從函數(shù)性質(zhì)的角度談函數(shù)形式的分析方法

肖君偉

函數(shù)形式的簡(jiǎn)潔性和抽象性是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要特點(diǎn)，正是由于這種原因，函數(shù)形式的分析成為學(xué)生學(xué)習(xí)的瓶頸。函數(shù)的性質(zhì)作為函數(shù)形式的集中體現(xiàn)是研究函數(shù)形式表達(dá)的很好的窗口。本文將通過對(duì)定義抽絲剝繭的分析，找到定義的實(shí)際內(nèi)涵，同時(shí)為學(xué)生分析函數(shù)形式拓展提供一種通用的方法。

一、f（x）與y的區(qū)別

在研究函數(shù)性質(zhì)之前，先弄清楚f（x）的意義，f（x）是指以x為自變量，對(duì)應(yīng)法則為f，得到的函數(shù)值為f（x）。例如：f（1）表示自變量的值取1，對(duì)應(yīng)法則為f，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f（1）。這里的對(duì)應(yīng)法則f是一個(gè)抽象的概念，當(dāng)對(duì)應(yīng)法則具體的情況下，如f（x）=|x+3|-6，這時(shí)就說明對(duì)應(yīng)法則為“自變量加3取絕對(duì)值之后再減去6”，相應(yīng)的f（-7）=-2就是在這種對(duì)應(yīng)法則下得到的結(jié)果。

在高中階段，函數(shù)值通常用f（x）和y兩個(gè)符號(hào)表示。根據(jù)以上分析可以看出，f（x）能夠表達(dá)出自變量取到何值時(shí)得到相應(yīng)的函數(shù)值，如上題中的f（-7）=-2就是說自變量取-7的時(shí)候，相應(yīng)的函數(shù)值為-2。而寫成y=-2則只能說明函數(shù)值為-2，至于自變量的值則無法體現(xiàn)，有可能是-7也有可能是1。由此可見f（x）表達(dá)出的含義要比y表達(dá)出的含義具體得多，符號(hào)f（x）集中反映了函數(shù)的三個(gè)基本要素。

分析清楚單調(diào)性定義的內(nèi)涵后，函數(shù)單調(diào)性反映的圖像特征就可以相應(yīng)地表示出來，自變量越大，對(duì)應(yīng)的值越大，此時(shí)作出的圖像就是一個(gè)從左往右上升的圖像，反之所作出的圖像就是從左往右下降的圖像。

三、對(duì)稱性和奇偶性的定義分析

課本中只對(duì)函數(shù)的奇偶性定義描述為：定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；反之，定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。

區(qū)別于函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性研究時(shí)所取自變量是針對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，而不是定義的某個(gè)部分；同時(shí)奇偶性研究時(shí)，首先取定義域內(nèi)的兩個(gè)相反數(shù)x和-x，這就說明這兩個(gè)相反數(shù)都必須在定義域中，由此可見定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于x和-x對(duì)應(yīng)的值分別是f（x）和f（-x），因此f（-x）=-f（x）表示函數(shù)值是相反數(shù)，而f（-x）=f（x）表示函數(shù)值是相等的。

把符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為文字語言就是：當(dāng)自變量相反時(shí)，對(duì)應(yīng)的值也相反，說明函數(shù)f（x）是一個(gè)奇函數(shù)；當(dāng)自變量相反，對(duì)應(yīng)的值相等，說明函數(shù)f（x）是一個(gè)偶函數(shù)。

從以上文字語言分析中不難得出奇、偶函數(shù)相應(yīng)的圖像分別是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像。

由于函數(shù)的奇偶性是函數(shù)對(duì)稱性的一種特殊情況，因此將函數(shù)的奇偶性推廣后，可以將函數(shù)的對(duì)稱性定義描述為：定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（a-x）=-f（a+x），那么函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱；反之，定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（a-x）=f（a+x），那么函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

觀察到定義中自變量的取值分別為a-x和a+x，可得兩個(gè)自變量是以a為中點(diǎn)的自變量，一方面說明對(duì)稱性研究中定義域必須是關(guān)于a對(duì)稱的。另一方面可以拓展為以a為中點(diǎn)的兩個(gè)自變量。當(dāng)具備滿足條件的兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的值為相反數(shù)或相等時(shí)，相應(yīng)的都可以得到定義中的結(jié)果。如f（2a-x）=f（x）表示f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱；而f（2-x）=-f（3+x）表示f（x）關(guān)于點(diǎn)（2.5，0）對(duì)稱。

四、周期性的定義分析

課本中對(duì)函數(shù)的周期性定義的描述為：對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。

周期性中自變量的取值分別是x+T和x，而且x是定義域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，其中的T是一個(gè)非零實(shí)數(shù)，既可以是正數(shù)又可以是負(fù)數(shù)。從x+T和x中可以看出這兩個(gè)變量的關(guān)系是間隔|T|個(gè)單位，它們對(duì)應(yīng)的值分別是f（x+T）和f（x）。根據(jù)定義，對(duì)應(yīng)值之間的關(guān)系是f（x+T）=f（x）。

據(jù)此分析可以得出周期性相應(yīng)的文字語言是：如果間隔為|T|個(gè)單位的兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的值相等，那么函數(shù)f（x）就是周期函數(shù)。

由此可見，周期函數(shù)是以|T|為單位，圖像周而復(fù)始不斷重復(fù)出現(xiàn)。據(jù)此可得出，周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，任意一個(gè)nT（n∈Z且n≠0）都可以表示該函數(shù)的一個(gè)周期。

將以上的分析整理成表格如下：

從中可以看出，在研究函數(shù)的表達(dá)形式時(shí)通常由研究范圍、定義域、自變量取值方法、對(duì)應(yīng)值的關(guān)系及所表現(xiàn)的圖像特征幾個(gè)方面考察，其間還包含符號(hào)語言、文字語言和圖像語言之間的相互轉(zhuǎn)化，這樣的函數(shù)形式分析方法同樣適用于其他函數(shù)形式的分析。