錯中求知,錯中探究,錯中創(chuàng)新

無錫市第六高級中學(xué)(214000)李躍全

錯中求知,錯中探究,錯中創(chuàng)新

無錫市第六高級中學(xué)(214000)李躍全

學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的形形色色的錯誤猶如一片“霧霾”籠罩教師心間,驅(qū)之不去,困惑不已.教師往往自述其因,做“正規(guī)”榜樣示范,美其名曰:“傳道授業(yè)解惑也”.因?yàn)檫@樣做可以節(jié)約教學(xué)時間,增加課堂容量,便于課堂教學(xué)控制.但不久便發(fā)現(xiàn),學(xué)生并沒有“吃一塹,長一智”,以前所犯的錯誤依然“野火燒不盡,春風(fēng)吹又生”.教師雖然意識到學(xué)生出錯的反復(fù)性,但未能及時深刻的反思其因,往往強(qiáng)化訓(xùn)練同題型,結(jié)果導(dǎo)致效率低下,走進(jìn)了糾錯教學(xué)的誤區(qū),百思不得其解.如何走出糾錯教學(xué)的困境?撥開云霧見明月,是一個非常有意義的議題.筆者通過學(xué)生展示,暴露過程,實(shí)現(xiàn)學(xué)生個人反思糾錯,再到集體分析錯因,尋求制定方案,實(shí)現(xiàn)生生合作探究糾錯,最后師生總結(jié)拓展,實(shí)現(xiàn)糾錯創(chuàng)新,錯中防錯.本文試圖通過筆者教學(xué)實(shí)踐中的兩則案例,談一些個人的體會,僅供交流,以期共同提高.

案例1

題目:如圖1,在三棱柱ABC?A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1的面積為10cm2,對棱CC1到平面ABB1A1距離是6,求三棱柱ABC?A1B1C1的體積.

圖1

師:動腦思考一下,說說你的想法,大膽嘗試一下.

生1(主動起身):這個容易啊!由圖可知,VABC?A1B1C1=Sh=10×6=60cm3.

師:生1還有補(bǔ)充嗎?若沒有,請坐!(生1搖搖頭)師:大家贊成他的做法嗎?若不同意,請說明理由.

生2:我覺得生1的做法不對.他計算的是以平行四邊形ABB1A1為底面,沿著AC方向平移而形成的四棱柱體(如圖2),實(shí)際上它正好是已知三棱柱ABC?A1B1C1體積的兩倍,所以(此時,生1恍然大悟其錯因.)

圖2

師:好,請坐!大家贊成他們的做法嗎?若不同意,請說明理由.

生3:我和生2方法不同,但結(jié)果相同,所以贊同生2的做法.

師:來和大家分享一下你的妙招!

生3:相比生2的“補(bǔ)形法”,我運(yùn)用“割形法”.將已知柱體其分成三個三棱錐.連結(jié)A1C、A1B、B1C,在三棱柱ABC?A1B1C1中,

且共頂點(diǎn)C,即VC?A1AB和VC?A1BB1的高相等,由祖暅原理可

知,VC?A1AB=VC?A1BB1.

同理可得,VC?A1BB1=VC?A1B1C1,

所以VABC?A1B1C1=3×VC?A1B1C1=30cm3.(聲音剛落)

生4(迫不及待):受到生3的啟發(fā),我運(yùn)用“割形法”就將已知柱體其分成兩個錐體.即連結(jié)A1C、B1C,在三棱柱ABC?A1B1C1中,

師:由于生1柱體概念不清而錯用體積公式出錯,但為生2提供了思想方法,雖然錯誤,但很有價值.基于生1的“美麗錯誤”,生2通過“補(bǔ)形法”給出其正確解法,為生3的“割形法”奠定了基礎(chǔ).通過領(lǐng)會“正難則反”的數(shù)學(xué)思想,生3創(chuàng)造性的運(yùn)用“割形法”解決此問題,而后生4對此進(jìn)行了改進(jìn)優(yōu)化.請用熱烈的掌聲感謝他們的分享!(臺下掌聲一片,同學(xué)生沉浸在成功的喜悅中.)

案例2

師:找出已知和未知條件,分析它們之間的聯(lián)系,整理一下你的解題思路,誰試試看.

生1(信心十足):已知點(diǎn)P在橢圓上且∠F1PF2=60°,求S△F1PF2,我做過類似的題目.

師:那很好!說說你的思路.

師:生1依然記得此類型題目的常規(guī)解法,思路清晰,解題規(guī)范.同學(xué)們贊同生1的解題過程嗎?(絕大多數(shù)同學(xué)表示贊同,最有一排有一位學(xué)生正在埋頭解題,對此沒有回應(yīng))

師:你在做什么呢?你贊同生1的解法嗎?

生2(有些尷尬):我的做法跟他不同,結(jié)果也不同,我也不知道誰對誰錯.

師:(關(guān)切目光,微笑):既然有不同,說一說你的思路,讓大家一起來判斷一下孰對孰錯.

因?yàn)?=?12＜0,所以方程(1)無解.我有點(diǎn)困惑,不知道誰對誰錯.

(課前,筆者也是按生1的“整體法”做的,并未檢驗(yàn)結(jié)果是否成立.此時突然遭遇此種情景,難免有些不安,退而避之或盲目解釋,不如將錯就錯,發(fā)動學(xué)生的聰明才智,共同探究個所以然.)

師:很好,請坐,生1通過“整體法”求得面積,生2通過“減元思想”解方程解決問題,他們的思路和方法雖然不同,但過程感覺都是對的?結(jié)果為什么會有這么大的差異呢?同學(xué)們發(fā)揮學(xué)習(xí)小組的力量交流一下,看看誰能解釋其中緣由. (此時臺下三五成群,展開激烈的討論,課堂呈現(xiàn)出前所未有的繁榮.片刻后)

生3(興奮不已):老師,你以前說過高中自變量的取值是實(shí)數(shù)范圍內(nèi),我們小組一致認(rèn)為生2是正確的,但沒找到生1錯在哪里.

師(點(diǎn)點(diǎn)頭贊同):很好!在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),生2的解法確實(shí)正確,但生1怎么會求出面積值呢?

生4(面露喜色):老師,就此題而言,我們小組認(rèn)為生1也是正確的.

師(故作驚訝):為什么呢?解釋給同學(xué)們聽聽.

圖3

所以生1也是正確的.

(同學(xué)們面面相覷,面露疑問,重新審視生4的過程,學(xué)習(xí)氣氛凝重.)

師:其它組還有沒有不同看法?到底孰對孰錯呢?請補(bǔ)充說明.

生5:我們組認(rèn)為這個題有歧義,范圍不明確,若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),生2正確,若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),生1正確.

師:好的,請坐!目前看來,同學(xué)們基本贊同生2的做法,對生1的做法,和生4的解釋存有疑慮.那就認(rèn)真研究一下他們的解題過程,看看是否存在“美麗的錯誤”.

生6(興奮異常):老師,我發(fā)現(xiàn),在復(fù)平面內(nèi),如圖3,

師(滿意點(diǎn)頭):分析的很深刻!真理與謬論之間往往只有一線之遙.如果贊同他的解釋,請致以熱烈的掌聲(此時掌聲如潮水般涌來,片刻后)同學(xué)們對此問題是否還有其它疑問或問題呢?請主動說說.

生7(主動起身):在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),若在橢圓上存在一點(diǎn)P,使∠F1PF2=60°應(yīng)該滿足什么條件呢?

師:你提出的問題很有價值,相信我們很多同學(xué)也很關(guān)心,很好!同學(xué)們畫一畫,算一算,數(shù)形結(jié)合分析一下,誰能幫我們再解釋一下呢?(幾分鐘后)

圖4

師:很好!請坐!此題無解可能是老師改變題目是疏忽造成的.所以我們平時要養(yǎng)成細(xì)心的習(xí)慣,同學(xué)們對生6提出的疑問,還有沒有不同的解決辦法:

之后,生9,生10,生11分別從橢圓的焦半徑、向量和基本不等式等角度,再次求得滿足條件,過程不再贅述.

教學(xué)感悟

1.有的放矢,對癥下藥覓糾錯良方

在上述的兩個案例教學(xué)的實(shí)施過程中,學(xué)生犯一個思維錯誤或解題錯誤是不可避免的現(xiàn)象.皮亞杰的認(rèn)識論認(rèn)為,當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識時,總是試圖用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來同化新知識到已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,新知識與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生無法包容的矛盾,即產(chǎn)生認(rèn)知沖突時,就會引起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不平衡,產(chǎn)生心理不適應(yīng),使學(xué)生在思考問題時常常出錯.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為,學(xué)生的錯誤不可能單獨(dú)依靠正面的示范和反復(fù)練習(xí)得以糾正,必須是一個“自我否定”的過程.而“自我否定”又以內(nèi)在的“認(rèn)知沖突”作為必要的前提.在本文案例中,當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維錯誤或解題錯誤時,筆者并未強(qiáng)行將學(xué)生的思維拉回到正確的軌道或面?zhèn)髡暗馈?而是將錯就錯,以學(xué)生的錯誤為新的教學(xué)的生成點(diǎn),順勢而為,激發(fā)學(xué)生的非智力因素(如興趣、動機(jī)、意志、情感等),進(jìn)一步剖析錯因,引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤的生成,提高自我診斷、自我監(jiān)控的能力.將學(xué)生的“認(rèn)知誤區(qū)”轉(zhuǎn)化為“最近發(fā)展區(qū)”,充分開發(fā)“錯誤”的教學(xué)價值,促進(jìn)學(xué)生自我否定和內(nèi)心沖突,通過充分思考,將學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)積極主動地與新知識相互作用,通過同化和順應(yīng)兩種心理過程和機(jī)制,逐步達(dá)到認(rèn)知新平衡,使學(xué)生主動糾錯構(gòu)建新知.從內(nèi)部瓦解了困擾教師的形形色色的學(xué)生解題錯誤(主要包括知識性錯誤、策略性錯誤、邏輯性錯誤、心理性錯誤等)的心理障礙,有的放矢,對癥下藥覓糾錯良方,從而有效防治了學(xué)生的錯誤如“野火燒不盡,春風(fēng)吹又生”之癥狀.

2.以靈活的教學(xué)預(yù)設(shè)促進(jìn)學(xué)生動態(tài)地糾錯生成

在糾錯過程中,糾錯“預(yù)設(shè)”與“生成”是辯證統(tǒng)一的,糾錯預(yù)設(shè)重視和追求的是顯性的、結(jié)果性的、共性的、可預(yù)知的目標(biāo).而糾錯生成重視和追求的是隱性的、過程性的、個性的、不可預(yù)知的目標(biāo).預(yù)設(shè)是生成的基礎(chǔ),生成是預(yù)設(shè)的升華.充分的糾錯預(yù)設(shè)是糾錯教學(xué)成功的保障,教條的預(yù)設(shè)勢必會影響課堂教學(xué)的效果.當(dāng)預(yù)設(shè)與課堂生成存在偏差時,教師應(yīng)該根據(jù)課堂的生成的具體情況及時地調(diào)整預(yù)設(shè)思路,讓學(xué)生的意見、思維、觀點(diǎn)充分表達(dá)出來,然后診斷情況,作出合理的引導(dǎo),而不是打斷學(xué)生或強(qiáng)行將學(xué)生的思維拉回到預(yù)設(shè)軌道,由教師包辦思維過程.教師只有正確處理糾錯預(yù)設(shè)與生成,糾錯課堂才可能充滿生機(jī),呈現(xiàn)活力.

3.豐富的糾錯經(jīng)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的沃土

當(dāng)學(xué)生解決問題不可避免會出現(xiàn)思想認(rèn)識偏差或解題困惑時,教師往往給學(xué)生機(jī)會嘗試解決,若失敗則心安理得,美其名曰:“傳道授業(yè)解惑也”,甚至視而不見,敷衍了事,走形式化的學(xué)生主體地位或絕對化的教師主導(dǎo)地位的極端路線.古人云:“授人以魚,不如授之以漁”,筆者認(rèn)為,如果學(xué)生憑個人能力能夠解決所犯錯誤,教師絕不包攬,把學(xué)生的主動權(quán)還給學(xué)生,讓學(xué)生對其充分反思,深刻認(rèn)識問題所在.若個人不能解決,則需教師發(fā)動學(xué)習(xí)小組或班集體合作探究,從而培養(yǎng)了學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會傾聽,學(xué)會取長補(bǔ)短的優(yōu)異品質(zhì).若仍未能較好解決問題,此時需要教師發(fā)揮其主導(dǎo)作用,引導(dǎo)學(xué)生師生合作探究錯誤的根源,隨著學(xué)習(xí)活動的不斷深入,使學(xué)生從不同角度認(rèn)識到問題的癥結(jié)所在,并完成對知識豐富而深刻的理解,逐步建立起整合的,結(jié)構(gòu)化的,靈活的,屬于自己的糾錯經(jīng)驗(yàn)體系,教師要善于捕捉糾錯過程中學(xué)生的“曇花一現(xiàn)”的想法,順勢利導(dǎo),將其視為新知識與方法的生長點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生從原有的經(jīng)驗(yàn)中“生長出”新的知識經(jīng)驗(yàn),在豐富的知識糾錯的土壤中孕育學(xué)生創(chuàng)新的種子.從而有效地實(shí)現(xiàn)了錯中求知,錯中探究,錯中防錯,錯中創(chuàng)新的教學(xué)活動.正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾經(jīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào):“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法就是實(shí)行‘再創(chuàng)造’也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來,教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作,而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生.”

[1]曹才翰,章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M],北京:北京師范大學(xué)出版社. 2006.

[2]涂榮豹,寧連華,徐伯華.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究[M],北京:北京師范大學(xué)出版社.2011.