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    基本圖形:讓輔助線的添加更自然
    ——從“銳角三角函數(shù)”的單元復(fù)習(xí)課談起

    2016-12-28 12:19:32江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué)李新紅
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期
    關(guān)鍵詞:銳角三角函數(shù)銳角三角輔助線

    ☉江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué) 李新紅

    基本圖形:讓輔助線的添加更自然
    ——從“銳角三角函數(shù)”的單元復(fù)習(xí)課談起

    ☉江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué) 李新紅

    “銳角三角函數(shù)”屬于初中幾何學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容,相關(guān)題目具有一定的綜合性.于是,筆者在進(jìn)行完本章的新授課教學(xué)以后,選取了三個典型的例題,既復(fù)習(xí)了本章的核心內(nèi)容,又重點(diǎn)關(guān)注了輔助線的添加方式,在教學(xué)過程中收到了良好的教學(xué)效果.現(xiàn)進(jìn)行簡單說明,不當(dāng)之處,敬請指正.

    一、例題呈現(xiàn)

    例1如圖1,在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),DC⊥AC,且∠BCD=30°,求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值.

    例2如圖2,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,BC>AD,AD=2,AB=4,點(diǎn)E在AB上,將△CBE沿CE翻折,點(diǎn)B恰好與點(diǎn)D重合,求∠BCE的余弦值.

    圖1

    圖2

    例3如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,CD∥AB,點(diǎn)E為射線CD上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),連接AE,交BC于點(diǎn)F,∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G.

    圖3

    當(dāng)AC=5時,連接EG,若△AEG為直角三角形,求BG的長.

    二、分析和解

    例1:

    分析:求∠CDA的三個三角函數(shù)值←直角三角形存在,需要求出直角三角形三條邊的長度←①題干中沒有出現(xiàn)長度,設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵;②D為AB的中點(diǎn)是解決問題的突破口.

    解:如圖4,取BC的中點(diǎn)E,連接DE,設(shè)DE=k.

    因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),DC⊥AC,所以DE∥AC且∠CDE=90°.

    圖4

    所以AC=2k.

    在Rt△ACD中:

    基本圖形:在分析中提到條件“D為AB的中點(diǎn)”是解決問題的突破口,所以在解決過程中構(gòu)造了“三角形中位線”的基本圖形,使得問題順利解決.

    例2:

    分析1:求∠BCE的余弦值←具備直角三角形←根據(jù)條件直接求(略).

    分析2:求∠BCE的余弦值←雖然具備直角三角形,但已知條件中的長度不在此直角三角形中←需要將∠BCE進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”,即等角代換←題干中的“翻折”是解決問題的突破口.

    解:連接BD,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得:BD⊥CE(如圖5).

    因?yàn)椤螧CE+∠CEB=90°,∠ABD+∠CEB=90°,所以∠BCE=∠ABD.

    圖5

    基本圖形:分析1中的直接求,計(jì)算量較大,分析2中的方法則較簡單,關(guān)鍵是抓住了“翻折”的性質(zhì):對稱點(diǎn)的連線和對稱軸垂直,進(jìn)而將所求角順利轉(zhuǎn)移,在問題解決過程中主要構(gòu)造了“中垂線”的基本圖形.

    例3:

    分析:此題中,由于直角頂點(diǎn)不確定,所以需要分類討論.

    解:延長AG交CD于點(diǎn)K.

    第一種情況:當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)(如圖6),即EG⊥AK時:

    圖6

    由于CD∥AB,AG平分∠BAE,所以∠FAG=∠GAB=∠EKG,所以△AEK為等腰三角形.

    由于EG⊥AK,所以點(diǎn)G為AK的中點(diǎn).

    由于CD∥AB,所以G也為BC的中點(diǎn).

    第二種情況:當(dāng)點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)(如圖7),即EG⊥AE時:

    圖7

    過點(diǎn)G作GN⊥AB,此時可以得到△AGB也為等腰三角形,所以BN=AB=

    在Rt△ACB和Rt△BNG中:

    基本圖形:“延長AG交CD于點(diǎn)K”是為了構(gòu)造相似的基本圖形(A型圖或X型圖),第一種情況中很自然就產(chǎn)生了“等腰三角形三線合一”的基本圖形,第二種情況中添加的輔助線主要是為了構(gòu)造“角平分線”的基本圖形.

    三、對應(yīng)練習(xí)

    練習(xí)1:如圖8,點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊AC的中點(diǎn),CE垂直BD的延長線于點(diǎn)E,其中AB=15,cosA=,則∠DCE的正弦值為_______.

    圖8

    圖9

    練習(xí)2:如圖9,在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,∠A=30°.請你添加喜歡的輔助線,求出tan15°的值.

    說明:練習(xí)1和練習(xí)2主要是為了考查銳角的三個三角函數(shù)的求法,同時練習(xí)2具有一定的開放性,不同的添加輔助線的方式會有不同的解題效果.

    四、兩點(diǎn)思考

    1.單元復(fù)習(xí)課:以夯實(shí)基礎(chǔ)知識為首要目的

    新授課完成后的單元復(fù)習(xí)課的定位是什么?顯然,不同于中考復(fù)習(xí)中的章節(jié)復(fù)習(xí)課或?qū)n}復(fù)習(xí)課,應(yīng)該以夯實(shí)基礎(chǔ)知識為首要目的.于是,筆者在本節(jié)課的教學(xué)中精選三個典型例題,圍繞計(jì)算銳角的三個三角函數(shù)值展開,以核心概念為中心,取得了良好的教學(xué)效果.其中例1、例2以簡單計(jì)算為主,例3具有一定的綜合性,而且方法也比較多,在課堂教學(xué)中主要突出應(yīng)用銳角三角函數(shù)解決這個問題的方法.

    2.基本圖形:讓輔助線的添加更自然

    輔助線被大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是解決問題的攔路虎,更有學(xué)生說:“如果告訴我輔助線如何添加,這些題目我都會做.”如何使學(xué)生感到輔助線不是“神來之筆”或“帽子里跑出來的兔子”呢?筆者感覺加強(qiáng)學(xué)生對基本圖形的積累是一種有效的手段,比如在本節(jié)課的問題解決中主要用到了相似的基本圖形、等腰三角形三線合一的基本圖形、角平分線的基本圖形、軸對稱的基本圖形、中位線的基本圖形等.可以看出,上述基本圖形來源于課本中基本的判定定理或性質(zhì)定理的“圖形語言”,是學(xué)生必須掌握的,沒有進(jìn)行絲毫的變式,不會加深學(xué)生的負(fù)擔(dān),因此筆者認(rèn)為這是一種有效的嘗試,歡迎更多的一線教師參與進(jìn)來,不當(dāng)之處,敬請指正.Z

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