例說“命題”的常見題型

王德鳳

“命題”是用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷其真假的陳述語(yǔ)句. “命題”是高中數(shù)學(xué)課程“常用邏輯用語(yǔ)”中的基本概念，是數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理以及重要結(jié)論等得以呈現(xiàn)的主要形式之一，也是所有數(shù)學(xué)試題的有機(jī)組成部分，可以說“數(shù)學(xué)無處不命題”. 因此，理解命題的概念、結(jié)構(gòu)，掌握四種命題間的轉(zhuǎn)化、聯(lián)系與應(yīng)用，掌握命題的常見題型，是學(xué)好命題、學(xué)好邏輯乃至學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 本文以列舉范例的形式，談?wù)劇懊}”的常見題型與求解方法，見木見林，以期對(duì)大家有所幫助.

命題真假的判斷

例1 設(shè)[f（x），g（x），h（x）]是定義域?yàn)閇R]的三個(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]均為增函數(shù)，則[f（x），g（x），h（x）]中至少有一個(gè)增函數(shù)；②若[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]均是以[T]為周期的周期函數(shù)，則[f（x），g（x），h（x）]均是以[T]為周期的周期函數(shù). 下列判斷正確的是（ ）

A. ①和②均為真命題

B. ①和②均為假命題

C. ①為真命題，②為假命題

D. ①為假命題，②為真命題

分析 本題所給的是抽象函數(shù). 將需要判斷其單調(diào)性（周期性）的函數(shù)[f（x），g（x），h（x）]用已知其單調(diào)性（周期性）的函數(shù)[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]表示出來（即化未知為已知），是解決問題的切入點(diǎn)和關(guān)鍵.

解 由題意得，

[f（x）=[f（x）+g（x）]+[f（x）+h（x）]-[g（x）+h（x）]2]，

同理得，

[g（x）=[f（x）+g（x）]+[g（x）+h（x）]-[f（x）+h（x）]2]，

[h（x）=[f（x）+h（x）]+[g（x）+h（x）]-[f（x）+g（x）]2].

由于周期函數(shù)通過四則運(yùn)算后還是周期函數(shù)（可用定義證明），所以②為真命題. 但兩個(gè)增函數(shù)的和與差不一定仍為增函數(shù)（單調(diào)性不確定），故①是假命題.

答案 D

點(diǎn)撥 判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他知識(shí)，經(jīng)過邏輯推理來判定. 值得注意的是，確定一個(gè)命題為真時(shí)必須嚴(yán)格論證，而確定一個(gè)命題為假時(shí)，只需要舉一個(gè)反例即可.

四種命題之間的轉(zhuǎn)換

例2 命題“若[x，y]都是奇數(shù)，則[x+y]是偶數(shù)”的逆否命題是（ ）

A. 若[x，y]都是偶數(shù)，則[x+y]是奇數(shù)

B. 若[x，y]都不是奇數(shù)，則[x+y]不是偶數(shù)

C. 若[x+y]不是偶數(shù)，則[x，y]都不是奇數(shù)

D. 若[x+y]不是偶數(shù)，則[x，y]不都是奇數(shù)

分析 命題“若[p]，則[q]”的逆否命題是“若[?q]，則[?p]”. 值得注意的是“[x，y]都是奇數(shù)”的否定中包含三種情況：“[x]是奇數(shù)，[y]不是奇數(shù)”“[x]不是奇數(shù)，[y]是奇數(shù)”和“[x，y]都不是奇數(shù)”，概括為“[x，y]不都是奇數(shù)”；不能把“[x，y]都不是奇數(shù)”作為“[x，y]都是奇數(shù)”的否定而錯(cuò)選C.

解 因?yàn)椤岸际恰钡姆穸ㄊ恰安欢际恰?，故正確選項(xiàng)為D.

答案 D

點(diǎn)撥 寫否命題、逆否命題時(shí)，要對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行否定. 而對(duì)條件（或結(jié)論）進(jìn)行否定時(shí)，務(wù)必要搞清條件（或結(jié)論）包含的各種情況，全面考慮.

四種命題的相互關(guān)系

例3 原命題為“若[z1，z2]互為共軛復(fù)數(shù)”，則“[z1=z2]”. 關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）

A. 真，假，真 B. 假，假，真

C. 真，真，假 D. 假，假，假

分析 互為逆否的兩個(gè)命題同真（或同假），即原命題與其逆否命題，逆命題與否命題同真（或同假）.

解 不妨設(shè)[z1=a+bi（a，b∈R）]，則[z2=a-bi]. 顯然，[z1=z2=a2+b2]，所以原命題為真. 另一方面，取[z1=-2，z2=2i]，雖然[z1=z2=2]，但[z1，z2]不是共軛復(fù)數(shù)，所以逆命題為假.

答案 B

點(diǎn)撥 判斷四種命題的真假，只需判斷原命題與逆命題的真假即可. 四種命題中，真命題（假命題）的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)個(gè).

命題（含全稱命題、特稱命題）的否定

例4 命題“[?x∈R，?n∈N+]，使得[n≥x2]”的否定形式是（ ）

A. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

B. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

C. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

D. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

分析 命題[p]的否定，又叫[?p]形式，一般只考慮否定其結(jié)論，即命題“若[p]，則[q]”的否定是“若[p]，則[?q]”. 值得注意的是，“全稱命題”的否定是“特稱命題”，“特稱命題”的否定是“全稱命題”；同時(shí)還要注意命題中“量詞”與“聯(lián)結(jié)詞”的改變.

解 由全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系與構(gòu)造特點(diǎn)知，正確選項(xiàng)為D.

答案 D

點(diǎn)撥 區(qū)分“命題的否定”與“否命題”的關(guān)鍵是理解它們的定義與構(gòu)成方式. “命題的否定”是只否定結(jié)論，不否定條件. 而“否命題”是既否定條件，又否定結(jié)論.

例5 已知命題[p]：[x2+4mx-4m+3=0]或[x2+（m-1）x][+m2][=0]或[x2+2mx-2m=0]有實(shí)根，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍.

分析 如果從正面考慮（命題[p]成立：至少一個(gè)方程有實(shí)根），分類討論的情況較為復(fù)雜；而考慮其反面（即[?p]），則非常簡(jiǎn)單.

解 命題[p]的否定[?p]：[x2+4mx-4m+3=0]且[x2+（m-1）x+m2=0]且[x2+2mx-2m=0]都沒有實(shí)根，

則[Δ1=16m2-4（-4m+3）<0，Δ2=（m-1）2-4m2<0，Δ3=4m2+8m<0，]即[-32

從而命題[p]成立時(shí)，[m≤-32]，或[m≥-1]，

即[m∈（-∞，-32]?[-1，+∞）].

點(diǎn)撥 命題[p]成立較為復(fù)雜時(shí)，可利用補(bǔ)集思想，考慮[?p]成立的情況而后取補(bǔ)集.

等價(jià)命題的應(yīng)用

例6 已知函數(shù)[f（x）]在[R]上為增函數(shù)，[a，b∈R]，求證：若[f（a）+f（b）

分析 本題已知函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)值間的關(guān)系，要證明自變量間的關(guān)系，直接證明幾乎不可能，因而可以考慮證明其逆否命題.

證明 原命題的逆否命題是：已知[f（x）]在[R]上為增函數(shù)，[a，b∈R]，若[a+b≥0]，則[f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）].

由條件[a+b≥0]可得，[a≥-b]，[b≥-a].

又因?yàn)閇f（x）]在[R]上為增函數(shù)，

所以[f（a）≥f（-b）]，[f（b）≥f（-a）].

由不等式的性質(zhì)得，[f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）].

即原命題的逆否命題成立，故原命題成立.

點(diǎn)撥 當(dāng)直接證明一個(gè)命題難以入手時(shí)，可以嘗試證明其逆否命題為真，這就是數(shù)學(xué)中“正難則反”的思想.

“命題”是邏輯學(xué)中最基本的概念，也是學(xué)習(xí)“充要條件”“推理與證明”及“反證法”等內(nèi)容的基礎(chǔ). 因此，以題型為載體，以典型范例為參照，是掌握其基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與基本應(yīng)用的不二法寶.