關(guān)注交匯,提升能力—例談數(shù)列與其他知識的交匯

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)童永奇

關(guān)注交匯,提升能力—例談數(shù)列與其他知識的交匯

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)童永奇

本文擬通過歸類舉例的方式,具體說明數(shù)列與其他知識的交匯,有利于鞏固所學(xué)知識在解題中的靈活、綜合運(yùn)用,提升解題的技能技巧.

類型一、數(shù)列與歸納推理的交匯

評注:上述求解的關(guān)鍵在于兩點:一是要準(zhǔn)確計算該數(shù)列的前幾項;二是要按奇數(shù)項、偶數(shù)項去觀察、歸納其中隱含的規(guī)律特點.若變形到位,可得如下簡解:由題意知故歸納推測得:

類型二、數(shù)列與解不等式的交匯

例2已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n?1,數(shù)列{an}(n∈N?)滿足b2,ban,b2n+2成等比數(shù)列,若a1+a2+ a3+···+am≤a40,則m的最大值( )

A.7 B.14 C.15 D.21

解析:由b2,ban,b2n+2成等比數(shù)列,得

解得

因為an+1?an=(n+1)+2?(n+2)=1,所以數(shù)列{an}是首項為3,公差為1的等差數(shù)列.于是,由a1+a2+a3+···+am≤a40,得

整理得

解得?12≤m≤7,所以m的最大值是7.故選A.

評注:本題具有一定的綜合性,主要考查等差、等比數(shù)列與解不等式的交匯,解題關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)理清數(shù)列{an}的特性,并加以靈活運(yùn)用.

類型三、數(shù)列與基本不等式的交匯

例3若數(shù)列{an}滿足=d(n∈N?,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”.若正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,且b1+b2+···+b9=90,則b4b6的最大值是( )

A.10 B.100 C.200 D.400

(n∈N?,d為常數(shù)),所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.于是,由b1+b2+···+b9=90得

解得

當(dāng)且僅當(dāng)b4=b6=10時不等式取等號.故b4b6的最大值是100.故選B.

類型四、數(shù)列與三角函數(shù)的交匯

解析:因為f(x)=sin x,x＞0,所以由正弦曲線的對稱性、周期性可知:

評注:充分利用正弦曲線的對稱性和周期性,是本題順利求解的關(guān)鍵所在.

類型五、數(shù)列與平面向量的交匯

例5已知數(shù)列{an}的首項為1,向量且向量與向量互相垂直,則數(shù)列{an}的前n項和為___.

所以

又由a1+1=2≠0易知an+1≠0,所以

于是,數(shù)列{an+1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列.從而,

即

故數(shù)列{an}的前n項和

評注:本題有兩個關(guān)鍵思路:一是根據(jù)兩個向量垂直的條件得到數(shù)列的遞推公式;二是利用“構(gòu)造等比數(shù)列”的思想去求解數(shù)列{an}的通項公式,進(jìn)而求解目標(biāo)問題.

類型六、數(shù)列與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的交匯

例6已知函數(shù)fn(x)=anx3+bnx2+cnx,滿足=q(q＞1,q為常數(shù)),n∈N?,考慮如下命題: ①函數(shù)fn(x)為奇函數(shù);②若函數(shù)f1(x)在R上單調(diào)遞增,則a1＞0;③若x0是函數(shù)fn(x)的極值點,則x0也是函數(shù)fn+1(x)的極值點.以上三個命題正確的個數(shù)是( )

A.3 B.2 C.1 D.0

解析:依題意bn≠0,所以當(dāng)x≠0時,

所以fn(?x)≠?fn(x),所以函數(shù)fn(x)不是奇函數(shù),故①錯誤.

若函數(shù)f1(x)在R上單調(diào)遞增,則

在R上恒成立,所以a1＞0,所以②是正確的.

若x0是函數(shù)fn(x)的極值點,則

所以

所以

綜上,正確說法有2個.故選B.

評注:本題設(shè)計較好,對能力的考查較強(qiáng),解題關(guān)鍵在于:分析函數(shù)fn(x)的奇偶性、單調(diào)性、極值點時,應(yīng)該以x為自變量,同時將正整數(shù)n看做是相對確定的常量.

類型七、數(shù)列與函數(shù)和三角形的交匯

例7定義:如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長,則稱{an}為“三角形”數(shù)列.對于“三角形”數(shù)列{an},如果函數(shù)y=f(x)使得bn=f(an)仍為一個“三角形”數(shù)列,則稱y=f(x)是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”.

(1)已知{an}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,若f(x)=kx(k＞1)是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”,求k的取值范圍;

(2)已知數(shù)列{cn}的首項為2010,Sn是數(shù)列{cn}的前n項和,且滿足4Sn+1?3Sn=8040,求證:{cn}是“三角形”數(shù)列;

(3)通過探究,請根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義,對函數(shù)h(x)=?x2+2x,x∈[1,A],和數(shù)列1,1+d,1+2d(d＞0)提出一個正確的命題.

解析:(1)顯然an=n+1單調(diào)遞增,又an+an+1＞an+2對任意正整數(shù)n都成立,所以{an}是“三角形”數(shù)列.因為k＞1,所以顯然有

于是,要保證f(x)=kx(k＞1)是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”,則只需

兩式相減得

又由4S2?3S1=8040,得

(3)探究:函數(shù)h(x)=?x2+2x,x∈[1,A]是數(shù)列1,1+d,1+2d(d＞0)的“保三角形函數(shù)”,必須滿足三個條件:

①1,1+d,1+2d(d＞0)是“三角形”數(shù)列,所以1+1+d＞1+2d,即0＜d＜1.

②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi),只需1+2d≤A.

③h(1),h(1+d),h(1+2d)是“三角形”數(shù)列.

由于h(x)=?x2+2x,x∈[1,A]是單調(diào)遞減函數(shù),所以只需h(1+d)+h(1+2d)＞h(1),解得

評注:本題情景新穎,設(shè)計較好,對能力的考查較強(qiáng),值得研究.解題難點主要有:一是不能快速理解新定義的內(nèi)涵;二是求出數(shù)列通項公式之后,不能靈活利用數(shù)列的單調(diào)性,進(jìn)而使得出的不等式很復(fù)雜,導(dǎo)致運(yùn)算量太大思維受阻.