基于改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理的等價(jià)性

萬(wàn) 軒，瞿先平,2，陳華峰

(1.重慶電訊職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，重慶 402247；2.重慶理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 400054)

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基于改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理的等價(jià)性

萬(wàn) 軒1，瞿先平1,2，陳華峰1

(1.重慶電訊職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，重慶 402247；2.重慶理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 400054)

根據(jù)各種Ekeland變分原理的等價(jià)形式，主要研究具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理的等價(jià)性。首先利用具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理證明了集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理，集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理。進(jìn)一步研究具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理、集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理的等價(jià)性。

Ekeland變分原理；集值映射；Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理；Takahashi非凸極小化定理；Oettli-Théra定理；等價(jià)性

0 引言

眾所周知，在20世紀(jì)70年代，Ekeland[1-2]給出的經(jīng)典的Ekeland變分原理是非線性分析中獲得的最重要的成果之一，同時(shí)在非線性分析、控制理論以及博弈論等相關(guān)領(lǐng)域中起到非常重要的作用。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)Ekeland變分原理從不同的角度對(duì)其進(jìn)行了各種各樣的推廣及其對(duì)其等價(jià)性結(jié)果進(jìn)行了研究[3-8]。特別地，陳等人[3]分別在完備序空間和完備度量空間中建立了相關(guān)的廣義集值Ekeland變分原理。Ha[4]在局部凸空間中建立了一類(lèi)變形的集值Ekeland變分原理，即Ha型集值Ekeland變分原理，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Gutiérrez等人[5]利用集值度量等概念對(duì)向量值Ekeland變分原理進(jìn)行推廣，得出了一類(lèi)新的帶集值度量的Ekeland變分原理。丘[6]對(duì)Ha[4]所建立的Ha型集值Ekeland變分原理進(jìn)行了推廣，并對(duì)其等價(jià)性進(jìn)行了研究。進(jìn)一步，丘[7]利用集值擬度量對(duì)Gutiérrez等人[5]的主要結(jié)果進(jìn)行了推廣，建立了集值擬度量的集值Ekeland變分原理，并對(duì)其在近似解方面進(jìn)行了相關(guān)研究。最近，萬(wàn)軒等人[8]對(duì)給定有界凸子集乘以距離函數(shù)為擾動(dòng)的單調(diào)半連續(xù)映射的向量Ekeland變分原理的等價(jià)性進(jìn)行了研究。萬(wàn)軒等人[9]利用非線性標(biāo)量化函數(shù)以及相應(yīng)的非凸分離定理建立了具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理。

本文在文獻(xiàn)[6-9]中的相關(guān)研究工作的啟發(fā)下，利用具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理建立集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理，并給予證明，并進(jìn)一步研究它們與具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理之間的等價(jià)性。

1 預(yù)備知識(shí)

本文假定(X,d)是度量空間，Y是局部凸空間，N+表示正整數(shù)全體。設(shè)A?Y，intA和clA分別表示A的拓?fù)鋬?nèi)部和A的閉包。錐K?Y稱(chēng)為點(diǎn)的，若K∩(-K)={0}。設(shè)K?Y為點(diǎn)閉凸錐且int K≠?，對(duì)任意的x,y∈K有x≤Ky?y-x∈K。

設(shè)F:X→2Y為集值映射。稱(chēng)F為K-閉的，若對(duì)任意的x∈X，F(xiàn)(x)+K是閉的。稱(chēng)F(X)是K-有界的，若存在有界集M?Y使得F(X)?M+K。

定義1[6]稱(chēng)(X,d)是(F,K)-下完備的，若Cauchy點(diǎn)列{xn}?X收斂且滿足對(duì)任意n∈N+，F(xiàn)(xn)?F(xn+1)+K。

稱(chēng)F在X上為K-序列下單調(diào)的，若F在任意x∈X處均為K-序列下單調(diào)的。

定義3[10-12]稱(chēng)非空集E?Y為關(guān)于K的改進(jìn)集，若0?E且E+K=E。Y中關(guān)于K的全體改進(jìn)集簇記為Y。

注1 由文獻(xiàn)[11]中的引理2.1可知，int K≠?蘊(yùn)含int E≠?。

定理1[9]設(shè)E∈Y為凸集且E? int K，F(xiàn):X→2Y是K-序列下單調(diào)的且K-閉的，(X,d)為(F,K)-下完備的。若x0∈X滿足F(x0)F(X)+E。則存在滿足

(1)

(2)

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們將給出具有改進(jìn)集的集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理，并研究與具有改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理之間的等價(jià)性。

定理2(集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)E∈Y為凸集且E?int K，F(xiàn):X→2Y是K-序列下單調(diào)的且K-閉的，(X,d)為(F,K)-下完備的。若x0∈X滿足F(x0)F(X)+E，對(duì)于集值映射T:X→2Y滿足對(duì)任意x∈X，存在z∈Tx使得

F(x)?F(z)+d(x,z)E

(3)

(4)

(5)

定理3(集值Takahashi非凸極小化定理) 設(shè)E∈Y為凸集且E?int K，F(xiàn):X→2Y是K-序列下單調(diào)的且K-閉的，(X,d)為(F,K)-下完備的。若x0∈X滿足F(x0)F(X)+E。如果對(duì)于集值映射F中的任意一個(gè)不是嚴(yán)格極小值點(diǎn)x∈X，存在z∈X{x}使得F(x)?F(z)+d(x,z)E。則F在X上存在嚴(yán)格極小值點(diǎn)，即存在使得

證明 首先給出Sx和Tx的定義

Sx={z∈X{x}: F(x)?F(z)+d(x,z)E}

1)當(dāng)x是F的嚴(yán)格極小值點(diǎn)時(shí)，定義Tx為T(mén)x={x}；

2)當(dāng)x不是F的嚴(yán)格極小值點(diǎn)時(shí)，定義Tx為T(mén)x=Sx。

通過(guò)Sx和Tx的定義，顯然可得對(duì)任意x∈X有x?Sx，Tx≠?和T:X→2Y為集值映射。又因?yàn)閷?duì)任意一個(gè)不是F的嚴(yán)格極小值點(diǎn)x∈X可得，存在z∈Tx使得z∈Sx，即，z≠x和F(x)?F(z)+d(x,z)E。

定理4 定理3蘊(yùn)含定理1。

證明 假設(shè)x0∈X滿足F(x0)F(X)+E。設(shè)

S={x∈X: F(x0)?F(x)+d(x0,x)E}

下證(2)式成立。若(2)式不成立，則對(duì)任意x∈S，存在z≠x使得

F(x)?F(z)+d(x,z)E

(6)

又由d(x0,z)≤d(x0,x)+d(x,z)可得

d(x0,x)E+d(x,z)E?d(x0,z)E+K

(7)

F(x0)?F(x)+d(x0,x)E?F(z)+d(x,z)E+d(x0,x)E?F(z)+d(x0,z)E+K=F(z)+d(x0,z)E+d(x0,z)K=F(z)+d(x0,z)E

則z∈S。又因?yàn)閦≠x，則顯然有z≠x0。

(8)

注2 定理2，定理3和定理4蘊(yùn)含了集值Ekeland變分原理與集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理，集值Takahashi非凸極小化定理的等價(jià)性。

S={z∈X:F(x0)?F(z)+d(x0,z)E}

(9)

(10)

定理6 定理5蘊(yùn)含定理1。

證明 對(duì)任意給定的x∈X，我們定義集值映射T:X→2Y：

Tx={z∈X:F(x)?F(z)+d(x,z)E}

故我們得出定理1中的(1)式和(2)式，即定理1成立。

注3 由定理5和定理6可知集值Ekeland變分原理和集值Oettli-Théra定理等價(jià)。

注4 由注2和注3進(jìn)一步說(shuō)明集值Ekeland變分原理、集值Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理的等價(jià)性。

注5 令k0∈int K，ε>0且E=εk0+K。則定理2和定理3分別可退化為文獻(xiàn)[6]中定理3.2和定理3.3的λ=1的情況。

[1] EKELAND I.On the variational principle[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1974,47(2):324-353.

[2] EKELAND I.Nonconvex minimization problems[J].Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society,1979,1(3):443-474.

[3] CHEN G Y,HUANG X X,HOU S H.General Ekeland's variational principle for set-valued mappings[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2000,106(1):151-164.

[4] HA T X D.Some variants of the Ekeland variational principle for a set-valued map[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2005,124(1):187-206.

[5] GUTIERREZ C,JIMENEZ B,NOVO V.A set-valued Ekeland's variational principle in vector optimization[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2008,47(2):883-903.

[6] QIU J H.On Ha's version of set-valued Ekeland's variational principle[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2012,28(4):717-726.

[7] QIU J H.Set-valued quasi-metrics and a general Ekeland's variational principle in vector optimization[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2013,51(2):1350-1371.

[8] 萬(wàn)軒,趙克全.關(guān)于局部凸空間中向量Eekland變分原理的等價(jià)性[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào),2013, 17(3):124-128.

[9] 萬(wàn)軒,張萬(wàn)里,趙克全.基于改進(jìn)集的集值Eekland變分原理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2015,31(6):567-574.

[10]CHICCO M,MIGNANEGO F,PUSILLO L,et al.Vector optimization problem via improvement sets[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2011,150(3):516-529.

[11]ZHAO K Q,YANG X M,PENG J W.Weak E-optimal solution in vector optimization[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2013,17(4):1287-1302.

[12]ZHAO K Q,YANG X M.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2015,64(4):739-752.

Equivalence on Ekeland’s variational principle via improvement sets for set-valued maps

WAN Xuan1, QU Xianping1,2, CHEN Huafeng1

(1.Department of Foundation, Chongqing Telecommunication Polytechnic College, Chongqing 402247, China;2.College of Computer Science and Engineering, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Based on equivalent formulations of various types of Ekeland's variational principle, we consider the equivalence on Ekeland's variational principle via improvement sets for set-valued maps. By using a Ekeland's variational principle via improvement sets for set-valued maps, we present a simple proof of a Caristi-Kirk’s fixed point theorem, a Takahashi’s nonconvex minimization theorem and a Oettli-Théra theorem for set-valued maps. Furthermore, we study the equivalence among the Ekeland's variational principle via improvement sets, the Caristi-Kirk’s fixed point theorem, the Takahashi's nonconvex minimization theorem and the Oettli-Théra theorem for set-valued maps.

Ekeland’s variational principle；set-valued map；Caristi-Kirk’s fixed point theorem；Takahashi’s nonconvex minimization theorem；Oettli-Théra theorem；equivalence

1004—5570(2016)06-0070-04

2016-09-05

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(NO. KJ1605201)

萬(wàn) 軒(1987-)，男，碩士，講師，研究方向：向量?jī)?yōu)化理論及其應(yīng)用，E-mail: wanxuantony@126.com.

O221.1

A