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    導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用

    2016-12-17 20:37:34曹斯琪
    科技視界 2016年26期
    關鍵詞:微積分邊際最值

    曹斯琪

    0 引言

    微積分的誕生是經(jīng)濟學史上的一個重要轉(zhuǎn)折點,它是“經(jīng)濟學中一步真正的發(fā)展”,是“更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)”。微積分通過靜態(tài)的逐步逼近而把握動態(tài)、通過有限去認識無限、利用近似去探索精確,是辯證法在經(jīng)濟學上的體現(xiàn)。微積分的工具能處理經(jīng)濟學中的一些基本問題。如邊際分析、彈性分析、最值問題、最優(yōu)化問題、需求、收入、利潤問等等。微積分在經(jīng)濟學解題中的應用,大大推動經(jīng)濟的快速發(fā)展,速進經(jīng)濟中各資源的有效配置與合理的運用,是人類經(jīng)濟文明的又一大創(chuàng)舉,是經(jīng)濟發(fā)展史上的一個里程碑。

    在高速發(fā)展的經(jīng)濟建設中,現(xiàn)代化經(jīng)濟理論已經(jīng)從過去的經(jīng)濟定性分析發(fā)展成為量性分析和定性分析相結合。因而微積分在經(jīng)濟管理中有了廣泛的應用,使得人們能從理論上分析有關的經(jīng)濟模型,從而給出合理的解釋,更好地對經(jīng)濟建設起指導作用。

    本文主要寫導數(shù)在經(jīng)濟學中的運用。在邊際問題的分析、彈性分析和最值問題中,導數(shù)作為其重要的分析工具,得出科學合理的依據(jù),為實際經(jīng)濟發(fā)展提供科學、合理的數(shù)據(jù)。

    導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用:

    1 邊際分析

    在經(jīng)濟分析中,通常用“平均”和“邊際”兩個概念來描述一個變量y關于另一個變量x的變化情況,而“邊際”則表示在x的某一個值的“邊緣上”y的變化情況,即當x給定值發(fā)生微小變化時,y的變化情況,它是y的瞬時變化率,也就是變量y對變量x的導數(shù)。因此,導函數(shù)f(x)就稱為邊際函數(shù),f(x)在點x0處的導數(shù)值f(x)就稱為f(x)在點x0處的邊際函數(shù)值。

    1.1 邊際成本函數(shù)

    設Q為產(chǎn)量,C1為固定成本,C2(Q)為可變成本,總成本為C(Q),則C(Q)=C1+C2(Q),且稱總成本C(Q)對Q的導數(shù)C(Q)為邊際成本函數(shù)。其經(jīng)濟意義是:當產(chǎn)量為Q個單位時,再增加或減少一個單位產(chǎn)量,所增加或減少的成本,從而邊際成本C(Q)的大小表明了增產(chǎn)潛力的大小。

    1.2 邊際收益函數(shù)

    2 最值應用問題

    在生產(chǎn)實踐和各種經(jīng)濟活動中,往往會遇到求最值的問題,解決這類問題是導數(shù)的重要應用之一。

    設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則它一定在a,b上取得最值。求函數(shù)最值的做法如下:

    (i)求使f(x)=0和f(x)不存在的x值,并求出相應于這些x的函數(shù)值;

    (ii)計算端點函數(shù)值f(a)與f(b);

    (iii)比較f(a),f(b)和(i)中求出的函數(shù)值的大小,其中最大者就是函數(shù)在a,b上的最大值;最小者就是最小值。

    特別,如連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個極大(?。┲?,而又沒有極?。ù螅┲?,則此極大(小)值一定是函數(shù)f(x)在a,b上的最大(?。┲?。在許多實際問題中最值就屬于這種情況,可以采取求極值的方法來解決。

    2.1 產(chǎn)量的最優(yōu)化與利潤最大化的問題

    在經(jīng)濟生產(chǎn)過程中,要怎樣生產(chǎn),才能充分發(fā)揮有效的資源配置來獲得最大的利潤,這是每個企業(yè)家都想研究的問題。因而利用導數(shù)可以解決相應的問題,為各企業(yè)家提供科學、合理的數(shù)據(jù)來指導生產(chǎn)。

    例1已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C(x)=25000+200x+x2/40元。問若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤最大,應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?

    解:先求出收益函數(shù)R(x)=500x,從而利潤函數(shù)為:

    L(x)=500x-(25000+200x+x2/40)

    由L(x)=0得x=6000,因L(x)=-1/60<0,故應生產(chǎn)6000件產(chǎn)品,利潤最大。

    2.2 價格的最優(yōu)化與利潤最大化的問題

    在市場銷售過程中,銷售和利潤都隨價格變化。商品的價格定得稿,單位商品的利潤大,但銷售量會減少,總利潤卻不一定大;反之,商品價格定得低,單位商品的利潤小,但銷售量會增大,總利潤卻不一定少。因此,如何確定最優(yōu)價格,使得在單位時間內(nèi)能夠獲取最大利潤是每位銷售管理人員值得關注的。

    例2假設某種商品的需求量y是單價x(單位:元)的函數(shù):y(x)=1200-80x;商品的總成本C是需求量y的函數(shù):C(y)=25000+50y;每單位商品需要納稅2元,試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額?

    解:以L表示銷售利潤額,由y(x)=1200-80x得到:

    L=(1200-80x)(x-2)-(25000+50y)=-80x2+16160x-16160

    L(x)=-160x+16160

    令L(x)得到x=101。又因為L(x)|x=101=-160<0

    故當x=101時,L(x)有極大值,因x=101是唯一駐點,所以L(x)有最大值,即最大利潤為L(x)|x=101=167080元。

    [責任編輯:田吉捷]

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