一元二次方程的四種基本解法及其內(nèi)在聯(lián)系

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)張潘越

一元二次方程的四種基本解法及其內(nèi)在聯(lián)系

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)張潘越

一、直接開平方法

直接開平方法是對形如:(ax+h)2=k,(k≥0)的方程左右兩邊直接開平方的方法.直接開平方法是解一元二次方程的最基本解法,它是配方法、公式法的基礎(chǔ),因為配方法和公式法最終都是通過開方來對方程進行降次的.

例1.1求一元二次方程(2x+2)2=4的解.

解:顯然(2x+2)2=4符合直接開平方的形式,于是對兩邊直接開平方得:2x+2=±2,即原方程的解為:x1=0和x2=?2.

例1.2求一元二次方程9x2+18x+9=0的解.

解:易知方程9x2+18x+9=0可化為:(3x+3)2=9,符合直接開平方的形式,于是對兩邊直接開平方得:3x+3=±3,即原方程的解為:x1=0和x2=?2.

顯然,并不是所有的一元二次方程(ax+h)2=k,(k≥ 0)都以的形式出現(xiàn),這意味著并不是所有的一元二次方程都可以用直接開平方法來求解,例如x2+2x?3=0就不能用此方法來求解,這就需要我們尋求其它的方法來對這種形式的一元二次方程進行求解.

二、配方法

配方法即將一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左邊配成完全平方的形式,然后利用開方將x的次數(shù)降為一次進而求得方程的解的方法.配方法可以說是解一元二次方程中最為核心的方法,因為配方法不僅是解一元二次方程的通用方法,而且配方法的可操作性強,步驟也易于學(xué)生理解掌握,另外配方法也是使學(xué)生理解掌握公式法的關(guān)鍵,因此配方法是一元二次方程教學(xué)中的重點.

配方法的解題步驟如下:

①移常數(shù)項.即將ax2+bx+c=0(a≠0)的常數(shù)c移到等式的右邊,得到ax2+bx=?c;

④判斷b2?4ac是否大于等于零.若b2?4ac≥0則原方程有解,兩邊直接開平方,終得解為若b2?4ac<0則原方程無解.

例2.1求一元二次方程4x2+24x+27=0的解.

三、公式法

例3.2求一元二次方程9x2+6x=?1的解.

解:原方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為9x2+6x+1=0,又?=b2?4ac=0故原方程有兩個相同的解,即原方程的解為

用公式法解一元二次方程其步驟非常簡便,只需要判斷判別式的正負再由求根公式既能得到方程的解,而配方法則還需要通過配方等步驟,但這不意味著所有的一元二次方程用公式法會是最簡便的,公式法與配方法各有各的優(yōu)點,當(dāng)方程的系數(shù)較大時可能就要放棄用公式法來求解,而需嘗試用配方法及接下來要談到的因式分解法來求解了.例如這樣一個方程x2+178x+7872=0用公式法來求解就不太容易,反而用配方法易將原方程配成(x+89)2=49進而求出原方程的解.

四、因式分解法

我們知道因式分解即是將一個多項式轉(zhuǎn)化成多個整式乘積的形式.而解一元二次方程的因式分解法是將方程等式一邊化為零,另一邊化為兩個含x一次因式的乘積,再令這兩個因式分別為零,從而得到方程解的方法.可以看出因式分解法的降次方法跟前面幾種方法是不一樣的,直接開方法、配方法、公式法均是通過開方來實現(xiàn)降次,而因式分解法則是通過將原方程分解為兩個一次多項式的乘積來實現(xiàn)降次.對一元二次方程進行因式分解的方法有多種,接下來就提取公因式法、公式分解法、十字相乘法具體展開.

I.提取公因式法:如果一個一元二次方程的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提取公因式法.在對一個多項式進行因式分解時,我們往往先考慮用提取公因式法對其分解.

例4.1求方程(x+1)x+3(x+1)+(x+3)=0的解.

解:首先對等式左邊提取因式(x+1)可得:(x+1)(x+ 3)+(x+3)=0,再對等式左邊提取公因式(x+3)可得: (x+2)(x+3)=0,則由x+2=0與x+3=0可得原方程的兩個解:x1=?2與x2=?3.

II.公式分解法:通過學(xué)過的平方差公式(a?b)(a+b)=a2?b2和完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2來對一元二次方程進行因式分解.由于學(xué)生在平方差公式和兩個完全平方公式的學(xué)習(xí)中思維是正向的,是根據(jù)已知條件推理到未知結(jié)果的.因此教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該首先要求學(xué)生掌握什么是整式的乘法,將其與因式分解區(qū)別開來.根據(jù)斯法德提出的過程對象的特征將公式因式分解的過程呈現(xiàn)出來,可以將平方差公式:

完全平方公式:

的過程給展現(xiàn)出來,讓學(xué)生通過觀察對比整式乘法和因式分解的互逆的全部過程,然后在應(yīng)用公式對多項式進行因式分解的練習(xí)過程中逐漸形成圖示結(jié)構(gòu).[1]通過以上可發(fā)現(xiàn)公式分解法實質(zhì)上是通過加減項進行配湊的提取公因式法,體現(xiàn)了逆向思維.

例4.2求方程4x2+2x?6=0的解.

解:首先將等式左邊的?6分解為?4與?2得4x2?4+ 2x?2=0由平方差公式可得(2x+2)(2x?2)+2x?2=0,再提取公因式2x?x可得(2x+3)(2x?2)=0,則由2x+3=0與2x?2=0可得原方程的兩個解:x1=1與

III.十字相乘法:雖然目前初中的課程標(biāo)準(zhǔn)對十字相乘法已經(jīng)不作要求,但是筆者認為,學(xué)習(xí)掌握好十字相乘法不僅能使學(xué)生更快捷有效地解決一些題目,而且其體現(xiàn)的“試誤”的思想能培養(yǎng)學(xué)生猜想探索的精神.所以有必要在這里作具體的介紹,下面以筆者對一道新加坡教材《New Mathematics Count》里的改編例題進行展開介紹十字相乘法.

例4.3用十字相乘法求方程2x2+5x+2=0的解.

解:對于2x2+5x+2;

第一步:確定二次項以及常數(shù)項可能的因子:2x2→x×2x,2→(+1)×(+2);

第二步:將因子豎直寫成下圖形式:

圖1

第三步:將因子交叉相乘并將結(jié)果寫在第二列上方:

圖2

第四步:將第二列上方的結(jié)果相加,如結(jié)果不等于原方程的一次項則舍去:

圖3

第五步:交換1和2的位置,交叉相乘并再次將第二列上方的結(jié)果相加:

圖4

第六步:如果第五步是被接受的,則2x2+5x+2的因式就是那些被圈起來的:

圖5

所以2x2+5x+2=(x+2)(2x+1)=0,原方程的解為:x1=?2與x2=

從數(shù)學(xué)知識的縱向聯(lián)系而言.用十字相乘法分解因式在解一元二次方程中具有舉足輕重的作用.而在掌握了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以后,再看十字相乘法或許就不僅是一種簡單的通過拼湊分解因式的方法了.另外這種交叉相乘的思想在高等代數(shù)的行列式部分也有很重要的意義.[2]

五、總結(jié)與教學(xué)啟發(fā)

本文介紹了解一元二次方程的四種基本解法并探討了這四種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系.這四種解法的實質(zhì)都是將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程最終得到方程的解,可以看出直接開平方法是配方法以及公式法的基礎(chǔ),而配方法的實質(zhì)是通過配方將問題轉(zhuǎn)化為能直接開平方,公式法的本質(zhì)又是配方法,因為公式法是由配方法推導(dǎo)出來的,并且配方法與公式法都是解一元二次方程的通用方法.而因式分解法只適用于部分的方程,但是如果題目能夠使用因式分解法的話一般解題都會非常的簡便快捷.在這四種基本解法的教學(xué)過程中,教師應(yīng)避免將這幾種解法分割開來講授,而應(yīng)注重揭示解法之間的內(nèi)在聯(lián)系,這樣學(xué)生才能更好理解、接受和掌握這幾種解法,同時也使學(xué)生真正把握初中數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò).

[1]黃濤.初中生因式分解學(xué)習(xí)認知障礙分析及教學(xué)策略[D].廣西:廣西師范大學(xué),2013.

[2]楊慧娟,邢蓉,李明蘭.也談“十字相乘法”—新加坡教材中十字相乘法介紹及思考[J].數(shù)學(xué)通報,2006.