基于SVD的地震資料去噪方法的研究和應(yīng)用

崔少華，單 巍，趙慶平

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北235000)

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基于SVD的地震資料去噪方法的研究和應(yīng)用

崔少華，單 巍，趙慶平

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北235000)

利用信號(hào)和噪聲奇異值大小的差異，實(shí)現(xiàn)了奇異值分解算法去噪，通過對(duì)地震數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行分解，得到按降序排列的奇異值矩陣，再選取與信號(hào)空間維數(shù)相同的奇異值個(gè)數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，可以完全地恢復(fù)信號(hào).采用兩條同相軸地震數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，奇異值分解對(duì)于水平的或接近水平的同相軸去噪效果良好，對(duì)于傾斜的或彎曲的同相軸去噪效果欠佳，只有選取足夠的空間維數(shù)才可達(dá)到預(yù)期去噪效果.

奇異值分解；地震數(shù)據(jù)；信號(hào)空間維數(shù)

對(duì)地震資料進(jìn)行噪聲衰減，提高信噪比，是地震資料中關(guān)鍵的一項(xiàng)任務(wù)，其中噪聲的衰減通常是利用有用信號(hào)和噪聲特性上的差異來進(jìn)行分離，后續(xù)再對(duì)噪聲進(jìn)行去除.各種去噪方法也是根據(jù)噪聲的特性不同而決定的.但實(shí)際地震資料中往往摻雜著與有效信號(hào)相互獨(dú)立的噪聲，也存在與有效信號(hào)相關(guān)的多次波的反射等干擾，在信號(hào)與噪聲頻率的特性不明顯的情況下，分離噪聲使用傳統(tǒng)的頻率域內(nèi)濾波顯然是無法進(jìn)行的[1].因此，奇異值分解算法(Singular Value Decomposition,SVD)就是在這種情況下產(chǎn)生的.

在實(shí)際地震資料中，SVD算法被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮和隨機(jī)噪聲的壓制等方面，并且在這些方面的應(yīng)用，奇異值分解有明顯的作用.

1 SVD的方法原理

1.1 SVD的原理

設(shè)矩陣X是由m個(gè)通道觀察值(每個(gè)通道上n點(diǎn)采樣數(shù)據(jù))組成的數(shù)據(jù)陣.由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)矩陣X滿足一定條件時(shí)，可對(duì)X作如下分解變換[2]：

(1)

式中：U與V都是正交歸一陣，即：

UTU=UTU=Im,

VTV=VVT=In(其中I表示單位矩陣).

∑為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，在m

(2)

通常設(shè)σ1≥σ2≥…≥σm≥0，稱σi為奇異值.

如果記U=[u1,u2,…,um],V=[v1,v2,…,vn]，則式(1)可寫為：

(3)

式中：ui和vi稱為左、右奇異矢量，其維數(shù)分別為m×1和n×1.維數(shù)為m×n的原始數(shù)據(jù)就被分解成維數(shù)相同的m個(gè)子矩陣，這就是奇異值分解[3].

1.2 SVD去噪方法

假設(shè)存在一個(gè)二維的地震數(shù)據(jù)X，其有m道觀察值，每道有n個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)(m

(4)

接著在對(duì)X進(jìn)行奇異值分解，利用式(1)可得：

(5)

式中：U,V分別為左右奇異矩陣，∑為奇異值矩陣.

由式(4)和奇異值分解σ1≥σ2≥…≥σm≥0的性質(zhì)，可以將式(5)用另一種方式表達(dá)：

(6)

在奇異值矩陣中，∑S=diag[σ1,σ2,…,σp]就是地震記錄中信號(hào)矩陣的奇異值，∑N=diag[σp+1,σp+2,…,σm]就是地震記錄中噪聲矩陣的奇異值.

其中p=Rank(S)就是信號(hào)矩陣的秩，即信號(hào)空間的維數(shù)[7].因此，為了完全保真有效信號(hào)，就必須進(jìn)行不小于p階的重構(gòu)，將矩陣X的奇異值截?cái)?，舍去噪聲空間的奇異值，進(jìn)行P階的重構(gòu)就可完全恢復(fù)信號(hào)[8]：

(7)

2 SVD去噪方法的應(yīng)用

本次地震模型使用2條同相軸，其中1條水平同相軸，1條傾斜同相軸，地震子波采用峰值頻率為50Hz的Ricker子波，時(shí)域每道501個(gè)點(diǎn)共100道，采樣間隔1毫秒，結(jié)果如下圖所示.

圖1 原始二維地震記錄

圖2 含噪地震記錄

圖3 歸一化奇異值曲線

由圖3可知，第一個(gè)奇異值幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他奇異值，這實(shí)際上就是水平同相軸對(duì)應(yīng)的奇異值.從第2到17個(gè)奇異值幅度明顯下降，且幅度都遠(yuǎn)大于后面的奇異值，從18到100個(gè)奇異值，其變換緩慢，且幅度基本保持不變，因此，認(rèn)為第1到17都是信號(hào)所對(duì)應(yīng)的奇異值，從18到100個(gè)奇異值，是噪聲對(duì)應(yīng)的奇異值，對(duì)該記錄進(jìn)行17階重構(gòu)，結(jié)果如下圖所示.

圖4 17階重構(gòu)后結(jié)果

由圖4可知，通過17階的重構(gòu)，可以將信號(hào)完全無失真地重構(gòu)出來，在分離出來的噪聲中，幾乎不含有信號(hào)的能量，這一點(diǎn)也說明了，SVD只要選擇正確的信號(hào)空間維數(shù)，對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)后，可以很好地分離噪聲，提高地震資料中的信噪比.

圖5 17階分離出噪聲

針對(duì)本次模型，使用前6個(gè)奇異值重構(gòu)后，結(jié)果如下圖所示.

圖6 6階重構(gòu)后結(jié)果

圖7 6階分離出噪聲

由圖6、圖7可知，6階重構(gòu)將水平同相軸無失真地重構(gòu)出來，將傾斜同相軸一部分重構(gòu)出來，另一部分混合在噪聲里，無法將其和噪聲分離.已知該地震原始記錄的信號(hào)空間維數(shù)為17，因此當(dāng)重構(gòu)信號(hào)空間維數(shù)取得不夠時(shí)，無法完全重構(gòu)非水平同相軸.

3 結(jié)論

SVD對(duì)水平同相軸的去噪效果優(yōu)于對(duì)傾斜同相軸的去噪效果，甚至十分明顯.SVD利用了有效信號(hào)各道之間的相關(guān)性，各道數(shù)據(jù)之間相關(guān)性越強(qiáng)，奇異值分解后信號(hào)的能量就越集中，信號(hào)和噪聲就越好分離；反之，信噪可分性就較差.對(duì)水平同相軸，各道之間的相關(guān)性很強(qiáng)，往往只需要前面很少的幾個(gè)奇異值就可以完全恢復(fù)，并且隨機(jī)噪聲大量地被壓制；但是非水平同相軸(相關(guān)性減弱)卻往往需要較多的奇異值才能完全恢復(fù)，并且在恢復(fù)的過程中，引入較多的隨機(jī)噪聲.

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(責(zé)任編輯:王海波)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.020

2016-06-14

安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2014B07)

崔少華，女，陜西咸陽(yáng)人，講師.

P315

A

1008-7974(2016)04-0060-03