構(gòu)造概率模型證明組合恒等式

張旭

摘要：排列、組合是學(xué)習(xí)概率論的重要工具。反過來，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ陀挚梢宰C明組合數(shù)學(xué)的一些重要性質(zhì)。本文通過構(gòu)造概率模型，證明了3類10個(gè)組合恒等式。

關(guān)鍵詞：組合恒等式；概率模型

一、引言

1、問題提出。組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，而組合恒等式的研究又是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容之一。由于組合恒等式在概率中有著極為廣泛的應(yīng)用，又是研究概率論的重要工具，因此我們同樣可以反過來構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕收撃Ｐ腿プC明一些組合恒等式。從而使一些復(fù)雜的恒等式證明變得簡(jiǎn)單易懂。

2、文獻(xiàn)綜述。文獻(xiàn)[1]用貝努里概率模型證明了組合恒等式，能夠使得一些看似復(fù)雜的組合恒等式證明變得更加容易。文獻(xiàn)[2，3，10]用“古典概率模型”中的抽球模型證明了組合恒等式，通過此模型對(duì)問題的解決，使我們得到了一個(gè)一般的概率思想方法。文獻(xiàn)[11]用幾何概率思想并運(yùn)用了超幾何概率公式，全概率公式以及完備事件組性質(zhì)證明了組合恒等式，而本文則通過三種模型的結(jié)合證明了組合恒等式，使概率的思想方法在組合恒等式的證明中得到了更充分的利用，并對(duì)恒等式證明進(jìn)行了歸類，體現(xiàn)了學(xué)科與學(xué)科之間的相互應(yīng)用。

二、三種模型的證明

1、構(gòu)造抽球模型證明組合恒等式。抽球模型問題是概率論中“古典概率模型”的一類基本問題，我們可以構(gòu)造抽球模型來證明一些組合恒等式。

2、構(gòu)造幾何概率模型證明組合恒等式。對(duì)于組合數(shù)學(xué)中的一些恒等式，通過構(gòu)造幾何模型進(jìn)行證明能夠使得這些等式的證明變得更加清晰明了。下面就是三個(gè)通過構(gòu)造幾何模型證明的組合恒等式。

3、構(gòu)造貝努里概率模型證明組合恒等式。證明組合恒等式的方法有很多，而通過構(gòu)造貝努里概率模型證明組合恒等式能夠使得一些看似復(fù)雜的組合恒等式更加便捷。

等式得證

此題利用幾何分布的性質(zhì)，期望及方差得到證明。在這里我們運(yùn)用上面的三種構(gòu)造概率模型的方法證明了我們常見的十個(gè)組合恒等式。構(gòu)造概率模型的方法還可以解決許多其它的組合恒等式如：

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