增加最終會提高補貨周期內(nèi)的單位時間總利潤。

易變質(zhì)商品；保鮮投入；營銷投入；最優(yōu)定價；補貨周期

1 問題描述與模型假設(shè)

1.1 問題描述

本文研究的是一個生產(chǎn)加工并銷售單一易變質(zhì)食品如蛋糕餅干類零食、新鮮瓜果的電商平臺初創(chuàng)企業(yè)的利潤最優(yōu)策略問題。企業(yè)處于起步階段，需要投入營銷支出以增加市場需求；同時由于其商品具備易變質(zhì)的特點，需要投入保鮮技術(shù)投資即本文的保鮮包裝投入以降低變質(zhì)率。由于企業(yè)資金資源有限，需要同時考慮保鮮包裝投入和營銷投入，找到最優(yōu)的投資組合，并確定最優(yōu)的價格和補貨周期，實現(xiàn)補貨周期內(nèi)的單位時間總利潤最優(yōu)。具體的聯(lián)合決策關(guān)系如圖1所示。

圖1 企業(yè)的定價、補貨及投資聯(lián)合決策關(guān)系圖

1.2 模型假設(shè)

為了便于分析，進行如下幾個假設(shè)：

1.該庫存系統(tǒng)針對一種無限計劃周期的易變質(zhì)食品，且在每個周期不存在退換貨情況。

2.零售商瞬間補貨，供給提前期為0，且不允許缺貨。

3.企業(yè)投入保鮮支出，由此控制的變質(zhì)率系數(shù)θ(μ)是關(guān)于保鮮包裝投入μ的連續(xù)凸函數(shù)。

4.生產(chǎn)易變質(zhì)商品后變質(zhì)情況隨時發(fā)生。

具體符號說明如下：

K：單位訂單的補貨成本；

c：企業(yè)生產(chǎn)單位商品的生產(chǎn)成本；

w：企業(yè)在單位時間的單位庫存成本；

Q：每一周期開始階段的生產(chǎn)批量；

T：補貨周期；

p：商品的單位銷售價格，其中p＞c；

I(t)：商品在t時刻的庫存水平；

λ：企業(yè)在補貨周期內(nèi)的單位時間營銷投入；

m(t)：企業(yè)在時刻為增加市場需求而投入的營銷努力，其中m(t)＞0；

M(t)：營銷投入產(chǎn)生的營銷努力水平；

μ：企業(yè)在補貨周期內(nèi)的單位時間保鮮包裝投入，其中μ≥0；

θ(μ)：企業(yè)投入保鮮支出后商品的變質(zhì)率；

a：商品的市場基本需求；

β：商品需求對價格的敏感性系數(shù)；

γ：營銷投入推動銷售額的系數(shù)；

α：營銷投入效用水平的衰減率；

R：企業(yè)的資金上限；

Π：企業(yè)在單個補貨周期內(nèi)的單位時間總利潤。

2 模型的建立和求解

2.1 模型的建立

企業(yè)在單個補貨周期[0,T]銷售易變質(zhì)商品，確定商品的價格p，并通過營銷投入λ以控制營銷努力水平M(t)，影響商品的市場需求D(p,M(t))。根據(jù)J?rgensen可得到k為反映營銷投入邊際成本的正數(shù)參數(shù)，而企業(yè)的營銷努力m(t)可以提高營銷努力水平M(t)，參考Zhang，假設(shè)滿足下式：

根據(jù)Netessine需求函數(shù)可定義為：

企業(yè)同時為了延長商品的新鮮程度，投入單位商品保鮮包裝成本μ以降低商品變質(zhì)率，企業(yè)投入保鮮支出后商品的變質(zhì)率θ(μ)=θ0e-gμ, g≥0。由于商品在生產(chǎn)后變質(zhì)隨時發(fā)生，假設(shè)庫存的變質(zhì)情況與庫存量成一定比例，即為θ(μ)I。在每一個周期內(nèi)，商品的庫存隨著顧客需求以及部分商品的變質(zhì)而逐漸減少，在周期結(jié)束時降為0。即企業(yè)的每一補貨周期的庫存變化為：

根據(jù)符號和假設(shè)，將本文研究的企業(yè)單位時間利潤最優(yōu)問題描述為：

2.2 模型的求解

2.2.1 動態(tài)營銷努力的求解

該問題可從解決最優(yōu)控制問題開始，假設(shè)其他變量為定值，先對動態(tài)營銷努力m(t)進行求解。構(gòu)建哈密爾頓函數(shù)如下：

當(dāng)該函數(shù)取得最大值記為H*，可知對應(yīng)的影子價格λ1(t)和λ2(t)分別滿足以下伴隨方程：

另外，根據(jù)M(T)和I(0)不受限制，可得到對應(yīng)的橫截條件為λ1(0)=0，λ2(T)=0。將橫截條件作為邊界條件，可確定動態(tài)規(guī)劃問題的解和對應(yīng)哈密爾頓函數(shù)為：

其中λ1和λ2滿足：

對于最優(yōu)m*(t)，滿足H(m*(t),M(t),I(t),λ1,λ2)≥H(m(t), M(t), I(t), λ1,λ2)

命題1：當(dāng)企業(yè)的商品定價、保鮮投入，以及補貨周期一定時，其動態(tài)的營銷努力由下式?jīng)Q定：

推論1：當(dāng)μ,T一定時，最優(yōu)營銷努力m*與[t1,t2)呈現(xiàn)正相關(guān)的關(guān)系，即最優(yōu)營銷努力隨著商品價格的增加而增加。另外，當(dāng)m*(t)＞0恒成立；當(dāng)(t)=0。

證明1：當(dāng)t∈[t1,t2)時，對（10）求偏導(dǎo)可知最優(yōu)營銷努力m*與p呈現(xiàn)正相關(guān)的關(guān)系。證明2：對λ2(t)求導(dǎo)，可知當(dāng)λ2'=0時，可得易證λ2(t)在t∈[0， t*]單調(diào)遞減，在t≥t*單調(diào)遞增，即λ2(t)最小值為λ2(t*)。當(dāng)t*≥T，可得λ2(t)在t∈[0，T]單調(diào)遞減且λ2(T)=0，此時可得另外，當(dāng)λ2(0)≤0：時可得證畢。

現(xiàn)實中，當(dāng)商品的價格越來越高，其利潤高但市場需求量減少，激勵企業(yè)進行營銷投入以刺激市場需求和增加利潤；反之，當(dāng)商品價格足夠小時，市場需求足夠大，則無需投入營銷支出。

推論2：當(dāng)μ,p一定時，最優(yōu)營銷努力m*與T在[t1,t2)呈現(xiàn)負相關(guān)的關(guān)系，即最優(yōu)營銷努力隨著商品的補貨周期的增加而減少。證明略。

現(xiàn)實中，當(dāng)具有易變質(zhì)特性的商品的補貨周期越短，其激勵商家投入營銷支出以增加市場需求量并盡快賣出商品，以實現(xiàn)瞬時可變利潤最大；反之，當(dāng)T越長，商家為維持瞬時可變利潤最大而傾向減少營銷投入。

由（1）（3）和（9）和I(T)=0，Q=I(0)可依次得出M(t)和I(t)和Q，表達式如下：

最終，式（4）的優(yōu)化問題簡化成如下優(yōu)化問題：

2.2.2 最優(yōu)定價、補貨周期及保鮮投入的求解

由于目標(biāo)函數(shù)（15）涉及3個變量，無法簡單通過數(shù)學(xué)一階求導(dǎo)求解出使得Π最大的最優(yōu)解(p,T,μ)，因此采用三維搜索算法。算法步驟如下：

Step 1：i=0時，令p0,μ0,T0取隨機初值，精度參數(shù)ε＞0。

Step 2：對于給定的p0,μ0,T0，尋找最優(yōu)的m(t),M(t), I(t)和Q。運用三維搜索算法計算實現(xiàn)（15）最大的(pi, μi, Ti)，相應(yīng)的單位時間總利潤為Πi(pi,μi,Ti)。

Step 3：當(dāng)Πi+1(μi+1, pi+1,Ti+1)-Πi(μi, pi, Ti)≤ε，獲得最優(yōu)解μ*=μi+1，p*=pi+1，T*=Ti+1。算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至Step 2。

3 最優(yōu)組合策略及敏感性分析

3.1 最優(yōu)組合策略

針對本文研究的易變質(zhì)商品的利潤目標(biāo)進行數(shù)值分析，以驗證模型和算法的應(yīng)用性和有效性，并對相關(guān)參數(shù)進行敏感性分析。具體參數(shù)值見表1。利用表中的數(shù)據(jù)，進行三維搜索求解。由式(12)-(15)得到該算例的最優(yōu)解(p*,T*,μ*)=(13.429, 0.4575,36.51)，最優(yōu)生產(chǎn)量為80.666，目標(biāo)函數(shù)解為1353.2。

表1 各參數(shù)賦值

3.2 參數(shù)敏感性分析

在最優(yōu)組合策略解的基礎(chǔ)上，對主要參數(shù)進行敏感性分析，每次只改變一個參數(shù)，且改變每個參數(shù)值的幅度為-30%，-15%，15%，30%，求解對應(yīng)的最優(yōu)解(p*,T*,μ*)以及Q和π*的變化率，以便觀察參數(shù)變化的影響。結(jié)果如圖2-圖5所示。

圖2 初始變質(zhì)率θ 0對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖2可以看出，隨著初始變質(zhì)率θ0的增加，最優(yōu)的p*,T*,Q*下降，μ*上升，另外企業(yè)補貨周期內(nèi)的最優(yōu)單位時間總利潤Π*下降，反之亦然。該結(jié)果表明企業(yè)在商品初始變質(zhì)率偏大的情況下，為了控制變質(zhì)損失往往會減少生產(chǎn)量并更多地進行保鮮投入。啟發(fā)企業(yè)：在易變質(zhì)商品初始變質(zhì)率較大的情況下，應(yīng)該采取小批量多頻次生產(chǎn)，同時增加保鮮投入，以降低周期內(nèi)的商品變質(zhì)損失；另外降低銷售價格以增加市場需求，降低庫存和損耗。

圖3 保鮮投入效率系數(shù)g對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖3可以看出，隨著保鮮投入效率系數(shù)g的增加，最優(yōu)的p*先降后升，T*,Q上升，μ*先升后降，另外企業(yè)補貨周期內(nèi)的最優(yōu)單位時間總利潤Π*上升。該結(jié)果表明，過低或過高的保鮮投資效率都會抑制企業(yè)的保鮮投入。保鮮投資效率過低意味著單位商品的邊際成本過高，而保鮮投資效率過高則表示商品變質(zhì)率足夠低，企業(yè)在這兩種情況下均會選擇提高商品價格。另外，保鮮投入效率越高，補貨周期相應(yīng)越長，最優(yōu)的單位時間總利潤Π*越大。

圖4 營銷成本系數(shù)k對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖4可以看出，隨著營銷成本系數(shù)k的增加，最優(yōu)的p*，T*，Q下降，μ*緩慢上升，另外企業(yè)補貨周期內(nèi)的單位時間總利潤Π*減少。該結(jié)果表明，當(dāng)企業(yè)面臨營銷投入邊際成本增加時，會偏向于投入保鮮支出而非營銷投入，最優(yōu)補貨周期T*相應(yīng)延長；而增加的營銷成本也導(dǎo)致最優(yōu)的單位時間總利潤Π*減少。

圖5 補貨成本K對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖5可以看出，隨著補貨成本K的增加，最優(yōu)的p*，T*，μ*，Q均上升，而企業(yè)補貨周期內(nèi)的最優(yōu)單位時間總利潤Π*減少。該結(jié)果表明，當(dāng)企業(yè)面臨較高的補貨成本，一方面會選擇在一個周期內(nèi)提高生產(chǎn)批量以降低生產(chǎn)頻次和減少補貨成本，并增加保鮮包裝投入以降低商品變質(zhì)率，進而拉長補貨周期；另一方面企業(yè)傾向抬高價格來彌補補貨成本增加導(dǎo)致的利潤損失。盡管如此，企業(yè)最優(yōu)的單位時間總利潤Π*降低。

3.3 對最優(yōu)解的影響

從表2可以看出，隨著企業(yè)資金上限R的增加，最優(yōu)的p*，T*，μ*，Q均上升，最優(yōu)的單位時間總利潤Π*也相應(yīng)增加。在現(xiàn)實中，當(dāng)資金上限增加時，企業(yè)可以在一個補貨周期內(nèi)生產(chǎn)更多的商品并增加保鮮包裝支出，從而延長補貨周期，企業(yè)也能夠提高銷售價格，最終增加最優(yōu)的單位時間總利潤Π*。

表2 資源上限R對最優(yōu)策略的影響

4 結(jié)語

本文考慮了易變質(zhì)品的定價、補貨周期、保鮮和動態(tài)營銷投入聯(lián)合決策問題，其中需求依賴于商品價格和營銷投入，商品變質(zhì)率與保鮮投入相關(guān)，建立了動態(tài)營銷努力決策模型，并在此基礎(chǔ)上利用三維算法來得到最優(yōu)聯(lián)合決策。最后通過數(shù)值算例計算出最優(yōu)決策，并給出主要參數(shù)的敏感性分析，得到以下結(jié)論：

隨著商品初始變質(zhì)率的增加，企業(yè)可采取小批量多頻次生產(chǎn)，同時增加保鮮投入，以降低周期內(nèi)的商品變質(zhì)損失；另外可以降價來增加市場需求，降低庫存和損耗。隨著保鮮投入效率系數(shù)的增加，企業(yè)可以延長補貨周期并增加生產(chǎn)量，獲得更高的單位時間總利潤；另一方面，保鮮投資效率無論過低或過高，都會抑制企業(yè)的保鮮投入并促使企業(yè)提高商品價格。隨著營銷成本系數(shù)的增加，企業(yè)可轉(zhuǎn)而增加保鮮投入，延長補貨周期，同時采取降價策略以增加市場需求，彌補營銷投入過高對利潤的影響。隨著商品補貨成本的增加，企業(yè)需要增加生產(chǎn)量來降低補貨頻次并降低單位時間補貨成本，同時增加保鮮包裝投入來降低商品變質(zhì)率，并提高商品價格來彌補補貨成本上升帶來的利潤損失。隨著企業(yè)資金上限的增加，企業(yè)可以投入更多保鮮包裝支出以及營銷支出，同時增加生產(chǎn)量、延長補貨周期并提高價格，獲得更高的單位時間總利潤。

本文未考慮缺貨的情況，而現(xiàn)實中缺貨情況是很常見的。另外本文的保鮮投入是固定的，而現(xiàn)實中保鮮投入往往隨著時間推移而改變。未來可進一步研究考慮缺貨情況下的聯(lián)合決策問題，同時也可以考慮研究動態(tài)保鮮投入的庫存系統(tǒng)。

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The Optimal Portfolio Strategy Study on Perishable Product Profi t under Multifactor Infl uence

Xu Wenting Xu Liqun

This paper considers a joint pricing, replenishment, preservation technology investment and dynamic marketing investment decision problem for deteriorating items with price and marketing level sensitive demand rate. First establish a total profi t per unit time model, second determine dynamic marketing investment policy for given selling price, replenishment cycle and preservation technology cost, and then design a three-dimensional search algorithm to find the optimal solutions. Finally, a numerical example is given to illustrate the effectiveness of models and further analyze the sensitivity of relevant parameters. The result shows that the optimal preservation technology investment will increase while basic deterioration rate, marketing investment coeffi cient and replenishment cost grow. Also increased money resource constraint help improve total profit per unit time within a replenishment cycle.

Deteriorating items, preservation technology investment, marketing investment, optimal pricing, replenishment cycle

F275.4

A

1005-9679(2016)06-0044-05

徐文婷，上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院碩士生，研究方向：工商管理；徐麗群，上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：運營與供應(yīng)鏈管理，城市交通管理。