高中數(shù)學(xué)“5步曲”解題模式探究

閔侃運(yùn)

一、高中數(shù)學(xué)學(xué)生在解題中遇到的問(wèn)題

學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)差，解題沒(méi)有思路，從而對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣不高.首先，學(xué)生在解題前就對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，從而有畏懼心理，即使對(duì)題目仔細(xì)研讀與分析很容易進(jìn)行解答，但由于這種畏懼心理作怪，學(xué)生也許只簡(jiǎn)單掃一眼題目就放棄了.其次，學(xué)生在做題過(guò)程中由于做題閱歷的局限，經(jīng)常思考不周，會(huì)出現(xiàn)小問(wèn)題，影響答對(duì)率.再次，學(xué)生做題只要答案正確，不思考還有沒(méi)有別的方法，不去總結(jié)，下次遇到同類型的題目又不會(huì).

二、高中數(shù)學(xué)“5步曲”解題模式

第1步：本題考什么知識(shí)，是函數(shù)還是幾何，是拋物線還是橢圓

拿到一個(gè)題不要盲目地去做，先要看看是什么題，不要張冠李戴，是橢圓的題還是拋物線的題，橢圓的題就不能用雙曲線的知識(shí)來(lái)解決，學(xué)生經(jīng)常會(huì)搞混.

例1已知橢圓x225+y216=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)距離為（）

A.12B.13C.5D.7

分析應(yīng)該選D，P點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為2a，a=5，2a=10，設(shè)P到另一焦點(diǎn)距離為X，則X+3=10，所以X=7.

第2步：本題涉及哪幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)

根據(jù)本題的已知條件和要求把所要用到的基本概念、基本定理、基本公式都羅列出來(lái)，這樣就會(huì)使做題的思路清晰，不至于拿到題目無(wú)從下手.

例2如圖所示，已知圓O的直徑AB長(zhǎng)度為4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=13DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC=3AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=BD.

（1）求證：CD⊥平面PAB；

（2）求PD與平面PBC所成的角的正弦值.

分析根據(jù)已知圓O的直徑AB長(zhǎng)度為4就可得到∠ACB=90°，圓O的半徑為2.

根據(jù)PD=BD.就要想到三角形PDB為等腰三角形，那肯定要用到等腰三角形的三線合一定理.

根據(jù)求證：CD⊥平面PAB就要想到要證CD垂直平面PAB內(nèi)兩條相交直線.

第3步：易錯(cuò)的地方是什么

每做一個(gè)題都要想想這一類型題常錯(cuò)的地方在哪里、陷阱在哪里.不斷地總結(jié)就可以減少?zèng)]必要的錯(cuò)誤.

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an+1=Sn+2n，n∈N*，且a1=0，記bn=an+2.

（1）求a2，a3；

（2）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

分析這個(gè)題在做第（2）問(wèn)時(shí)常有一些同學(xué)根據(jù)遞推公式算出bn的前4項(xiàng)，然后根據(jù)前四項(xiàng)是等比數(shù)列就說(shuō){bn}是等比數(shù)列.這種方法是不完全歸納法，得到的結(jié)論不一定正確，還要證明，不如用等比數(shù)列的定義直接證明.

第4步：解決這類問(wèn)題有幾種方法

一道題做完后要常反思，看看還有沒(méi)有別的方法，爭(zhēng)取用最簡(jiǎn)單的方法，這樣才能提高做題的速度.如例2中的第（2）問(wèn).

（2）方法一過(guò)D作DH⊥平面PBC交平面PBC于點(diǎn)H，連接PH，則∠DPH即為所求的線面角.

由（1）可知CD=3，PD=BD=3，

∴VP-BDC=13S△BDC·PD=13·12DB·DC·PD=13×12×3×3×3=332.

又PB=PD2+DB2=32，PC=PD2+DC2=23，BC=DB2+DC2=23，

∴△PBC為等腰三角形，則S△PBC=12×32×12-92=3152.由VP-BCD=VD-PBC得DH=355.

∴sin∠DPH=DHPD=55.

方法二由（1）可知CD=3，PD=DB=3，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為E，連接PE，再過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PE，垂足為F.

∵PD⊥平面ABC，又BC平面ABC，∴PD⊥BC，

又PD∩DE=D，∴BC⊥平面PDE，又DF平面PDE，

∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，

∴DF⊥平面PBC，故∠DPF為所求的線面角.

在Rt△DEB中，DE=BD·sin30°=32，

PE=PD2+DE2=352，

sin∠DPF=sin∠DPE=DEPE=55.

兩種方法顯然方法一更簡(jiǎn)捷，好理解.

第5步：本題要用哪種方法解決

常對(duì)做題方法進(jìn)行總結(jié)，就不會(huì)拿到題無(wú)從下手.如例3第（1）小問(wèn)求a2，a3，已知給了bn的遞推公式就可以求出a2，a3，第（2）問(wèn)：求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，我們常用等比數(shù)列的定義來(lái)證明.

三、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)“5步曲”使學(xué)生不僅明確題目的類型，常用的方法，而且把本題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)都做了總結(jié)，這樣下一次做同一類型的題目不會(huì)無(wú)從下手.如果學(xué)生養(yǎng)成了“5步曲”解題的習(xí)慣，那么就大大地提高了做題的準(zhǔn)確率.